2022年人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解 .pdf

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1、 教学资料参考参考范本人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解Word 版_年_月_日_ 部门名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 一、选择题1设 00，故选 C.2(文)(20 xx 瑞安中学 ) 已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆 1 的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为 ( )A4x3y0 B3x4y0C4x5y0 D5x4y0 答案 A 解析 由题意知双曲线C 的焦点(5,0) ，顶点(3， 0

2、) ，a3，c5，b4，渐近线方程为yx，即 4x3y0.( 理)(20 xx 广东中山 ) 若椭圆 1 过抛物线 y28x 的焦点，且与双曲线 x2y21，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.1 B.y21C.1 Dx21 答案 A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 解析 抛物线 y28x 的焦点坐标为 (2,0) ，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为 (2,0) ，又椭圆与双曲线x2y21 有相同的焦点，a2，

3、c，c2a2b2，b22，椭圆的方程为 1.3分别过椭圆 1(ab0) 的左、右焦点F1、F2 作两条互相垂直的直线l1 、l2 ，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 ( )A(0,1) B.0，22C. D.0，22 答案 B 解析 依题意，结合图形可知以F1F2 为直径的圆在椭圆的内部，cb，从而c22c2，即e20，0eb0) 的离心率为，则双曲线 1 的渐近线方程为 ( )Ayx By2xCy4x Dyx 答案 A 解析 由椭圆的离心率e，故双曲线的渐近线方程为yx，选 A.6(文)(20 xx 市模考 )已知椭圆 E 的短轴长为6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于

4、9，则椭圆 E的离心率等于 ( )A. B. C. D.45 答案 A 解析 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、b、c，则由条件知， b6，ac9 或 ac9，又 b2a2c2(a c)(a c) 36，故， e .( 理)(20 xx 北京崇文区 ) 已知点 F，A 分别是椭圆 1(ab0) 的左焦点、右顶点， B(0，b) 满足 0，则椭圆的离心率等于 ( )A. B.512C. D.512 答案 B 解析 (c ，b)，(a，b)， 0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

5、 - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - acb20，b2a2c2，a2acc20，e2e10，e0，e.7(20 xx 浙江金华 )若点 P 为共焦点的椭圆C1和双曲线 C2的一个交点， F1、F2 分别是它们的左、右焦点设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为 e2，若 0，则 ( )A2 B. C. D3 答案 A 解析 设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a，焦距为 2c，则由条件知 |PF1| |PF2| 2a， |PF1| |PF2| 2a，将两式两边平方相加得：|PF1|2 |PF2|2 2(a2a2)，又|PF1|2 |PF2|2 4c2，a2a

6、22c2， 2.8(20 xx 重庆南开中学 ) 已知椭圆 1 的左右焦点分别为F1、F2，过 F2 且倾角为 45的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，以下结论中：ABF1的周长为 8；原点到 l 的距离为 1；|AB| ；正确结论的个数为 ( )A3 B2 C1 D0 答案 A 解析 a2，ABF1的周长为 |AB| |AF1| |BF1| |AF1|AF2| |BF1| |BF2| 4a8，故正确；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - -

7、- - - - - - F2(，0)，l ：yx，原点到 l 的距离 d1，故正确；将 yx代入 1 中得 3x24x0，x10，x2，|AB| ，故正确9(文)(20 xx 北京西区 ) 已知圆 (x 2)2y236 的圆心为M ，设 A 为圆上任一点， N(2,0) ，线段 AN的垂直平分线交MA于点 P，则动点 P的轨迹是 ( )A圆B椭圆C双曲线D抛物线 答案 B 解析 点 P 在线段 AN的垂直平分线上，故 |PA| |PN| ，又 AM是圆的半径，|PM|PN| |PM|PA| |AM|6|MN|，由椭圆定义知， P 的轨迹是椭圆( 理)F1、F2 是椭圆 1(ab0) 的两焦点，

8、 P 是椭圆上任一点，过一焦点引 F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为 ( )A圆B椭圆C双曲线D抛物线 答案 A 解析 PQ平分F1PA ，且 PQ AF1 ，Q为 AF1的中点，且 |PF1| |PA| ，|OQ|AF2| (|PA| |PF2|) a，Q点轨迹是以 O为圆心， a 为半径的圆名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 10(文)(20 xx 辽宁沈阳 ) 过椭圆 C ： 1(ab0) 的左顶

9、点 A的斜率为 k 的直线交椭圆 C于另一个点 B，且点 B在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F，若k，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B.23，1C. D.0，12 答案 C 解析 点 B的横坐标是 c，故 B的坐标，已知 k，B.斜率 k .由k，解得 eb0) 的一个顶点作圆x2y2b2 的两条切线，切点分别为A，B，若AOB 90(O 为坐标原点 )，则椭圆C的离心率为 _名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - -

10、- 答案 22 解析 因为AOB 90，所以 AOF 45，所以，所以e2 1，即 e.( 理)(20 xx 市模拟 )若椭圆 1(ab0) 与曲线x2y2a2b2 无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是 _ 答案 0，22 解析 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故bc，b2c2，即 a22c2，b0) 上存在点 P(x，y) ，使得 0，则椭圆离心率的范围是 _ 答案 e1 解析 在椭圆 1 上存在点 P，使 0，即以 OA为直径的圆与椭圆有异于 A的公共点以 OA为直径的圆的方程为x2axy20 与椭圆方程 b2x2a2y2a2b2联立消去 y 得名师资料总结 - - -精品资料欢

11、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - (a2 b2)x2 a3xa2b20，将 a2b2c2 代入化为 (x a)(c2x ab2)0，xa，x，由题设 a，0e1，e1.( 理)已知 A(4,0) ，B(2,2) 是椭圆 1 内的点， M 是椭圆上的动点，则 |MA|MB|的最大值是 _ 答案 10210 解析 如图，直线 BF与椭圆交于 M1 、M2.任取椭圆上一点M ，则|MB|BF| |MA|MF|MA|2a|M1A|M1F|M1A|M1B|

12、BF|MB|MA|M1B|M1A|2a|BF|.同理可证 |MB|MA|M2B|M2A|2a|BF| ，102|MB|MA|102.14(文) 已知实数 k 使函数 ycoskx 的周期不小于2，则方程1 表示椭圆的概率为 _ 答案 12 解析 由条件 2，k，当 00，b0)的面积为ab，M包含于平面区域：内，向 内随机投一点Q ，点 Q落在椭圆 M内的概率为，则椭圆M的方程为 _ 答案 1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - -

13、 - - - 解析 平面区域 ：是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得，即 ab2.因为 0a2,0b0) 的长轴长为 4.(1) 若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线yx2 相切，求椭圆 C的焦点坐标；(2) 若点 P是椭圆 C上的任意一点，过焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N两点，记直线PM ，PN的斜率分别为kPM 、kPN ，当 kPM kPN 时，求椭圆的方程 解析 (1) 圆 x2y2b2 与直线 yx2 相切，b，得 b.又 2a4，a2，a24，b22，c2a2b22，两个焦点坐标为 ( ，0)，(，0)(2) 由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于

14、坐标原点对称，不妨设： M(x0，y0)，N(x0，y0) ，P(x，y) ，由于 M ，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有 1， 1.两式相减得： .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 由题意可知直线PM 、PN的斜率存在，则kPM ，kPN ，kPM kPN ，则，由 a2 得 b1，故所求椭圆的方程为y21.( 理)(20 xx 北京东区 )已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F(2,0) ，且长轴长与

15、短轴长的比是(1) 求椭圆 C的方程；(2) 设点 M(m,0)在椭圆 C的长轴上，点 P 是椭圆上任意一点当 |最小时，点 P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围 解析 (1) 设椭圆 C的方程为 1(ab0)由题意，解得 a216，b212.所以椭圆 C的方程为 1.(2) 设 P(x ，y) 为椭圆上的动点，由于椭圆方程为1，故4x4.因为 (x m ，y) ，所以|2 (x m)2y2(x m)212.x22mx m2 12(x 4m)2123m2.因为当 | 最小时，点 P恰好落在椭圆的右顶点，即当 x4 时，|2取得最小值而 x 4,4 ，故有 4m 4，解得 m 1.又点 M

16、在椭圆的长轴上，即 4m 4.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 故实数 m的取值范围是 m 1,4 16(20 xx 辽宁文， 20)设 F1，F2 分别为椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点，过F2 的直线 l 与椭圆 C相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60，F1到直线 l 的距离为 2.(1) 求椭圆 C的焦距；(2) 如果2，求椭圆 C的方程 解析 (1) 设焦距为 2c，则 F1(c,0)

17、，F2(c,0)kl tan60 3 l 的方程为 y(x c)即：xyc0F1到直线 l 的距离为 23 c23 c2椭圆 C的焦距为 4(2) 设 A(x1，y1) ，B(x2，y2)由题可知 y10，y20直线 l 的方程为 y(x 2)由消去 x 得，(3a2b2)y2 4b2y3b2(a24) 0由韦达定理可得错误!2， y12y2，代入得2得错误!又 a2b24 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 由

18、解得 a29 b25椭圆 C的方程为 1.17( 文)(20 xx 安徽文 ) 椭圆 E 经过点A(2,3) ，对称轴为坐标轴，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率 e.(1) 求椭圆 E的方程；(2) 求F1AF2的角平分线所在直线的方程 解析 (1) 由题意可设椭圆方程为1(ab0)e，即， a2c又 b2a2c23c2椭圆方程为 1. 又椭圆过点 A(2,3) 1，解得 c24，椭圆方程为 1.(2) 法一：由 (1) 知 F1(2,0) ，F2(2,0) ，直线 AF1的方程 y(x 2) ，即 3x4y60，直线 AF2的方程为 x2.设 P(x，y) 为角平分线上任意一点，则点P到

19、两直线的距离相等即|x 2|3x4y65(x 2) 或 3x4y65(2x)即 x2y80 或 2xy10.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求F1AF2的平分线所在直线方程为 2xy10.法二：设 AM平分F1AF2 ，则直线 AF1与直线 AF2关于直线 AM对称由题意知直线 AM的斜率存在且不为0，设为 k.则直线 AM方程 y3k(x 2) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 由(1) 知 F1(2,0

20、) ，F2(2,0) ，直线 AF1方程为 y(x 2) ，即 3x4y60设点 F2(2,0) 关于直线 AM的对称点 F2(x0，y0)，则错误!解之得 F2(，)直线 AF1与直线 AF2关于直线 AM对称，点 F2在直线 AF1上即 3460.解得 k或 k2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，k( 舍去)故F1AF2的角平分线所在直线方程为2xy10.法三： A(2,3) ，F1(2,0) ，F2(2,0) ，(4，3)，(0 ，3)， ( 4，3)(0 ，3)(1,2) ，kl 2，l ：y32(x2) ，即 2xy10. 点评 因为 l 为F1AF2的平分线，与的单位向量的

21、和与l 共线从而可由、的单位向量求得直线l的一个方向向量，进而求出其斜率( 理)(20 xx 湖北黄冈) 已知点A(1,1) 是椭圆 1(ab0) 上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1| |AF2| 4.(1) 求椭圆的两焦点坐标；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - (2) 设点 B 是椭圆上任意一点，如果|AB| 最大时，求证A、B 两点关于原点 O不对称；(3) 设点 C、D是椭圆上两点，直线AC

22、 、AD的倾斜角互补，试判断直线 CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由 解析 (1) 由椭圆定义知： 2a4，a2， 1把(1,1) 代入得 1b2，则椭圆方程为 1c2a2b24， c2 63故两焦点坐标为， .(2) 用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则 B点坐标为 ( 1，1) ，此时|AB| 2，取椭圆上一点 M(2,0) ，则|AM|10 |AM|AB|.从而此时 |AB| 不是最大，这与 |AB| 最大矛盾，所以命题成立(3) 设 AC方程为： yk(x 1)1联立消去 y 得(1 3k2)x2 6k(k 1)x3k26k10点 A(1,1) 在椭圆

23、上xC3k26k13k21直线 AC 、AD倾斜角互补AD的方程为 yk(x 1)1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 同理 xD3k26k13k21又 yCk(xC1)1，yDk(xD1) 1yCyDk(xCxD)2k所以 kCD 13即直线 CD的斜率为定值 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -