2022年中考数学专题复习勾股定理含答案,推荐文档 .pdf

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1、第 1 页勾股定理一选择题（共11小题）1如图是由 “ 赵爽弦图 ” 变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD 、正方形 EFGH 、正方形 MNPQ的面积分别为 S1、S2、S3若S1+S2+S3=60，则 S2的值是（）A12B15C20D302以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A3，4，5B9，12，15C，D0.3，0.4，0.53如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为 8，若第三边分别为 6，8，10，12，则面积最大的三角形是ABCD4下列条件中，不能判断ABC为直角三角形的是（）Aa=1.5 b=2 c=2.5Ba：b：c=5：12：

2、13CA+B=CDA：B：C=3：4：55如图，一棵大树在离地面3 米处折断，树的顶端落在离树干底部4 米处，那么这棵树折断之前的高度是（）A8 米B12 米C5 米D5 或 7 米6如图所示， AB=BC=CD=DE=1，ABBC ，AC CD，ADDE，则 AE= （）A1BCD27已知 a，b，c 为ABC的三边长，且满足 a2c2b2c2=a4b4，判断 ABC的形状（）A等腰三角形B直角三角形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 26 页 - - -

3、- - - - - - 第 2 页C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形8如图是由 5 个正方形和 5 个等腰直角三角形组成的图形，已知号正方形的面积是 1，那么号正方形的面积是（）A4B8C16D329直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A10B2C10 或 2D无法确定10如图，在 ABC中，D、E分别是 BC 、AC的中点已知 ACB=90 ，BE=4 ，AD=7，则 AB的长为（）A10B5C2D211长方形台球桌 ABCD上，一球从 AB边上某处 P击出，分别撞击球桌的边BC 、DA各 1 次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例

4、如图= ）若 AB=3，BC=4 ，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为（）A不确定B12C11D10二填空题（共12小题）12勾股定理 a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c 的方程，满足这个方程的正整数解（ a，b，c）通常叫做勾股数组毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（ 5，12，13），（7，24，25）， 分析上面勾股数组可以发现，4=1（3+1），12=2（5+1），24=3（7+1）， 分析上面规律，第5 个勾股数组为13如图，在 ABC中，AB=AC=6 ，BC=7 ，E是 BC上的一个动点（不与点B，C重合）

5、， DEF ABC ，其中点 A，B 的对应点分别是点D，E当点 E运动时 DE边始终经过点 A设 EF与 AC相交于点 G，当 AEG是等腰三角形时，BE的长为14如图， OP=1 ，过 P 作 PP1OP且 PP1=1，根据勾股定理，得OP1=；再过P1作 P1P2OP1且 P1P2=1， 得 OP2=； 又过 P2作P2P3OP2且P2P3=1， 得 OP3=2； 依此继续，得 OP2019=，OPn=（n 为自然数，且 n0）15如图，已知点 A（1，0）和点 B（1，2），在 y 轴正半轴上确定点P，使名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

6、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 3 页得ABP为直角三角形，则满足条件的点P的坐标为16若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x 的值是17直角三角形三边长分别为5，12，x，则 x2=若 a，b 为两个连续的正整数，且 ab，则 a+b=18有一棵 9 米高的大树， 树下有一个 1 米高的小孩， 如果大树在距地面4 米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的19如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30， S2=40，则S3=20如

7、图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5 和 11，则 b的面积为21如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的 “ 田字格 ” 只用没有刻度的直尺在这个“ 田字格 ” 中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段条22如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形 A2的边长为 6cm，正方形 B的边长为 5cm，正方形 C的边长为 5cm，则正方形 D的面积是cm223设 x0，则三个正数2x，3x，x+5，构成三角形三边的条件是；构成 直 角 三 角 形 、 锐 角 三 角 形 、 钝 角 三 角 形 的x 的

8、 取 值 范 围 分 别是、三解答题（共10小题）24如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A 出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南 10 方向航行， 2 小时后货船到达 B 处，客船到达 C处，若此时两船相距50 海里（1）求两船的速度分别是多少？（2）求客船航行的方向25从正面看一个底面直径为10cm 的圆柱体饮料杯子如图所示，在它的正中间竖直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不动） ， 吸管露出杯子外 1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐求杯子的高度26先阅读下列一段文字，在回答后面的问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

9、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 4 页已 知 在 平 面 内 两 点 P1（ x1， y1） 、 P2（ x2，y2） ， 其 两点 间的 距离 公式P1P2=，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为| x2x1| 或| y2y1| （1）已知 A（2，4）、B（3，8），试求 A、B两点间的距离；（2）已知 A、B 在平行于 y 轴的直线上，点 A 的纵坐标为 5，点 B的纵坐标为1，试求 A、B两

10、点间的距离（3）已知一个三角形 ABC其中两个顶点坐标为A（0，6）、B（8，0）在坐标轴上是否存在点C，使三角形 ABC中 AB=AC或者 AB=BC ？若能请直接写出所以符合条件的点C的坐标；若不能，请说明理由27阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形， 两边的平方和等于第三边平方的2 倍的三角形叫做奇异三角形理解：根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？（填“ 是” 或“ 不是” ）若某三角形的三边长分别为1、2，则该三角形（填“ 是” 或“ 不是” ）奇异三角形探究：在 RtABC中，两边长分别是a、c，且 a2=50，c2=100，则这个三角形是否是

11、奇异三角形？请说明理由拓展：在 RtABC中，C=90 ，AB=c，AC=b ，BC=a ，且 ba，若 RtABC是奇异三角形，求 a2：b2：c228如图，在 ABC中， ACB=90 ，BC=15 ，AC=20 ，CD是高（1）求 AB的长；（2）求 ABC的面积；（3）求 CD的长29阅读下列材料，并回答问题事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理请利名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 26 页

12、 - - - - - - - - - 第 5 页用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为（2）如图 1，ADBC 于 D，AD=BD ，AC=BE ，AC=3 ，DC=1 ，求 BD的长度（3）如图 2，点 A 在数轴上表示的数是，请用类似的方法在图2 数轴上画出表示数的 B 点（保留作图痕迹）30定义：如图，点M、N 把线段 AB分割成 AM、MN、NB，若以 AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M、N 是线段 AB的勾股分割点（1）已知 M、N 把线段 AB分割成 AM、MN、NB，若 AM=1.5，MN=2.5，

13、BN=2，则点 M、N 是线段 AB的勾股分割点吗？请说明理由（2） 已知点 M、 N 是线段 AB的勾股分割点， 且 AM 为直角边，若 AB=24， AM=6，求 BN的长31如图，将边长为a 与 b、对角线长为 c 的长方形纸片 ABCD ，绕点 C顺时针旋转 90 得到长方形 FGCE ，连接 AF通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程32在ABC中，ABC=90 ，D为平面内一动点， AD=a，AC=b ，其中 a，b 为常数，且 ab将ABD沿射线 BC方向平移，得到 FCE ，点 A、B、D 的对应点分别为点 F、C 、E连接 BE （1）如图 1

14、，若 D 在ABC内部，请在图 1 中画出 FCE ；（2）在（ 1）的条件下，若 ADBE ，求 BE的长（用含 a，b 的式子表示）；（3）若 BAC= ，当线段 BE 的长度最大时，则 BAD 的大小为；当线段 BE的长度最小时，则 BAD的大小为（用含 的式子表示）33 如图，四边形 ABCD中，ABC=135 ， BCD=120 ， AB=， BC=5 ， CD=6 ，求 AD答案一选择题（共11小题）1如图是由 “ 赵爽弦图 ” 变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD 、正方形 EFGH 、正方形 MNPQ的面积分别为 S1、S2、S3若S1+S2+S

15、3=60，则 S2的值是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 6 页A12B15C20D30【分析】 设每个小直角三角形的面积为m，则 S1=4m+S2， S3=S24m，依据S1+S2+S3=60，可得 4m+S2+S2+S24m=60，进而得出 S2的值【解答】 解：设每个小直角三角形的面积为m，则 S1=4m+S2，S3=S24m，因为 S1+S2+S3=60，所以 4m+S2+S2+S24m=60，即

16、 3S2=60，解得 S2=20故选： C【点评】此题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用， 证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理2以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A3，4，5B9，12，15C，D0.3，0.4，0.5【分析】根据勾股定理的逆定理， 一个三角形的三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形【解答】 解：A、因为 32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误；B、因为 92+122=152，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为（）2+（）

17、2（）2，不能构成直角三角形，此选项正确；D、因为 0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，此选项错误故选： C【点评】本题考查勾股定理的逆定理， 关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形3如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为 8，若第三边分别为 6，8，10，12，则面积最大的三角形是AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 7 页CD【分析】 过 C作 CD AB于

18、 D，依据 AB=6，AC=8 ，可得 CD8，进而得到当 CD与 AC重合时， CD最长为 8，此时， BAC=90 ，ABC的面积最大【解答】 解：如图，过 C作 CD AB于 D，AB=6 ，AC=8 ，CD 8，当 CD与 AC重合时， CD最长为 8，此时， BAC=90 ，ABC的面积最大，BC=10，四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，故选： C【点评】本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析4下列条件中，不能判断ABC为直角三角形的是（）Aa=1.5 b=2 c=2.5Ba：b：

19、c=5：12：13CA+B=CDA：B：C=3：4：5【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和为180 度，即可判断出三角形的形状【解答】解：A、因为 1.52+22=2.52符合勾股定理的逆定理，故ABC为直角三角形；B、因为 a：b：c=5：12：13，所以可设 a=5x，b=12x，c=13x，则（5x）2+（12x）2=（13x）2，故 ABC为直角三角形；C、因为A+B=C，A+B+C=180 ，则C=90 ，故ABC为直角三角形；D、 因为 A： B： C=3： 4： 5， 所以设 A=3x， 则B=4x， C=5x ， 故 3x+4x+5x=180，解得 x=15 ，3x=

20、153=45 ，4x=154=60 ，5x=155=75 ，故此三角形是锐角三角形故选： D名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 8 页【点评】此题考查了解直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理、 三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键5如图，一棵大树在离地面3 米处折断，树的顶端落在离树干底部4 米处，那么这棵树折断之前的高度是（）A8 米B12 米C5 米D5 或 7 米【分析】由题意得，在直角三角形中，知

21、道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度【解答】解：一棵垂直于地面的大树在离地面3 米处折断， 树的顶端落在离树杆底部 4 米处，折断的部分长为=5，折断前高度为 5+3=8（米）故选： A【点评】此题考查了勾股定理的应用， 主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力6如图所示， AB=BC=CD=DE=1，ABBC ，AC CD，ADDE，则 AE= （）A1BCD2【分析】 根据勾股定理进行逐一计算即可【解答】 解： AB=BC=CD=DE=1，ABBC ，ACCD，ADDE ，AC=；AD=；AE=2故选： D【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力

22、，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方7已知 a，b，c 为ABC的三边长，且满足 a2c2b2c2=a4b4，判断 ABC的形状（）A等腰三角形B直角三角形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 9 页C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件， 从而判断ABC的形状【解答】 解：由 a2c2b2c2=a4b4，得a4+b2c2a2c2b4=（a4b

23、4）+（b2c2a2c2）=（a2+b2）（a2b2）c2（a2b2）=（a2b2）（a2+b2c2）=（a+b）（ab）（a2+b2c2）=0，a+b0，ab=0或 a2+b2c2=0，即 a=b或 a2+b2=c2，则ABC为等腰三角形或直角三角形故选： D【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论 判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可8如图是由 5 个正方形和 5 个等腰直角三角形组成的图形，已知号正方形的面积是 1，那么号正方形的面积是（）A4B8C16D32【分析】等腰直角三角形中，直角边长和斜边长的比值为1：，正方形面积为边长的

24、平方；所以要求号正方形的面积，求出号正方形的边长即可【解答】 解：要求号正方形的面积，求号正方形的边长即可，题目中给出号正方形的面积为1，即号正方形的边长为1，根据勾股定理 4 号正方形的边长为=，以此类推，可以求得号正方形边长为4，所以号正方形面积为44=16名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 10 页故选： C【点评】本题考查的是在等腰直角三角形中勾股定理的运用，已知直角边求斜边边长，解本题的关键是正确的运

25、用勾股定理9直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A10B2C10 或 2D无法确定【分析】 本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即较长是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解【解答】 解：长为 8 的边可能为直角边，也可能为斜边当 8 为直角边时，根据勾股定理，第三边的长=10；当 8 为斜边时，根据勾股定理，第三边的长=2故选： C【点评】 此题易忽视的地方：长为8 的边可能为直角边，也可能为斜边10如图，在 ABC中，D、E分别是 BC 、AC的中点已知 ACB=9

26、0 ，BE=4 ，AD=7，则 AB的长为（）A10B5C2D2【分析】 设 EC=x ，DC=y ，则直角 BCE中，x2+4y2=BE2=16，在直角 ADC 中，4x2+y2=AD2=49，解方程组可求得x、y，在直角 ABC中，AB=【解答】 解：设 EC=x ，DC=y ，ACB=90 ，在直角 BCE中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16在直角 ADC中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49，解得 x=，y=1在直角 ABC中，AB=2，故选： C【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义， 本题中根据直角BCE和直角 ADC求 DC BC的长度是解题的关

27、键11长方形台球桌 ABCD上，一球从 AB边上某处 P击出，分别撞击球桌的边BC 、DA各 1 次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 11 页边所成的角相等（例如图= ）若 AB=3，BC=4 ，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为（）A不确定B12C11D10【分析】 要求球走过的总长度，就要求PQ+QR，根据计算得 PQ+QR=BD=AC 根

28、据此关系式可以解题【解答】 解：令 PQ AC ，则 QRBD，撞击前后的路线与桌边所成的角相等图中所有三角形均相似；+=1，即 PQ +QR=AC=BD ，同理 PS +SR=AC=BD ，PQ +QR +RS +SP=AC +BD=2AC AC=5，PQ +QR +RS +SP=AC +BD=2AC=10 故选： D【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中令PQAC是解题的关键二填空题（共12小题）12勾股定理 a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c 的方程，满足这个方程的正整数解（ a，b，c）通常叫做勾股数组毕达哥拉斯学派提出了一个

29、构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（ 5，12，13），（7，24，25）， 分析上面勾股数组可以发现，4=1（3+1），12=2（5+1），24=3（7+1）， 分析上面规律，第 5 个勾股数组为（11，60，61）【分析】 由勾股数组：（ 3，4，5），（5，12，13），（7，24，25） 中，4=1（3+1），12=2（5+1），24=3（7+1）， 可得第 5 组勾股数中间的数为：5（11+1）=60，进而得出（ 11，60，61）【解答】 解：由勾股数组：（ 3，4，5），（ 5，12，13），（7，24，25） 中，4=1（3+1），12=2（

30、5+1），24=3（7+1）， 可得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 12 页第 4 组勾股数中间的数为4（9+1）=40，即勾股数为（ 9，40，41）；第 5 组勾股数中间的数为： 5（11+1）=60，即（ 11，60，61），故答案为：（ 11，60，61）【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理逆定理13如图，在 ABC中，AB=AC=6 ，BC=7 ，E是

31、BC上的一个动点（不与点B，C重合）， DEF ABC ，其中点 A，B 的对应点分别是点D，E当点 E运动时 DE边始终经过点 A设 EF与 AC相交于点 G，当 AEG是等腰三角形时，BE的长为1 或【分析】首先由 AEF= B=C， 且AGE C ， 可得 AEAG， 然后分别从 AE=EG与 AG=EG去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案【解答】 解： AEF= B=C，且 AGE C，AGE AEF ，AE AG；当 AE=EG时，则 ABE ECG ，CE=AB=6 ，BE=BC EC=7 6=1，当 AG=EG时，则 GAE= GEA ，GAE +BAE=

32、 GEA +CEG ，即CAB= CEA ，又 C=C，CAE CBA ，CE=，BE=7 =；BE=1或故答案为： 1 或【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、 等腰名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 13 页三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键14如图， OP=1 ，过 P 作 PP1OP且 PP1=1，根据勾股定理，得OP1=；再过P1作 P1P2OP1且 P1P2=1

33、， 得 OP2=； 又过 P2作P2P3OP2且P2P3=1， 得 OP3=2； 依此继续，得 OP2019=，OPn=（n 为自然数，且 n0）【分析】 根据题意找出规律，根据规律解答【解答】 解：由题意得， OP1=；OP2=；OP3=，则 OP2019=，OPn=，故答案为：；【点评】 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c215如图，已知点 A（1，0）和点 B（1，2），在 y 轴正半轴上确定点P，使得ABP为直角三角形，则满足条件的点 P的坐标为（0， 3） 或 （0， 1+） 【分析】分两种情况进行讨论，过B作 BP A

34、B，交 y 轴于 P，过 B作 BD CP于D，则 ABP=90 ，BD=1 ，依据 BCP是等腰直角三角形，即可得到点P 的坐标；当 APB=90 时， ABP是直角三角形，依据C为 AB的中点， AB=2，即可得到点 P的坐标【解答】 解： 如图， 过 B作 BPAB， 交 y 轴于 P， 过 B作 BDCP于 D， 则ABP=90 ，BD=1，点 A（1，0）和点 B（1，2），直线 AB的表达式为 y=x+1，令 x=0，则 y=1，C （0，1），即 OC=1=OA ，AOC是等腰直角三角形，ACO=45 =BCP ，BCP是等腰直角三角形，CP=2BD=2 ，OP=1 +2=3，名

35、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 14 页P（0，3）；如图，当 APB=90 时，ABP是直角三角形，点 A（1，0），点 B（1，2），点 C（0，1），C为 AB的中点， AB=2，CP= AB=，OP=1 +，P（0，1+），综上所述，点 P 的坐标为（ 0，3）或（ 0，1+）故答案为：（ 0，3）或（ 0，1+）【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质和直角三角形的判定要把所有的情况都考虑进去，不要

36、漏掉某种情况16若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x 的值是5 或【分析】 本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4 既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4 是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解【解答】 解：设第三边为 x（1）若 4 是直角边，则第三边x 是斜边，由勾股定理，得32+42=x2，所以 x=5；（2）若 4 是斜边，则第三边x 为直角边，由勾股定理，得32+x2=42，所以 x=；所以第三边的长为5 或【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明

37、确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解17直角三角形三边长分别为5，12，x，则 x2=169 或 119若 a，b 为两个连续的正整数，且ab，则 a+b=9【分析】分 12 为直角边和 12 为斜边两种情况， 根据勾股定理计算； 根据无理数的估算方法、算术平方根的概念解答【解答】 解：当 12 为直角边时， x2=52+122=169，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 15 页当 1

38、2 为斜边时， x2=12252=119；162025，45，a=4，b=5，a+b=9，故答案为： 169 或 119；9【点评】 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c218有一棵 9 米高的大树， 树下有一个 1 米高的小孩， 如果大树在距地面4 米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树4米之外才是安全的【分析】 根据题意构建直角三角形ABC ，利用勾股定理解答【解答】 解：如图，BC即为大树折断处4m 减去小孩的高 1m，则 BC=4 1=3m，AB=94=5m，在 RtABC中，AC=4【点评】此题考查直角三角形的性质及勾

39、股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答19 如图， 分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若 S1=30， S2=40， 则 S3=70【分析】 根据勾股定理以及圆面积公式，可以证明：S1+S2=S3故 S3=70【解答】 解：设直角三角形三边分别为a、b、c，如图所示：则 S1= （）2=，S2= （）2=，S3= （）2=因为 a2+b2=c2，所以+=即 S1+S2=S3所以 S3=70【点评】 注意发现此图中的结论： S1+S2=S320如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5 和 11，则 b的面积为16【分析】 根据已知及全等三角形的判定可得到ABC

40、 CDE ，从而得到 b 的面积=a的面积 +c的面积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 16 页【解答】 解： ACB +ECD=90 ，DEC +ECD=90 ACB= DECABC= CDE ，AC=CE ，在ABC和CDE中，ABC CDE （AAS ），BC=DE（如上图），根据勾股定理的几何意义，b 的面积 =a的面积 +c 的面积b 的面积 =a的面积 +c 的面积 =5+11=16【点评】本题

41、考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键21如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的 “ 田字格 ” 只用没有刻度的直尺在这个“ 田字格 ” 中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段8条【分析】 如图，由于每个小正方形的边长为1，那么根据勾股定理容易得到长度为的线段，然后可以找出所有这样的线段【解答】 解：如图，所有长度为的线段全部画出，共有8 条【点评】 此题是一个探究试题，首先探究如何找到长度为的线段，然后利用这个规律找出所有这样的线段22如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形 A2的边长为

42、 6cm，正方形 B的边长为 5cm，正方形 C的边长为 5cm，则正方形 D的面积是14cm2【分析】 根据勾股定理的几何意义可直接解答【解答】 解：根据正方形的面积公式结合勾股定理，得正方形 A2，B，C，D 的面积和等于最大的正方形的面积，所以正方形 D 的面积 =100362525=14cm2【点评】此题注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

43、 - - 第 16 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 17 页23设 x0，则三个正数2x，3x，x+5，构成三角形三边的条件是；构成直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的 x 的取值范围分别是x=或 x=、x、x或 x【分析】 根据三角形两边之和大于第三边，根据三边表达式列不等式求解；直角三角形两直角边平方和等于第三边平方，锐角三角形两边平方和大于第三边平方，钝角三角形两边平方和小于钝角所对应的边的平方【解答】 解：构成三角形则要满足2x+3xx+5，即 4x5，则 x，即可；当三角形为直角三角形时，若 x+53x，即 x（2x）2+（3x）2=（x+5）2解得 x=，

44、若 3xx+5，即 x（2x）2+（x+5）2=（3x）2解得 x=当构成锐角三角形时，即（2x）2+（3x）2（x+5）212x210 x250解得 x（2x）2+（x+5）2（3x）24x2+10 x+250 x综上，构成锐角三角形的x 的取值范围是：x；当构成钝角三角形时，若x+53x，即 x（2x）2+（3x）2（x+5）2解得x，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 18 页若 3xx+5，即 x（2

45、x）2+（x+5）2（3x）2解得 x综上，构成钝角三角形的x 的取值范围是：x或 x；故答案为x，x=或 x=，x； x或 x，【点评】 本题考查了三角形成构成条件，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中确定以 x+5 为第三边是解本题的关键三解答题（共10小题）24如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A 出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南 10 方向航行， 2 小时后货船到达 B 处，客船到达 C处，若此时两船相距50 海里（1）求两船的速度分别是多少？（2）求客船航行的方向【分析】 （1）设两船的速度分别是4x 海里/小时和 3x 海里/小时，依

46、据客船每小时比货船多走 5 海里，列方程求解即可；（2）依据 AB2+AC2=BC2，可得 ABC是直角三角形，且 BAC=90 ，再根据货船沿东偏南 10 方向航行，即可得到客船航行的方向为北偏东10 方向【解答】 解：（ 1）设两船的速度分别是4x 海里/小时和 3x 海里/小时，依题意得4x3x=5解得 x=5，4x=20，3x=15，两船的速度分别是20 海里/小时和 15 海里/小时；（2）由题可得， AB=152=30，AC=20 2=40，BC=50 ，AB2+AC2=BC2，ABC是直角三角形，且 BAC=90 ，又货船沿东偏南10 方向航行，名师资料总结 - - -精品资料欢

47、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 19 页客船航行的方向为北偏东10 方向【点评】 此题主要考查了方向角以及勾股定理的应用，正确得出AB的长是解题关键25从正面看一个底面直径为10cm 的圆柱体饮料杯子如图所示，在它的正中间竖直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不动） ， 吸管露出杯子外 1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐求杯子的高度【分析】 设杯子的高度为 xcm，则吸管的长度为（ x+1）cm，根据勾股定理可得

48、出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】 解：设杯子的高度为xcm，则吸管的长度为（ x+1）cm，根据题意得：（ x+1）2=52+x2，解得： x=12答：杯子的高度为12cm【点评】本题考查了勾股定理的应用以及解一元一次方程，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图26先阅读下列一段文字，在回答后面的问题已 知 在 平 面 内 两 点 P1（ x1， y1） 、 P2（ x2，y2） ， 其 两点 间的 距离 公式P1P2=，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，

49、两点间距离公式可简化为| x2x1| 或| y2y1| （1）已知 A（2，4）、B（3，8），试求 A、B两点间的距离；（2）已知 A、B 在平行于 y 轴的直线上，点 A 的纵坐标为 5，点 B的纵坐标为1，试求 A、B两点间的距离（3）已知一个三角形 ABC其中两个顶点坐标为A（0，6）、B（8，0）在坐标轴上是否存在点C，使三角形 ABC中 AB=AC或者 AB=BC ？若能请直接写出所以符合条件的点C的坐标；若不能，请说明理由【分析】 （1）根据两点的距离公式计算即可；（2）对于平行于坐标轴的两点距离公式可利用| y2y1| 代入计算；（3）分别以 A、B为圆心，以 10 为半径画圆

50、与坐标轴的交点就是C点【解答】 解：（ 1）A（2，4）、B（3，8），名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 26 页 - - - - - - - - - 第 20 页AB=13（4 分）答：A、B两点间的距离是13（2）ABy 轴，AB=5 （ 1）=6，答：A、B两点间的距离是6（8 分）（3）如图所示：AB=AC时，符合条件的点C的坐标为（ 8，0）、（0，4）、（ 0，16）；AB=BC 时，符合条件的点 C的坐标为：（0，6）、 （2，0）、 （18