2022年人教版高中数学必修全册教案 .pdf

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1、按住 Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放人教版数学必修二第一章空间几何体重难点解析第一章课文目录11 空间几何体的结构12 空间几何体的三视图和直观图13 空间几何体的表面积与体积重难点：1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。2、画出简单组合体的三视图。3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。知识结构 ：表面积体积度 量空间几何体柱体球体锥体台体中心投影平行投影棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台三视图直观图一、空间几何体的结构、三视图和直观图1柱、锥、台、球

2、的结构特征（1）柱棱柱： 一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面， 简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形, 的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱,圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱； 旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥： 一

3、般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - - 底面是三角锥、四边锥、五边锥, 的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥,圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体

4、叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。棱锥与圆锥统称为锥体。（3）台棱台： 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。圆台： 用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。圆台和棱台统称为台体。（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。（

5、5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。几种常凸多面体间的关系一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质：名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - - 对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面

6、全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有 一 个 面 是 多边形， 其余各面是 有 一 个 公 共顶 点 的 三 角 形的多面体底 面 是 正 多 边形，且顶点在底面 的 射 影 是 底面 的 射 影 是 底面 和 截 面 之 间的部分用 一 个 平 行 于棱 锥 底 面 的 平面去截棱锥， 底面 和 截 面 之 间的部分由 正 棱 锥 截 得的棱台侧棱相 交 于 一 点 但不一定相等相 交 于 一 点 且相等延 长 线 交 于 一点相 等 且 延 长 线交于一点侧面的形状三角形全 等 的 等 腰 三角形梯形全 等 的 等 腰 梯形对角面的形状三角形

7、等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与 底 面 相 似 的多边形与 底 面 相 似 的正多边形与 底 面 相 似 的多边形与 底 面 相 似 的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、 侧面与底面、 相邻两 侧 面 所 成 角都相等两 底 中 心 连 线即高； 侧棱与底面 、 侧 面 与 底面、相邻两侧面所成角都相等几种特殊四棱柱的特殊性质：名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等， 交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正

8、方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - - 2空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；三视图画法规则：高平齐：主

9、视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等3空间几何体的直观图（1）斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX ，OY ，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上） 画出对应的OX,OY, 使X OY=450（或 1350） ，它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、 Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。（2）平行投影与中心投影

10、平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。注意：画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定， 依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。例题讲解： 例 1 将正三棱柱截去三个角（如图1 所示ABC， ，分别是GHI三边的中点）得到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图 （或称左视图） 为（）E F D I A H G B C E F D A B C 侧视图 1 图 2 B E AB E BB E CB E D名师资料总结 - - -精品资料欢

11、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - - C1D1B1A1ODCBA 例 2 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为棱 AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线 A1D1，EF ，CD都相交的直线（）A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条 例 3正方体 ABCD_ A1B1C1D1的棱长为 2，点 M 是 BC 的中点， 点 P 是平面 ABCD 内的一个动点，且满足PM=2 ，P 到直线 A1D1的距离为5，则点 P的轨迹是（）

12、A.圆B.双曲线C.两个点D.直线解析：点 P 到 A1D1的距离为5，则点 P 到 AD 的距离为 1，满足此条件的P 的轨迹是到直线 AD 的距离为 1 的两条平行直线，又2PM，满足此条件的P 的轨迹是以M 为圆心，半径为2 的圆，这两种轨迹只有两个交点 . 故点 P 的轨迹是两个点。选项为C。点评： 该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。 例 4两相同的正四棱锥组成如图1 所示的几何体，可放棱长为1 的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（）A1 个B2 个C3 个D无穷多个解析： 由于两个正

13、四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形 ABCD 的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。题型 2：空间几何体的定义 例 5长方体1111ABCDA B C D的 8 个顶点在同一个球面上，且AB=2 ，AD=3，11AA，则顶点 A、 B 间的球面距离是( ) A42B22C2D22解析：1122 2,B

14、DACR2,R设11,BDACO则2,OAOBR,2AOB2,2lR故 选.点评： 抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - - 例 6已知直线m,n 和平面,满足,amnm,则( ) .An,/.nB或nnC.,/.nD或n解析： 易知 D正确 .点评： 对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。题型 3：空间几何体中的想象能力 例 7如图所示，四棱

15、锥PABCD的底面ABCD是边长为 1 的菱形，060BCD，E 是 CD 的中点， PA底面 ABCD ，3PA。（I）证明：平面PBE平面 PAB；（II）求二面角ABEP 和的大小。解析： 解法一（ I）如图所示 , 连结,BD由ABCD是菱形且060BCD知，BCD是等边三角形 . 因为 E 是 CD 的中点，所以,BECD又,ABCD/ /所以,BEAB又因为 PA平面 ABCD ，BE平面 ABCD ，所以,BEPA而,ABAPA因此BE平面 PAB. 又BE平面 PBE，所以平面PBE平面 PAB. （ II）由（ I）知，BE平面 PAB, PB平面 PAB, 所以.PBBE又

16、,BEAB所以PBA是二面角ABEP的平面角在RtPAB中, tan3,60.PAPBAPBAAB故二面角ABEP的大小为60.解法二：如图所示,以 A 为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是(0 0 0),A，(1 0 0),B ，33(0),22C，13(0),22D，(0 03),P，3(10).2E ，（I）因为3(0,0),2BE，平面 PAB 的一个法向量是0(0 1 0),n， ，所以BE和0n共线 . PABCED名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

17、第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - - 从而BE平面 PAB. 又因为BE平面 PBE，所以平面PBE平面 PAB. （II ） 易知3(10,3),(0,0),2PBBE，设1n111()xyz， ，是平面 PBE 的一个法向量 , 则由1100n PBn BE，得11111103030002xyzxyz，所以1113.yxz=0，故可取1n( 3 01).，而平面 ABE 的一个法向量是2(0 0 1).n，于是 ,1212121cos,.2| |n nn nnn故二面角ABEP的大小为60.点评： 解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能

18、力。 例 8如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的大小解析：解法一：（）取AB中点D，连结PDCD，APBP，PDABACBC，CDABPDCDD，AB平面PCDPC平面PCD，PCAB（）ACBC，APBP，APCBPC又PCAC，PCBC又90ACB，即ACBC，且ACPCC，BC平面PAC取AP中点E连结BECE，ABBP，BEAPEC是BE在平面PAC内的射影，CEAPA C B P A C B D P A C B E P 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

19、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - - BEC是二面角BAPC的平面角在BCE中，90BCE，2BC，362BEAB，6sin3BCBECBE二面角BAPC的大小为6arcsin3解法二：（）ACBC，APBP，APCBPC又PCAC，PCBCACBCC，PC平面ABCAB平面ABC，PCAB（）如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz则(0 0 0)(0 2 0)(2 0 0)CAB，设(0 0)Pt， ，2 2PBAB，2t，(0 0 2)P，取AP中点E，连结BECE，ACPC，ABBP，CEAP

20、，BEAPBEC是二面角BAPC的平面角(011)E， ，(011)EC， ，(211)EB， ，23cos326EC EBBECEC EB二面角BAPC的大小为3arccos3点评： 在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。 而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空A C B P z x y E 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - - 间想象能

21、力的主要方向。 例 9画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm 侧棱长为 5cm。解析： 先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z 轴方向平移即可得。作法：（1）画轴：画 X，Y， Z轴，使 XOY=45（或 135） ，XOZ=90。（2）画底面：按X轴， Y轴画正五边形的直观图ABCDE 。（3）画侧棱：过A、 B、C、D、E 各点分别作Z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 AA ，BB， CC， DD， EE。（4）成图：顺次连结A， B， C， D， F，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线。点评： 用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。 例 10CBA是正 ABC

22、 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若CBA的面积为3，那么 ABC 的面积为 _。解析 ：62。点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。 例 11如图，在棱长为1 的正方体ABCDA B C D中， AP=BQ=b （0b1） ，截面PQEFA D，截面 PQGHAD（）证明：平面PQEF 和平面 PQGH 互相垂直；（）证明：截面PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（）若D E与平面 PQEF 所成的角为45，求D E与平面 PQGH 所成角的正弦值本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系， 解三

23、角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。解析：解法一：（）证明：在正方体中，ADA D，ADAB，又由已知可得PFA D，PHAD，PQAB，所以PHPF，PHPQ，所以PH平面PQEF所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直（）证明：由（）知22PFAPPHPA，又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF 和截面 PQGH 面积之和是A B C D E F P Q H ABCDG A B C D E F P Q H ABCDG N M 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

24、心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - - (22)2APPAPQ，是定值（III ）解：连结BC交 EQ 于点 M因为PHAD，PQAB，所以平面ABC D和平面 PQGH 互相平行，因此D E与平面 PQGH 所成角与D E与平面ABC D所成角相等与（）同理可证EQ平面 PQGH，可知 EM平面ABC D，因此 EM 与D E的比值就是所求的正弦值设AD交 PF 于点 N，连结 EN，由1FDb知222(1)2(1)22D EbNDb，因为AD平面 PQEF，又已知D E与平面 PQEF 成45角，所以2D END，即2222(1)(

25、1)222bb，解得12b，可知 E 为 BC 中点所以 EM=24，又23(1)22D Eb，故D E与平面 PQCH 所成角的正弦值为26EMD E解法二：以 D 为原点，射线DA，DC， DD分别为 x，y，z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz 由已知得1DFb，故(1 0 0)A ，(1 01)A，(0 0 0)D，(0 0 1)D，(10)Pb，(11)Qb， ，(11 0)Eb， ，(10 0)Fb，( 11)G b， ，(01)H b，（）证明：在所建立的坐标系中，可得(0 1 0)(0)PQPFbb， ，(10 1)PHbb，( 1 01)( 1 01)ADA D，因

26、为00AD PQAD PF，所以AD是平面 PQEF 的法向量A B C D E F P Q H ABCDy x z G 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - - 因为00A D PQA D PH，所以A D是平面 PQGH 的法向量因为0ADA D，所以A DAD，所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直（） 证明：因为(010)EF， ，所以EFPQ EFPQ，又PFP Q，所以 PQEF为矩形，同理PQGH

27、 为矩形在所建立的坐标系中可求得2(1)PHb，2PFb，所以2PHPF，又1PQ，所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为2，是定值（）解：由已知得D E与AD成45角，又(111)( 1 01)D EbAD， ，可得22222(1)2D E ADbD E ADb，即221(1)2bb，解得12b所以1112D E， ，又( 101)A D，所以D E与平面 PQGH 所成角的正弦值为1122| cos|3622D E A D，点评： 考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。 例 12多面体上，位于同一条棱两端

28、的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和 4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则 P到平面的距离可能是：3； 4；5； 6；7 以上结论正确的为_（写出所有正确结论的编号）解析： 如图， B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则 D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为 6；B、A1的中点到平面的距离为52，所以 B1到平面的距离为5；则 D 、B 的中点到平面的距离为32，所以 C到平面的距离为 3；C、A B C D A1 B1 C1 D1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

29、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - - A1的中点到平面的距离为72，所以 C1到平面的距离为 7；而 P为 C、C1、B1、D1中的一点，所以选。点评： 该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。 例 13（1）画出下列几何体的三视图解析： 这二个几何体的三视图如下（2）如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）点评： 画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。 画的时候

30、把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。 例 14某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。点评： 主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 27 页 - -

31、 - - - - - - - 二、空间几何体的表面积和体积1多面体的面积和体积公式：名称侧面积 (S侧) 全面积 (S全) 体 积(V) 棱柱棱柱直截面周长l S侧+2S底S底h=S直截面h 直棱柱ch S底h 棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底31S底h 正棱锥21ch棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底31h(S上底+S下底+下底下底SS) 正棱台21 (c+c )h 表中 S表示面积， c、 c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高， h表示斜高， l 表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式：名称圆柱圆锥圆台球S侧2rl rl (r1+r2)l S全2r(l+r) r(l+r) (r1+r

32、2)l+ (r21+r22) 4R2V r2h( 即r2l) 31r2h 31h(r21+r1r2+r22) 34R3表中 l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。3探究柱、锥、台的体积公式：1、棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积，即VSh柱体2、类似于柱体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到，由于底面积为S，高为h的棱柱的体积VSh棱锥

33、，所以13VSh锥体3、台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算如果台体的上、下底面面积分别为SS，高为h，可以推得它的体积是1()3Vh SSSS台体4、柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下：11()()(0)33VShSS Vh SSSSSVSh柱体台体锥体4探究球的体积与面积公式：1球的体积：（1）比较半球的体积与其等底等高的旋转体的体积结论：半球圆锥圆 柱VVV名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 27 页 - - - - - - - -

34、- （2）利用“倒沙实验” ，探索底面半径和高都为球半径的圆柱、圆锥与半球三者体积之间的关系（课件演示）结论：（3）得到半径是的球的体积公式：结论2球的表面积：由于球的表面是曲面, 不是平面 , 所以球的表面积无法利用展开图来求. 该如何求球的表面积公式 ?是否也可借助分割思想来推导呢?（课件演示）图 1 （1）若将球表面平均分割成n 个小块 , 则每小块表面可近似看作一个平面, 这 n 小块平面面积之和可近似看作球的表面积. 当 n趋近于无穷大时, 这 n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积. （2）若每小块表面看作一个平面, 将每小块平面作为底面, 球心作为顶点便得到n个棱锥 , 这些

35、棱锥体积之和近似为球的体积. 当 n越大 , 越接近于球的体积, 当 n 趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. （3）半径为 R的球的表面积公式：结论：例题讲解：例 1一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长. 解析： 设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得：24)(420)(2zyxzxyzxy)2()1 (由（ 2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36 （3）由（ 3）（ 1）得 x2+y2+z2=16 即 l2=16 所以 l=4(cm) 。点评： 涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正

36、方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例 2如图 1 所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4 ，AA1=3，ABO O iSiV332231221RRRRRVVV圆锥圆柱球334RV球24 RS球名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - - AD ， A1AB= A1AD=3。（1）求证：顶点A1在底面 ABCD 上的

37、射影 O 在 BAD 的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。图 1 图 2 解析： （1）如图 2，连结 A1O，则 A1O底面 ABCD 。作 OMAB 交 AB 于 M，作 ONAD 交 AD 于 N，连结 A1M，A1N。由三垂线定得得A1MAB ，A1NAD 。 A1AM=A1AN ，RtA1NA RtA1MA, A1M=A1N，从而 OM=ON 。点 O 在 BAD 的平分线上。（2） AM=AA1cos3=321=23AO=4cosAM=223。又在 RtAOA1中， A1O2=AA12 AO2=929=29，A1O=223，平行六面体的体积为22345V230。例 3一个长方

38、体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（）A23B 32C 6 D6解析： 设长方体共一顶点的三边长分别为a=1， b2，c3，则对角线l 的长为l=6222cba；答案 D。点评： 解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例 4如图，三棱柱ABC A1B1C1中，若 E、 F 分别为 AB 、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1V2= _ _。解析： 设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则 V=V1+V2Sh。E、F 分别为 AB 、AC的中点，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

39、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 27 页 - - - - - - - - - P A B C D O E SAEF=41S, V1=31h(S+41S+41S)=127Sh V2=Sh-V1=125Sh，V1V2=75。点评： 解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型 3：锥体的体积和表面积例 5（2006 上海， 19）在四棱锥PABCD 中，底面是边长为2 的菱形， DAB 60 ，对角线 AC 与BD 相交于点O， PO平面

40、 ABCD ， PB 与平面 ABCD所成的角为60 ，求四棱锥PABCD 的体积？解析： （1）在四棱锥 P-ABCD 中， 由 PO平面ABCD, 得 PBO 是 PB 与平面ABCD所成的角，PBO=60 。在 RtAOB 中 BO=ABsin30 =1, 由 POBO，于是 PO=BOtan60 =3，而底面菱形的面积为23。四棱锥 PABCD 的体积 V=31 233=2。点评： 本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。例 6 （2002 京皖春文， 19） 在三棱锥SABC 中， SAB=SAC=ACB=90，且 AC=BC=

41、5，SB=55。 （如图所示）（）证明： SCBC；（）求侧面SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小；（）求三棱锥的体积VSABC。解析： （）证明：SAB=SAC=90，SAAB，SAAC。又 AB AC=A，SA平面 ABC。由于 ACB=90，即 BCAC，由三垂线定理，得SCBC。（） BCAC，SCBC。 SCA 是侧面 SCB 与底面 ABC 所成二面角的平面角。在 RtSCB 中， BC=5，SB=55，得 SC=22BCSB=10。在 RtSAC 中 AC=5，SC=10，cosSCA=21105SCAC，图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

42、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - - SCA=60，即侧面SBC 与底面 ABC 所成的二面角的大小为60。（）解：在RtSAC 中，SA=755102222ACSC，SABC=21ACBC=2155=225， VSABC=31SACBSA=631257522531。点评： 本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。题型 4：锥体体积、表面积综合问题例 7ABCD 是边长为 4 的正方形， E、F 分别是 AB 、AD 的中

43、点， GB 垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC2，求点 B 到平面 EFC 的距离？解析： 如图，取EF 的中点 O，连接 GB、GO、CD、FB 构造三棱锥BEFG。设点 B 到平面 EFG 的距离为 h，BD 4 2，EF2 2，CO344 23 2。GOCOGC22223 2218422()。而 GC平面 ABCD ，且 GC2。由VVBEFGGEFB，得16EFGOh13SEFB点评： 该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点 B为顶点， EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。例 8（

44、2006 江西理， 12）如图，在四面体ABCD中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与 BC ，DC分别截于 E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥 ABEFD 与三棱锥 AEFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）AS1S2 BS1S2CS1=S2 DS1，S2的大小关系不能确定解析： 连 OA 、OB、OC、OD，则 VABEFDVOABDVOABE VOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又 VABEFD VAEFC，DBAOCEF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

45、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - - 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面 AEF 公共，故选C 点评： 该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。例 9（2002 北京理， 18）如图 924，在多面体ABCD A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，

46、d 与 a，b，且 ac，bd，两底面间的距离为h。（）求侧面ABB1A1与底面 ABCD 所成二面角的大小；（）证明： EF面 ABCD ；（）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面h 来计算 .已知它的体积公式是 V=6h（S上底面+4S中截面+S下底面） ，试判断V估与 V 的大小关系，并加以证明。（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）（）解：过B1C1作底面 ABCD 的垂直平面，交底面于PQ，过 B1作 B1GPQ，垂足为 G。如图所示：平面ABCD平面 A1B1C1D1， A1B1C1=90，ABPQ，AB B1P. B1PG 为所求

47、二面角的平面角.过 C1作 C1HPQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形。PG=21（bd） ，又 B1G=h， tanB1PG=dbh2（bd） ， B1PG=arctandbh2，即所求二面角的大小为arctandbh2. （）证明：AB，CD 是矩形 ABCD 的一组对边，有ABCD，又 CD 是面 ABCD 与面 CDEF 的交线，AB面 CDEF 。EF 是面 ABFE 与面 CDEF 的交线，ABEF。AB 是平面 ABCD 内的一条直线，EF 在平面 ABCD 外，EF面 ABCD。（） V估V。证明： ac， bd，V V估=hd

48、bcadbcaabcdh22)224(6=12h2cd+2ab+2（ a+c） （b+d） 3（a+c） （b+d） =12h（ac） （bd） 0。图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - - V估V。点评： 该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体 （拟柱体）中， 能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具

49、实际意义的问题。考查了考生继续学习的潜能。例 10（1） （1998 全国， 9）如果棱台的两底面积分别是S、S，中截面的面积是S0，那么（）ASSS02BSSS0C2S0S SDS022SS （2） （1994 全国， 7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2 和 4，高为 2，则其体积为（）A323B283C243D203解析：（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；（2） 正六棱台上下底面面积分别为：S上6432263，S下 643 42243，V台328)(31下下上上SSSSh，答案 B。点评： 本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选

50、择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。题型 6：圆柱的体积、表面积及其综合问题例 11（2000 全国理， 9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A221B441C21D241解析： 设圆柱的底面半径为r，高为 h，则由题设知h=2 r. S全=2r2+（2r）2=2r2（1+2） .S侧=h2=42r2，221侧全SS。答案为 A。点评： 本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。例 12（2003 京春理 13，文 14）如图 99，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高