2022年第二学期高等数学期末考试试卷及答案B .pdf

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1、第二学期高等数学期末考试试卷答案第 1 页 共 4 页1设D是xOy平面上以11，、11，、11，为顶点的三角形区域，1D是D在第一象限的部分，则积分Ddxdyyxxysincos等于【C 】 （A） 1sincos2Dydxdyx；（B） 12Dxydxdy；（C） 1sincos4Ddxdyyxxy；（D） 02下列级数中，属于条件收敛的是【B 】 （A） 111nnnn；（B） 1s i n1nnnnn；（C） 121nnn；（D） 1131nnn3. 设xyyxfz，22，其中函数f具有二阶连续的偏导数，试求xz，yxz2解：212fyfxxz，2221222112224fxyffyx

2、xyfyxz4. 计 算 三 重 积 分dxdydzzxI， 其 中是 由 曲 面22yxz及221yxz所围成的空间区域解： 作球坐标变换cossinx，sinsiny，cosz,则空间区域变为，104020，：，因此，dxdydzzxIdddsincoscossin21024020sincoscossinddd85. 计 算 曲 面 积 分dxdyzdzdxzydydzxzI322912, 其 中为 曲 面122yxz21z，取下侧解：取平面21z：，取上侧则与1构成封闭曲面， 取外侧令与1所围空间区域为，由Gauss公式，得11I132229yxdxdydxdydz名师资料总结 - -

3、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 第二学期高等数学期末考试试卷答案第 2 页 共 4 页1211020222yxrdxdydzrdrd26. 判别级数12222!2!3!2!1nnn的敛散性解：!2!3!2!102222nnun!2!2222nnnnn，nvnnn!2!2而!2!12!11limlim221nnnnnnvvnnnn14122121lim3nnnnn所以，由比值判别法，知级数121!2!nnnnnnv收敛再由比较判别法知级

4、数122221!2!3!2!1nnnnnu收敛7. 选取a与b，使得dyyxbyxdxyxyax2222成为某一函数yxu，的全微分，并求yxu，解：22yxyaxyxP，22yxbyxyxQ，由dyyxQdxyxPyxdu，得xQyP即有222222222222yxxbyxyxyxyyaxyx解得，1a，0b所以，yxyxdyyxdxyxyxu，0122yxdyyxyxxdx0221yyyxyxdxyxydx0222202211lnxyxxyxlnln21arctanln22名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师

5、精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 第二学期高等数学期末考试试卷答案第 3 页 共 4 页xyyxarctanln21228. 过直线0272210zyxzyx作曲面273222zyx的切平面，求此切平面的方程解： 过已知直线作平面束方程0272210zyxzyx，即0272210zyx，其法向量为2210，n设所求切平面的切点坐标为000zyx，则有02722102732222610000202020000zyxzyxzyx，解得1113000，zyx或1917173000，zyx因此，所求切平面方程为027339zyx，或027

6、17179zyx9. 利用xxdxd1cos的幂级数展开式，求级数122!2121nnnnn的和解： 设xxdxdxs1cos，由于11202!211!211cosnnnnnnnxxnxxxx因此，112!211cosnnnnxdxdxxdxdxs122!2121nnnxnn另一方面，21cossin1cosxxxxxxdxdxs所以，1222!21211cossinnnnxnnxxxxx当2x时，1222!21212nnnnns，所以，222!2121212snnnnn2221cossin2xxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

7、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 第二学期高等数学期末考试试卷答案第 4 页 共 4 页22212cos2sin242110. 已知x、y、z为实数，而且32zyex证明：32zyex（提示：考虑函数223yeyeyxfxx， ）解: 设223yeyeyxfxx，由题设32zyex，得32yex，即32yex为其边界下面只需证明：223yeyeyxfxx，在区域32yex上的最大值为 1令：0232023222yeyeyxfyeyeyxfxxyxxx，解方程组得驻点10，10，和0，x对于驻点10，和10，有110，f，110，f对于驻点0，x，00，xf；在边界32yex上，002yeyxfx，所以，函数223yeyeyxfxx，的最大值为1，即1322yeyeyxfxx，即32zyex名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -