2022年中学数学教案导数在函数中的应用 .pdf

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1、导数在函数中的应用一.基础知识1.函数的导数与单调性在某个区间内，若( )fx0，则函数)(xfy在这个区间内单调递增；若( )fx0，右侧( )fx0，且( )fx=0，那么0()f x是极大值；（2）极小值：如果在0 x附近的左侧( )fx0，且( )fx=0，那么0()f x是极小值；3.函数的导数与最值(1)函数)(xfy在区间 a,b上有最值的条件：一般地，如果在区间a,b上，函数)(xfy的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2) 求函数)(xfy在区间 a, b上最大值与最小值的步骤：求函数)(xfy在区间（ a,b）内的极值；将函数)(xfy的各个极值与端点

2、处的函数值f(a),f(b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 yf(x)；(2)求函数的导数 f (x)，解方程 f (x)0；(3)比较函数在区间端点和f (x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大 (小)值；(4)回归实际问题作答注意事项1.直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点2.(1)f (x)0 在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增的充分条

3、件(2)对于可导函数 f(x)，f (x0)0 是函数 f(x)在 xx0 处有极值的必要不充分条件3.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导数 f (x)；(3)由 f (x)0(f (x)0)解出相应的 x 的范围当 f (x)0 时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f (x)0 时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间4.(1)注意实际问题中函数定义域的确定(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

4、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 二.题型训练题型一求曲线切线的方程例 1.已知函数 f(x)x34x25x4. (1)求曲线 f(x)在 x2 处的切线方程； (2)求经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程变式1.曲线 yxex1 在点 (0,1)处的切线方程是() Ax y10B2xy10 Cxy10 Dx2y20 2.直线 ykx1 与曲线 yx3axb 相切于点 A(1,3)，则 ab 的值为 () A 4 B 1 C 3 D2题型二 .求函数的单调区

5、间例 2.已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线 yf(x)在点 (0，f(0)处的切线方程为y4x4. (1)求 a，b 的值； (2)讨论 f(x)的单调性，并求f(x)的极大值练习： 1.设函数 f(x)x(ex1)12x2，则函数 f(x)的单调增区间为_2.已知函数f(x) 13x3ax2bx(a，bR)(1)当 a1 时，求函数 f(x) 的单调区间； (2)若 f(1)13，且函数 f(x) 在0，12上不存在极值点，求 a 的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

6、- - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 题型三 .分类讨论求函数的单调区间例 3.已知函数f(x)x2axbln x(x0，实数 a，b 为常数 )(1)若 a1，b 1，求函数 f(x)的极值； (2)若 ab 2，讨论函数f(x)的单调性练习：1.已知函数f(x) x2(a2)xaln x2a2，其中 a2. (1) 求函数 f(x)的单调区间； (2) 若函数 f(x)在(0，2 上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围2.已知 a R，函数3( )42f xxaxa（1）求( )f x的单调区间（ 2）证明：当0 x1时，( )f x+ 2a0.

7、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3.设函数xf x eax2()求f x的单调区间()若 a=1，k 为整数，且当x0 时，xk fxx10，求 k 的最大值小结：利用导数研究函数的单调性关注四点(1)利用导数研究函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论(3)在不能通过因式分解求出根时，根据不等式对应方程的判别式进行

8、分类讨论(4)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制题型四 .单调性的逆用例 4. 已知函数 f(x)x3ax23x. (1)若 f(x)在1， )上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若 x3 是 f(x)的极值点，求 f(x)的单调区间练习：1. 已知函数f(x)(xa)27bln x1，其中 a，b 是常数且 a0. (1)若 b1 时， f(x)在区间 (1， )上单调递增，求a 的取值范围；(2)当 b47a2时，讨论f(x)的单调性名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

9、心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 2. 若函数 f(x)x2ax1x在12，上是增函数，则a 的取值范围是() A 1,0B1， ) C0,3 D3， ) 3.函数 f(x)13x3x2ax5 在区间 1,2上不单调，则实数a 的范围是 _4. 已知函数f （x）=3213xxaxb的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2 ( ) 求实数 a,b 的值； ( )设 g（x）=f(x)+1mx是2, 上的增函数，求实数m的最大。5. 已知函数)0(ln1)(axaxxxf（1）若函数)(xf在), 1 上为增函数，求实

10、数a的取值范围；（2）当1a时，求)(xf在2,21上的最大值和最小值. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 题型五 .求函数的极值、最值例 5. 已知函数3( )f xaxbxc在2x处取得极值为16c（1）求a、b的值；（2）若( )f x有极大值 28，求( )f x在 3,3上的最大值练习：1. 关于x的方程x33x2a0 有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_2. 已知ab，是实数， 1 和1是函数3

11、2( )f xxaxbx的两个极值点（1）求a和b的值；（2）设函数( )g x的导函数( )( )2gxf x，求( )g x的极值点；（3）设( )( )h xff xc，其中 22c，求函数( )yh x的零点个数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3. 已知函数f(x)x1aex(aR，e 为自然对数的底数)(1)若曲线 yf(x)在点 (1，f(1)处的切线平行于x 轴，求 a 的值； (2)求函数 f(

12、x)的极值；(3)当 a1 时，若直线l：ykx1 与曲线 yf(x)没有公共点，求k 的最大值4. 已知函数f(x)ax2x3ln x，其中 a 为常数(1)当函数 f(x)的图象在点 (23，f(23)处的切线的斜率为1 时，求函数f(x)在32，3上的最小值；(2)若函数 f(x)在区间 (0， )上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围题型六 .导数与方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 例 6. 设 a

13、 为实数，函数32( )f xxxxa（1）求( )f x极值（2）求( )f x与 x 轴只有一个交点时a 的取值范围变式：若与x 轴有 2 个交点时 a 的取值范围？练习：1. 设函数Rxxxxf, 56)(3（）求)(xf的单调区间和极值； （）若关于x的方程axf)(有 3 个不同实根， 求实数 a 的取值范围 . （）已知当)1()(,), 1(xkxfx时恒成立，求实数k 的取值范围 . 2. 已知函数),2()(31)(,2) 1(31)(23在区间且xfkxxgxkxxf上为增函数 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

14、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - （ 1）求k的取值范围；（2）若函数)()(xgxf与的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围 . 题型七 .利用导数证明不等式例 7.设 a 为实数，函数 f(x)ex2x2a，xR. (1)求 f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当 aln 21 且 x0 时，exx22ax1. 练习：1.已知 mR，函数 f(x)(x2mxm)ex(1)若函数没有零点，求实数m 的取值范围； (2)当 m0 时，求证 f(x)x2x3. 2. 已知函数(x)1xxefxe.

15、 证明：0(x)1f；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3. 已知1lnaxxxf（1）若存在,0 x使得( )f x0成立，求a的范围（2）求证：当x1 时，在（ 1）的条件下，21ln212xxaaxx成立题型八 .恒成立问题例 8. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -