2022年二次函数解析式及图形变换学而思培优 .pdf

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1、1 第五讲二次函数解析式及图形变换一、二次函数解析式四种形式：一般式：20yaxbxc a；顶点式：2ya xhk 或224024bacbyaxaaa；交点式：12ya xxxx0a其中12xx，是方程20axbxc的两个实根。对称点式： ya(xx1)(xx2)b(a 0) ，其中 x1，x2是两个对称点的横坐标，b 是对称点纵坐标。二、抛物线的平移、对称与旋转平移：“左加右减，上加下减”。对称：关于x轴对称：2yaxbxc 的图象x轴对称后得到图象的解析式是2yaxbxc 。关于y轴对称：2yaxbxc的图象y轴对称后得到图象的解析式是2yaxbxc。关于原点对称：2yaxbxc 的图象原

2、点对称后得到图象的解析式是2yaxbxc 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2 三、二次函数与一元二次方程1求二次函数2yaxbxc 与直线 ykxm 的交点，联立方程组2yaxbxcykxm求解。2求二次函数2111ya xbxc 与2222ya xb xc 的交点，联立方程组21112222ya xb xcya xb xc求解。板块一二次函数解析式【例 1】 下列说法不正确的是（）A抛物线23yaxbx与y轴

3、的交点为03，B抛物线2221yaxaxa的对称轴为1xC抛物线21yaxa mxma 与x轴的交点为0m，和 10，D抛物线2ya xx 的顶点坐标为x，（ 2009 三帆单元测试）已知抛物线2yaxbxc 经过点10A，且经过直线3yx与x轴的交点B及与y轴的交点 C ，则抛物线的解析式为。（ 2007 朝阳二模）已知抛物线2(0)yaxbx a的顶点在直线112yx上，当且仅当04x时，0y，则抛物线的解析式为。【例 2】 （2008 年湖州市）对于二次函数2yaxbxc，如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线（例如：222yxx） 。请你写出一个二

4、次项系数的绝对值小于1 的整点抛物线的解析式。 （不必证明）请探索： 是否存在二次项系数的绝对值小于12的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。【例 3】 已知二次函数22(2)4ymxmxn 的图象的对称轴是直线2x，且它的最高点在直线112yx上。求此二次函数的解析式；若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线112yx上移动到M点时，图象与x轴恰好交于A、B两点，且8ABMS，求这时的二次函数的解析式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

5、 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3 板块二抛物线的平移、对称与旋转【例 4】 （ 2007 浙江台州）在同一坐标平面内，图象不可能由函数221yx的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（）A22(1)1yxB223yxC221yxD2112yx（ 2010 桂林）将抛物线221216yxx绕它的顶点旋转180 ，所得抛物线的解析式是（）A221216yxxB221216yxxC221219yxxD221220yxx（ 2010 年兰州）抛物线2yxbxc 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为223yxx，则 b 、c的值为（）A22bc，

6、B20bc，C21bc，D32bc，（ 2010 陕西省）将抛物线C ：2310yxx，将抛物线C 平移到 C 。若两条抛物线C ，C 关于直线1x对称，则下列平移方法中正确的是（）A将抛物线 C 向右平移52个单位B将抛物线C 向右平移 3个单位C将抛物线 C 向右平移 5个单位D将抛物线 C 向右平移 6个单位【例 5】 （2009 石景山二模）如图，四边形ABCD 是菱形，点D的坐标是03，以点 C 为顶点的抛物线2yaxbxc 恰经过x轴上的点A、B。求点 C 的坐标； 若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式。yxODCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

7、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4 【例 6】 （2008 宁波）如图，平行四边形ABCD 中，4AB， 点D的坐标是 (0 ，8) ，以点 C 为顶点的抛物线2yaxbxc 经过x轴上的点A，B。求点A，B， C 的坐标。若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式。板块三二次函数与二次方程【例 7】 （2010 东城一模）已知抛物线1C ：22yxx的图象如图所示，把1C 的图象沿y轴翻折，得到抛物线2C 的图象，抛物线1C 与抛物线2C 的图

8、象合称图象3C 。求抛物线1C 的顶点A坐标，并画出抛物线2C 的图象；若直线ykxb 与抛物线2(0)yaxbxc a有且只有一个交点时， 称直线与抛物线相切。若直线 yxb 与抛物线1C相切，求 b 的值；结合图象回答，当直线yxb与图象3C有两个交点时，b的取值范围。yxODCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 5 【例 8】 （2010 密云二模）已知抛物线241yxx。将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单

9、位长度，得到一条新的抛物线。求平移后的抛物线解析式；由抛物线对称轴知识我们已经知道：直线xm，即为过点 (0)m，平行于y轴的直线， 类似地，直线ym，即为过点(0)m，平行于x轴的直线。请结合图象回答：当直线ym与这两条抛物线有且只有四个交点，实数m的取值范围；若将已知的抛物线解析式改为2(0)yxbxc b，并将此抛物线沿x轴向左平移b 个单位长度，试回答中的问题。【例 9】 （2009 东城第一学期期末试题）下列命题： 若0abc，则240bac；若23bac ，则一元二次方程20axbxc有两个不相等的实数根；若240bac，则二次函数2yaxbxc 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或

10、 3。若 bac ，则一元二次方程20axbxc有两个不相等的实数根正确的是（）ABCD（ 2009 西城一模）若m、n（ mn ）是关于x的方程 10 xaxb的两根，且ab ，则a、 b、m、n的大小关系是（）A mabnB amnbC ambnD manb名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 6 【例 10】（2010 年西城毕业考试附加题）已知：关于x的方程2240 xaxa有两个实数根是1x 、2x （12x

11、x ） ，若关于x的另一个方程220 xaxk的两个实数根都在1x 和2x 之间。试比较：代数式4k、a、24a之间的大小关系。【例 11】（2009 北京）已知关于x的一元二次方程22410 xxk有实数根， k为正整数。求 k 的值；当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移8 个单位，求平移后的图象的解析式；在的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新的图象回答：当直线12yxb（ bk ）与此图象有两个公共点时，b 的取值范围。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

12、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 7 xy04测试题1. （ 2010 郴州市）将抛物线21yx向下平移2个单位， ?则此时抛物线的解析式是。（ 2010 宁夏）把抛物线2yx 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式（）A2(1)3yxB2(1)3yxC2(1)3yxD2(1)3yx（ 2010 毕节）把抛物线2yxbxc 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为235yxx，则（）A3b，7cB6b，3cC9b，5

13、cD9b，21c2.（ 2010 东城期末）对于二次函数2(0)yaxbxc a，如果当x取任意整数时，函数值y都是整数， 此时称该点xy，为整点， 该函数的图象为整点抛物线（例如：222yxx） 。请你写出一个二次项系数的绝对值小于1 的整点抛物线的解析式。 （不必证明） ；请直接写出整点抛物线222yxx与直线4y围成的阴影图形中（不包括边界）所含的整点个数。3. 已知二次函数2yaxbxc 的图象和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为04B，且 acb 。求该二次函数的解析表达式；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

14、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 8 将一次函数3yx 的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与抛物线的另一个交点为 C ，求ABC的面积。4. （2010 红河）二次函数2yx 的图象所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位。画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式。求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0 ？5. （2010 丰台二模）已知：关于x的一元二次方程222(1)0 xmxm有两个整数根，5m且m为整数。求m的值；当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数222(1)yxmxm 的图象沿x轴向左平移4个单位长度，求平移后的二次函数图象的解析式；当直线 yxb与中的两条抛物线有且只有三个交点时，求b 的值。答案名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -