2022年线性代数解答题 .pdf

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1、设：s,21是方程组bAX的解向量， 若sskkk2211也是bAX的解向量，则，121skkk证明：由已知得，(Absskkk2211）ssAkAk11分(21bkbkbksbkkks)21分又0b，故121skkk分已知：0X是非零的n维列向量，100XX，且00XXEA，求证：A不可逆证明：由于00A，故)()(000000000000XXXXXXXEXXXXEAX000XX分所以，0X是0AX的一个非零解分则0A，即，A不可逆分已知：0, 03333BA，B的每一个列向量都是0AX的解，求证：0B证明：由于0,03333BA，0)(AR，分故0AX的解空间的维数小于，分而B的三个列向量

2、都是0AX的解，故B的三个列向量线性无相关, 从而0B_10 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 设X为n维列向量，且1XX，求证：XXEA2为对称正交阵证明：AXXEXXEXXEA2)2()2(，所以，A为对称阵分XXXXXXEXXEXXEAA44)2)(2(，分由已知1XX，故XXXXXX44，因此，EAA，所以，XXEA2为对称正交阵分已知：0862EAA，且AA，求证：EA3正交证明：)3)(3(EAEA)

3、3)(3(EAEA)3)(3(EAEA分EAA962EEEAA0862分E故EA3正交分若A半正定，则对任何正实数AEB,是正定的证明：由已知，存在正交阵P使0,1inAPP，分11)(nEPAEPBPP，1的特征值,0i是正实数，分故1正定，所以，PPB1与1有相同的特征值，因此，B是正定阵分已知：nnA的特征值为n,21，求证：A的特征值为n,21，且名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - nA21证明：)()()(

4、21nAEAEAE，故A的特征值为n,21分又在上式中取0，得nnAOE21) 1(，即，nnnA21)1() 1(，因此，nnA21)1(分设：44A满足03AE，且4A，求证：*A有特征值34证明：由于03AE，从而0)3(AE，03AE，所以，是A的特征值分于是，31是1A的特征值分又11*4AAAA，所以，*A有特征值34分求证：对任何实对称矩阵A，必有实数0，使AE是正定矩阵证明：设A的特征值为n,21，故存在正交阵P，使),(21nd i a gAPP，从而分),()(21nd i a gEAPPEPPPAEP),(1ndiag分所以，只需取n,max1的实数，则nii, 2, 1

5、,0分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 从而AE的特征值全大于零又AEAEAE)(，所以，AE是正定矩阵分如果n阶方阵A与B相似，C与D相似，求证：CA00与DB00相似证明：由已知存在可逆阵P，Q，使DCQQBAPP11,分则令：nQPT200，于是11100QPT，分DBTCAT00001，分所以CA00与DB00相似分设：A，B分别是nm,阶正定阵，求证：BAC00也正定，且其特征值是A与B的全部特征值证明：

6、BABAC0000CBA00，故C对称分EBEAEBEAEC00分由于A，B分别正定，故A与B的全部特征值全部大于零由上式知，C的特征值是A与B的全部特征值，且全部大于零分因此，BAC00正定分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 设：A，B都是正定的实矩阵，求证：AB的特征根都大于零证明：A，B都是正定的实矩阵，故存在可逆矩阵QP,，使QQBPPA,，分于是，QQPQPQQQPPQQQQPPAB)()(11，分从而，

7、AB相似于)(QPQP，所以，AB于)(QPQP有相同的特征值，分又QP,可逆，所以，QP可逆，故)(QPQP为正定阵，从而，)(QPQP的特征值全部大于零分所以，AB的特征根都大于零分设：1111，求32,使321,两两正交解：设所求向量),(321xxxX，则01X，即，0321xxx分基础解系) 1, 0, 1 (1，) 1, 2, 1(2，分由于1与2正交，故可取) 1, 2, 1(,)1,0, 1(32分设：) ) 1( 3, 3(1，), 1, 1(2，)3, 1,2(3，)3,2,(，求：为何值时不能由321,线性表示；能由321,线性表示名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

8、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 解：令32211kkk，得线性方程组，其系数行列式)3(A，分当3,0时，方程组有唯一解，能由321,线性表示分当0时，)()(ARAR，不能由321,线性表示分当3时，3)()(ARAR，能由321,线性表示分已知：向量组)4, 3,2, 1(1，)1,4, 3, 2(2，) 3,8, 5,2(3，)12, 9,26, 5(4，)2, 1, 4, 3(5，求：一个极大线性无关组，并将其余向量用这一极大无关组线性表示解：以这些向量为列构成矩阵A，分00000121001201015001rA，分所以，321,为一个极大线性无关组分3214225，3215分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -