2022年人教A版直线与圆锥曲线的位置关系三年高考两年模拟题 .pdf

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1、第六节直线与圆锥曲线的位置关系A 组三年高考真题（20162014 年）1.(2015四川，10)设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，与圆 (x5)2y2r2(r0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是() A.(1,3)B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 2.(2016新课标全国 ，21)已知 A 是椭圆 E：x24y231 的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA. (1)当 |AM|AN|时，求 AMN 的面积 . (2)当 2|AM| |AN|时，证明：3k

2、b0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P3，12在椭圆 E 上. (1)求椭圆 E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点A，B，线段 AB 的中点为M，直线 OM 与椭圆 E 交于 C，D，证明： |MA| |MB|MC| |MD |. 7.(2015天津， 19)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为55. (1)求直线 BF 的斜率；(2)设直线 BF 与椭圆交于点P(P 异于点 B)，过点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点Q(Q 异于点 B)，直线 PQ 与 y 轴交于点 M，|PM| |M

3、Q|. 求 的值；若 |PM|sinBQP759，求椭圆的方程. 8.(2015北京， 20)已知椭圆 C：x23y23，过点 D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C 交于A，B 两点，直线AE 与直线 x3 交于点 M. (1)求椭圆 C 的离心率；(2)若 AB 垂直于 x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由. 9.(2015江苏， 18)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过 F 的直线与椭圆交于A,B 两点 ,线

4、段 AB 的垂直平分线分别交直线l 和 AB 于点 P,C,若 PC2AB，求直线 AB 的方程 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 10.(2015湖北，22)一种画椭圆的工具如图1 所示.O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与ON 连接， MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DNON1，MN3，当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动

5、， M 处的笔尖画出的椭圆记为 C，以 O 为原点， AB 所在的直线为x 轴建立如图2 所示的平面直角坐标系. (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设动直线l 与两定直线l1：x2y0 和 l2：x2y0 分别交于P，Q 两点 .若直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由. 11.(2015山东，21) 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，且点3，12在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 E：x24a2y24b21，P 为椭圆 C 上任意一点，

6、过点 P 的直线 ykxm 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线PO 交椭圆 E 于点 Q. ( )求|OQ|OP|的值；( )求 ABQ 面积的最大值 . 12.(2015湖南， 20)已知抛物线C1：x24y 的焦点 F 也是椭圆C2：y2a2x2b21(ab0)的一个焦点 .C1与 C2的公共弦的长为26.过点 F 的直线 l 与 C1相交于 A，B 两点，与 C2相交于 C，D 两点，且 AC与BD同向 . (1)求 C2的方程；(2)若 |AC| |BD|，求直线 l 的斜率 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

7、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 13.(2014山东， 21)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105. (1)求椭圆 C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆C 的顶点 ).点 D 在椭圆C 上，且ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于M，N 两点 . 设直线BD，AM 的斜率分别为k1，k2.证明：存在常数使得 k1k2，并求出 的值；求 OMN 面积的最大值 . 14.(201

8、4江西， 20)如图，已知抛物线C：x24y，过点 M(0,2)任作一直线与C 相交于A，B两点，过点B 作 y 轴的平行线与直线AO 相交于点 D(O 为坐标原点 ). (1)证明：动点D 在定直线上；(2)作 C 的任意一条切线l(不含 x 轴)，与直线 y2 相交于点N1，与 (1)中的定直线相交于点N2，证明： |MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值. 15.(2014北京， 19)已知椭圆 C：x22y24. (1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点 .若点 A 在直线 y2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OAOB,求线段 AB 长度的最小值 . B 组两年模拟精选(2

9、0162015 年) 1.(2016东北四校联考 )设 P 是椭圆x225+y291 上一点 ,M,N 分别是两圆：(x+4)2+y21 和(x-4)2+y2=1 上的点，则 |PM|PN|的最小值、最大值分别为() A.9，12 B.8，11C.8，12 D.10，12 2.(2016四川成都第二次诊断)已知抛物线yx2的焦点 F， 过点 (0， 2)做直线 l 与抛物线交于A，B 两点，点F 关于直线 OA 的对称点为C，则四边形OCAB 面积的最小值为() A.23B.3C.32D.3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

10、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 3.(2016山东东营第二次质量检测)已知抛物线y28x 的准线与双曲线x2a2y2161 相交于 A，B两点，点F 为抛物线的焦点，ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为() A.3 B.2C.6D.3 4.(2016湖北八校联考 )点 A 是抛物线 C1：y22px(p0)与双曲线 C2：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线的交点(异于原点 )，若点 A 到抛物线 C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于 () A.2B.3C.5D.6 5.(2015太原模拟

11、 )已知 F1，F2分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，若|AB|AF2|， F1AF290，则双曲线的离心率为 () A.632B.63C.52 22D.52 2 6.(2015马鞍山模拟 )以双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的中心 O(坐标原点 )为圆心， 焦距为直径的圆与双曲线交于M 点(第一象限 )，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点， 过点 M 作 x 轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为() A.31 B.3C.31 D.2 7.(2016云南师大附中适应性月考)已知点 P(x，y)在椭圆

12、x264y2391 上，若定点 A(5，0)，动点M 满足 |AM|1，且 PMAM0，则 |PM|的最小值是 _. 8.(2015广西南宁三模 )已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴， 以抛物线y216x 的焦点为其中一个焦点，以双曲线x216y291 的焦点为顶点 . (1)求椭圆的标准方程；(2)若 E，F 是椭圆上关于原点对称的两点，则当直线 PE，PF 的斜率都存在，并记为kPE，kPF时， kPEkPF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 9.(2015巴蜀中学一模 )已知椭圆的焦点坐标是F1(1，0)，F2(1，0)，过点F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q 两

13、点，且 |PQ|3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - (1)求椭圆的方程；(2)过 F2的直线与椭圆交于不同的两点M，N，则 F1MN 的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 答案精析A 组三年高考真题（20162014 年）1.解析设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，则y214x1，y224x2，相减得 (y1+y2)(y1-y2)4

14、(x1-x2)，当 l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当 l 的斜率存在时，x1x2，则有y1y22y1y2x1x22，即 y0k2，由 CMAB 得 ky00 x05 1，y0k5x0，25x0， x03，即 M 必在直线x3 上，将 x3 代入 y24x，得 y212，有 23y023，点 M 在圆上， (x05)2y20r2，r2y20412416，又 y2044， 4r216， 2r4，故选 D. 答案 D 2.解(1)设 M(x1,y1),则由题意知y10,由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4. 又 A(-2,0),因此直线AM 的方程为y=x+2.

15、将 xy2 代入x24y231 得 7y212y0,解得 y0或 y127,所以 y1127.因此 AMN 的面积 SAMN21212712714449. (2)证明将直线AM 的方程 yk(x2)(k0)代入x24y231 得(34k2)x216k2x16k2120，由 x1 (2)16k21234k2得 x12（34k2）34k2，故 |AM|x12|1k2121k234k2. 由题设，直线AN 的方程为 y1k(x2)，故同理可得 |AN|12k1k23k24. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

16、 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 由 2|AM|AN|，得234k2k3k24，即 4k36k23k80，设 f(t)4t36t23t8,则 k 是 f(t)的零点 ,f(t)12t212t33(2t1)20,所以 f(t)在(0, )单调递增，又f(3)153260，因此 f(t)在(0， )有唯一的零点，且零点k在(3，2)内，所以3kb0)过点 P3，12，故34b214b21,解得 b21.所以椭圆 E 的方程是x24y21. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

17、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - (2)证明设直线 l 的方程为 y12xm(m0) ，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由方程组x24y21，y12xm，得 x22mx2m220，方程的判别式为 4m24(2m22)，由 0，即 2m20，解得2m14时， SOPQ84k214k218 124k218；当 0k214时， SOPQ84k2114k281214k2. 因 0k214，则 014k21，214k22，所以 SOPQ8 1214k28，当且仅当k 0时取等号 .所以当 k0 时， SOPQ的最小值

18、为8. 综合可知，当直线l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时，OPQ 的面积取得最小值8. 11.解(1)由题意知3a214b21.又a2b2a32，解得 a24，b21. 所以椭圆C 的方程为x24y21. (2)由 (1)知椭圆 E 的方程为x216y241. ( )设 P(x0， y0)，|OQ|OP| ，由题意知Q(x0， y0). 因为x204y201，又（ x0）216（ y0）241，即24x204y201，所以 2，即|OQ|OP|2. ( )设 A(x1， y1)，B(x2，y2). 将 ykxm 代入椭圆 E 的方程，可得 (14k2)x28kmx4m2160，由 0，可得

19、m2416k2，则有 x1x28km14k2，x1x24m21614k2. 所以 |x1x2|416k24m214k2. 因为直线y kxm 与 y 轴交点的坐标为(0，m)，所以 OAB 的面积 S12|m|x1x2|216k24m2|m|14k2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 2（16k24m2）m214k224m214k2m214k2. 设m214k2t，将 ykxm 代入椭圆 C 的方程，可得 (14

20、k2)x28kmx4m240，由 0，可得 m214k2.由可知0t1，因此 S 2（4t）t2t24t，故 S23，当且仅当t1，即 m214k2时取得最大值23. 由()知， ABQ 面积为 3S，所以 ABQ 面积的最大值为63. 12.解(1)由 C1：x24y 知其焦点F 的坐标为 (0，1).因为 F 也是椭圆C2的一个焦点 ,所以 a2b21.又 C1与 C2的公共弦的长为2 6，C1与 C2都关于 y 轴对称，且C1的方程为x24y，由此易知 C1与 C2的公共点的坐标为6，32，所以94a26b21.联立，得a29，b28.故 C2的方程为y29x281. (2)如图，设A(

21、x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4). 因AC与BD同向，且 |AC|BD|，所以 ACBD，从而 x3x1x4x2，即 x1x2x3x4，于是 (x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 ykx 1.由ykx1，x24y得 x24kx40. 而 x1，x2是这个方程的两根，所以x1x24k，x1x2 4.由ykx1，x28y291得(98k2)x216kx640. 而 x3，x4是这个方程的两根，所以x3x416k98k2，x3x46498k2，将，代入，得16(k21)162k2（98k2）246498k2，即

22、 16(k21)1629（k21）（98k2）2，所以 (98k2)2169，解得 k64，即直线 l 的斜率为 64. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 13.解(1)由题意知a2b2a32，可得 a24b2.椭圆 C 的方程可简化为x24y2a2. 将 yx 代入可得x5a5，因此22 5a54 105，可得 a2.因此 b1. 所以椭圆C 的方程为x24y21. (2)设 A(x1，y1)(x1y10)，

23、D(x2，y2)，则 B(x1， y1)，因为直线AB 的斜率 kABy1x1，又 ABAD，所以直线AD 的斜率 kx1y1.设直线 AD 的方程为 ykxm，由题意知k 0，m0.由ykxm，x24y21可得 (14k2)x28mkx4m240. 所以 x1x28mk14k2，因此 y1y2k(x1x2)2m2m14k2. 由题意知x1 x2，所以 k1y1y2x1x214ky14x1. 所以直线BD 的方程为 yy1y14x1(xx1). 令 y0，得 x3x1，即 M(3x1，0).可得 k2y12x1. 所以 k112k2，即 12. 因此存在常数 12使得结论成立 . 直线 BD

24、的方程 yy1y14x1(xx1)，令 x0，得 y34y1，即 N 0，34y1.由知 M(3x1，0)，可得 OMN 的面积 S123|x1|34|y1|98|x1|y1|. 因为 |x1|y1|x214y211，当且仅当|x1|2|y1|22时等号成立，此时S取得最大值98，所以 OMN 面积的最大值为98. 14.证明 (1)依题意可设AB 方程为 ykx2,代入 x24y,得 x24(kx2),即 x24kx80. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1x28，直线 AO 的方程为 yy1x1x；BD 的方程为 xx2.解得交点D 的坐标为xx2，yy1x2x1.注意到

25、x1x2 8 及 x214y1，则有 yy1x1x2x218y14y1 2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 因此 D 点在定直线y 2(x0)上. (2)依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为yaxb(a0)，代入x24y得 x24(axb)，即 x24ax4b0，由 0 得(4a)216b0，化简整理得b a2.故切线 l 的方程可写为yaxa2. 分别令 y2、y2 得 N1、N2的坐标

26、为 N12aa，2 ，N22aa， 2 ，则|MN2|2|MN1|22aa2422aa28，即|MN2|2|MN1|2为定值 8. 15.解(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x24y221. 所以 a24，b22，从而 c2a2b22.因此 a2，c2. 故椭圆 C 的离心率 eca22. (2)设点 A，B 的坐标分别为 (t，2)，(x0，y0)，其中 x00. 因为 OAOB，所以 OAOB0，即 tx02y00，解得 t2y0 x0.又 x202y204，所以 |AB|2(x0-t)2(y0-2)2 x02y0 x02(y02)2x20y204y20 x204x204x2022（4x2

27、0）x20+4x2028x204(0 x204). 因为x2028x204(0 x204)，且当 x204 时等号成立，所以|AB|28. 故线段 AB 长度的最小值为2 2. B 组两年模拟精选(20162015 年) 1.解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知 |PA|PB|2a10，连接 PA，PB 分别与圆相交于M，N 两点，此时 |PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2R8；连接 PA，PB 并延长，分别与圆相交于M，N 两点，此时 |PM|PN|最大，最大值为|PA|PB|2R12，即最小值和最大值分别为8，12. 答案 C 2.解析不妨设A(

28、x1，y1)， B(x2，y2)(x10 x2)，即点A 在点 B 左侧，当直线斜率不存在时，不名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 满足题意， 故可设直线方程为ykx2，联立抛物线方程可得x2kx20，故x1x2k，x1x2 2，y1y24SOCABSOABSOFA12 2 (x2x1)1214 ( x1)x298(x1) 298（ x1x2） 3. 答案D 3.解析由题意知，抛物线的准线x2， ABF 是等腰直

29、角三角形，如图易知A(2，4)，代入x2a2y2161，即得 a2，双曲线的离心率为ecaa216a1823. 答案A 4.解析不妨设点A 在第一象限， A 的坐标为p2，p ，C2的渐近线为ybax，得bap2p，即bac2a2a2，e5. 答案 C 5.解析设 |AF1|x，|AF2|y，则有 yx2a，又因为 F1AF290 ，所以 x2y24c2，F2ABF1，又因为 |AB|AF2|y，所以 BF22y，则|BF1|BF2|xy 2y2a ，联立得e2c2a2332 2，所以 e 6 3，故选B.答案 B 6.解析过点 M 作 x 轴垂线，交 x轴于点 A， 由|MF2|2|F2A|

30、 |F1F2|得|MF2|c， 由双曲线定义 |MF1|MF2|2a，得 |MF1|2ac，由|MF1|2|MF2|2|F1F2|24c2，得 c22ac2a20，即 e22e20，得 e31. 答案 C 7.解析由 |AM|1 可知点 M 的轨迹为以点A 为圆心， 1 为半径的圆，过点P 作该圆的切线，则|PA|2|PM|2|AM|2，得|PM|2|PA|21，所以要使 |PM|的值最小，则要|PA|的值最小，而 |PA|的最小值为ac3，此时 |PM|2 2. 答案 2 2 8.解(1)由抛物线y216x 的焦点为 (4， 0)可得 c4.可设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0).

31、 双曲线x216y291 的焦点为 ( 5，0).由题意知a5，b2a2b225169. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 故椭圆标准方程为x225y291. (2)kPE kPF为定值，该定值为925. 理由： E，F 是椭圆上关于原点对称的两点. 设 E(m，n)，则 F(m， n)，又设 P 点坐标为 (x，y).则m225n291，x225y291. 两式相减可得x2m225y2n290，即y2n2x2

32、m2925. (由题意知x2m20).又 kPEynxm，kPFynxm，则 kPE kPFy2n2x2m2925.kPE kPF为定值，且为925. 9.解(1)设椭圆的方程是x2a2y2b21(ab0)，由交点的坐标得c1,由|PQ|3,可得2b2a3,解得 a2,b3,故椭圆的方程是x24y231. (2)设 M(x1，y1)， N(x2，y2)，不妨设y10，y20，设F1MN 的内切圆半径是R，则 F1MN 的周长是 4a8，S F1MN 最大， R 就最大，S F1MN12|F1F2|y1y2|y1y2，由题知，直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为 xmy1，由xmy1，x2

33、4y231，得(3m24)y26my90，解得 y13m6m213m24，y23m6m213m24，则 S F1MN12m213m24，令 tm21，则 t1 ，则 S F1MN123t1t，令 f(t)3t1t，f(t) 31t2，当 t1时， f(t)0 ，f(t)在1， ) 上单调递增，有 f(t) f(1)4，SF1MN1243，即当 t1，m0 时， SF1MN1243，S F1MN4R，所以 Rmax34，此时所求内切圆面积的最大值是916，故直线 l：x1， F1MN 内切圆的面积最大值是916. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -