2022年自主招生竞赛三角函数 .pdf

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1、三角函数知识定位三角函数的知识无论是在高考，自招还是竞赛中都是必考知识。有时三角函数会以单独题目出现， 如解三角形， 证明三角恒等式、不等式等，也有时是解决其他问题的必经之路或是辅助工具，如数列问题，平面几何问题，复数问题等等。本节将介绍三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。（注：本章中A，B，C 同时出现即默认为三角形ABC 的三个内角）知识梳理三倍角公式)3tan()3tan(tantan31tantan33tan)3cos()3cos(cos4cos3cos43cos)3sin()3sin(sin4sin4sin33sin2333教学提示： 在这里可以向学生指出，对nsin和

2、ncos而言，它们分别是sin和cos的n 次多项式， 这一点可以通过数学归纳法结合两角和公式来证明。三个公式的后半部分有时可以处理一些三角函数的连乘问题。三角形的一些简单的恒等式1coscoscos22cos2cos2cos2sin2sin2sin41coscoscos2cos2cos2cos4sinsinsin12tan2tan2tan2tan2tan2tansinsinsin42sin2sin2sin2cot2cot2cot2cot2cot2cot1cotcotcotcotcotcottantantantantantanCBACBACBACBACBACBAACCBBACBACBACBAC

3、BAACCBBACBACBA教学提示：在这里可以向学生指出，如第一，二，三，五，八个恒等式常可以用来做三角代换，即在一些给定条件如xyzzyx的代数问题中可以作代换Axtan，Bytan，Cztan进而使用三角函数知识以及条件CBA解决问题。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 三角不等式233sinsinsin23coscoscos1cotcotcottantantansinsinsincoscoscos1812c

4、os2cos2cos812sin2sin2sinCBACBACBACBACBACBACBACBA例题精讲一三倍角公式【例 1】【题目来源】【题目】设x 为锐角，并且满足31cos3cosxx，求xxsin3sin的值。【难度系数】1 【证明】 由三倍角公式3cos4coscos3cos4cos3cos23xxxxxx以及xxxxxx23sin43sinsin4sin3sin3sin故2cos3cossin3sinxxxx得37sin3sinxx【例 2】【题目来源】【题目】证明：)3sin()3sin(sin43sin【难度系数】2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

5、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 【例 3】【题目来源】【题目】证明：)3tan()3tan(tan3tan【难度系数】2 【证明】)3tan()3tan(tan3tantan31tantan3tan1tan2tan1tan1tan2tan2tantan12tantan3tantan31tantan3tan31tan3tan31tan3tan)3tan()3tan(tan232223【例 4】【题目来源】【题目】求85cot35cot25cot15cot的值。【难度系数】

6、3 【解析】5tan55tan65tan15cot85cot35cot25cot15cot利用三倍角公式)3tan()3tan(tan3tan得15tan5tan55tan65tan故115tan15cot85cot35cot25cot15cot二三角形的一些简单的恒等式【例 5】【题目来源】【题目】证明：CBACBAtantantantantantan【难度系数】1 （PS：由本题结论即推得1cotcotcotcotcotcotACCBBA）【证明】CBCBCBCBAtantan1tantan)tan()tan(tan化简即得CBACBAt ant ant ant ant ant an【例

7、6】【题目来源】【题目】证明：12tan2tan2tan2tan2tan2tanACCBBA【难度系数】1 （PS：由本题结论即推得2cot2cot2cot2cot2cot2cotCBACBA)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 【证明】2tan2tan2tan2tan12tan12tan2tanCBCBCBCBA化简移项即得12tan2tan2tan2tan2tan2tanACCBBA【例 7】【题目来源】【题目

8、】证明：CBACBAsinsinsin42sin2sin2sin【难度系数】2 【证明】（PS：三角恒等式的证明就是不断使用和差化积，积化和差以及三角形内角关系来化简式子，向待证的另一端靠拢的过程）【例 8】【题目来源】【题目】证明：2sin2sin2sin41coscoscosCBACBA【难度系数】2 【证明】【例 9】【题目来源】【题目】 已知正实数a， b， c 满足abccba，求证：23111111222cba【难度系数】3 【证明】 令Aatan，Bbtan，Cctan，其中 A,B,C 为三角形的内角则原不等式等价于23tan11tan11tan11222CBACBABABAC

9、CBACCCBABACBAsinsinsin4)cos()(cos(sin2)cos)(cos(sin2cossin2)cos()sin(22sin2sin2sin2sin2sin2sin41)2cos2(cos2sin21)2sin2(cos2sin212sin212cos2sin2)2sin21(2cos2cos2coscoscos22CBABABACCBACCBACCBABACBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - -

10、- - 即23coscoscosCBA由本章节后面的例13 可知上式的正确性教学提示： 把本题作为恒等式部分的例题是为了告诉学生三角代换是如何使用的，这里还应该提及利用其它三角恒等式做三角代换解代数题的情形【例 10】【题目来源】【题目】证明：2sin21sin)2sin()sin()sin(sinnnn【难度系数】4 【证明】),2cos()2cos(212sinsin)sin()2sin()sin(sin2sin,)212cos()212cos(212sin)sin(,)23cos()25cos(212sin)2sin(),2cos()23cos(212sin)sin(nnnn各项相加得类

11、似地.21sin)2sin()2cos()212cos(21nnn.21sin)2sin()2cos()212cos(21nnn所以，.2sin21sin)2sin()sin()sin(sinnnn【例 11】【题目来源】【题目】证明：对任一自然数n 及任意实数kmx2（k=0,1,2,， n，m 为任一实数）有.2cotcot2sin14sin12sin1xxxxxnn【难度系数】3 【证明】,2cotcot2sin2coscossin2cos22sin2coscos22sin122xxxxxxxxxxx同理xxx4cot2cot4sin1xxxnnn2cot2cot2sin11名师资料总结

12、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - （PS：就算不知道本题的裂项技巧，也可以通过尝试使用数学归纳法证明本题来得到这个裂项公式）【例 12】【题目来源】【题目】证明：)sin3sin3(4133sin13233sin333sinnnnn【难度系数】3 【证明】 由三倍角公式3sin4sin33sin变形可得)3sin313sin13(41133sin3)3sin323sin23(41233sin3)sin3sin3(4133si

13、nnnnnnn通加即得)sin3sin3(4133sin13233sin333sinnnnn三三角不等式【例 13】【题目来源】【题目】证明：23coscoscos1CBA【难度系数】2 【证明】不妨设C 为锐角2323)212(sin22sin222sin212cos2cos2cos2cos2coscoscoscos2AAACBACBCBACBA当且仅当 A=B=C 时取等号名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 1

14、cossin21cossincos)sin(coscossincossincoscoscosCCCCCBACBAABCBA【例 14】【题目来源】【题目】证明：81coscoscosCBA【难度系数】2 【证明】 由例 14 结论81)21()3coscoscos(coscoscos33CBACBA【例 15】【题目来源】【题目】证明：812sin2sin2sinCBA【难度系数】2 【证明】 由例 8 和例 14 结论得81412341coscoscos2sin2sin2sinCBACBA【例 16】【题目来源】【题目】证明：233sinsinsinCBA【难度系数】2 分析一本题中有三个变

15、量A、B、C，且满足 A+B+C=180，先固定其中一个如角C，由于 A+B =180- C,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与AB 有关的三角函数进行研究证法一我们先假定C 是常量，于是A+B=C 也是常量 . sinsinsin2sincossin22ABABABCC2coscossin22cABC，显然，对于同一个C 值，当 A=B 时，上式达到最大值同样，对同一个A 或 B，有类似结论；因此,只要 A、B、C 中任意两个不等，表达式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

16、- - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - sinsinsinABC 就没有达到最大值，因而，当A=B=C=3时， sinsinsinABC 有最大值332，原不等式得证说明不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法分析二即证sinsinsin332ABC，观察左 边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证明证法二函数sinyx 是区间（ 0， ）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量123,(0,)x xx，总有123123sinsinsinsin()33xxxxxx，等号当123xxx 时成立因此有sins

17、insinsin()33ABCABC，从而有sinsinsin1803sin332ABC，因此原不等式成立说明本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸函数，因此很多三角不等如均可利用凸函数的性质证明【例 17】【题目来源】【题目】证明：CBACBAcotcotcottantantan【难度系数】3 【证明】 设Axtan，Bytan，Cztan则有xyzzyx由yzxzxyzyxzyx2222)(得zyxxyzzxyzxyzyxzxyzxyzyx111即CBACBAcotcotcottantantan【例 18】【题目来源】嵌入不等式【题目】证明：CxyBxzAyzzyxcos2

18、cos2cos2222【难度系数】3 【证明】0)cossin()coscos(cos2cos2cos222222BxAyBxAyzCxyBxzAyzzyx所以有CxyBxzAyzzyxcos2cos2cos2222等号成立当且仅当CzbyAxsinsinsin时取（PS：这就是著名的嵌入不等式，取一些特殊的A,B,C 可以用来证明许多不等式竞赛题）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 【例 19】【题目来源】199

19、0 年国家集训队测试题【题目】证明：已知实数x,y,z 满足 0 xyz2，证明：zyxxyyx2s i n2si n2s i nc o ss in2c o ssi n22【难度系数】4 分析将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积证明即证sincossincossincossincossincos4xyyzxxyyzz即证明sin(coscos)sin(coscos )sincos4xxyyyzzz注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而4为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立习题演练【练 1】【题目来

20、源】【题目】证明：10645)41(89sin3sin2sin1sin【难度系数】3 （提示：用三倍角公式）【证明】=4387sin6sin3sin)41(2960sin30sin)87sin33sin27(sin)66sin54sin6)(sin63sin57sin3(sin3)41(3045sin)54sin36)(sin63sin27)(sin72sin18)(sin18sin9(sin3)41(81sin18sin9sin3)41(404045sin)54sin36)(sin63sin27)(sin72sin18)(sin18sin9(sin3)41(81sin18sin9sin3)4

21、1(404060sin30sin)89sin31sin29(sin)62sin58sin2)(sin61sin59sin1(sin89sin3sin2sin1sin名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 又)72cos1)(36cos1(41)36sin18(cos2165)72cos36cos1(41)72cos36cos72cos36cos1(41165)72cos36cos1(41)72cos36cos72cos

22、36cos1(41165)72cos36cos1(413cos72cos36cos1(41即.4536sin18cos所以.106)41(89sin2sin1sin45【练 2】【题目来源】【题目】证明：2cos2cos2cos4sinsinsinCBACBA【难度系数】2 【证明】【练 3】【题目来源】【题目】证明：1coscoscos22cos2cos2cosCBACBA【难度系数】2 【证明】36sin18cos223)41(54cos72sin223)41(54cos18sin36cos18cos223)41(54cos72cos36cos18cos223)41(18cos36cos5

23、4cos72cos223)41(72sin54sin36sin18sin223)41(43434242424236sin18cos223)41(54cos72sin223)41(54cos18sin36cos18cos223)41(54cos72cos36cos18cos223)41(18cos36cos54cos72cos223)41(72sin54sin36sin18sin223)41(43434242424236sin18cos223)41(54cos72sin223)41(54cos18sin36cos18cos223)41(54cos72cos36cos18cos223)41(18c

24、os36cos54cos72cos223)41(72sin54sin36sin18sin223)41(43434242424236sin18cos223)41(54cos72sin223)41(54cos18sin36cos18cos223)41(54cos72cos36cos18cos223)41(18cos36cos54cos72cos223)41(72sin54sin36sin18sin223)41(43434242424236sin18cos223)41(54cos72sin223)41(54cos18sin36cos18cos223)41(54cos72cos36cos18cos22

25、3)41(18cos36cos54cos72cos223)41(72sin54sin36sin18sin223)41(43434242424236sin18cos223)41(54cos72sin223)41(54cos18sin36cos18cos223)41(54cos72cos36cos18cos223)41(18cos36cos54cos72cos223)41(72sin54sin36sin18sin223)41(4343424242422cos2cos2cos4)2cos2(cos2cos2)2sin2(cos2cos22cos2sin22cos2sin2sinsinsinCBABA

26、BACCBACCCBABACBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 02c o s2c o s22c o s2c o s2c o s2c o s)c o s ()c o s (2c o s2c o s)c o sc o s2)c o s ()c o s (2c o s2c o s)c o sc o s2( c o sc o sc o sc o sc o s22c o s2c o s2c o sCBCBCBCBCB

27、CBCBCBCBCBCBAACBACBA【练 4】【题目来源】【题目】证明：nnnntantantan)1tan(3tan2tan2tantan【难度系数】3 【证明】 由正切差公式)1tan(tan1tan)1tan(tannnnn得1tantan)1tan() 1tan(tannnnn当 n 取 1,2， n 时，将 n 个等式通加，即得nnnntantantan) 1tan(3tan2tan2tantan【练 5】【题目来源】【题目】证明：在锐角三角形ABC 中，CBACBAsinsinsincoscoscos1【难度系数】3 【证明】4s i n4s i n)2s i n2( c o

28、s4)2c o s2) ( c o s2s i n2( c o s2)2cos2(sin2cos)2sin2(cos2cos2)2sin2(cos2cos)2sin2(cos2cos2)2cos2sin2cos2(sin22cos2cos22cos2)sinsin(sincoscoscos12BCACBAAACBAAAAACBAAACBCBCBAAACBCBAACBCBACBACBA因为 A，B，C 为锐角，故02sin2cosAA，04sinCBA，04sinBCA故有CBACBAsinsinsincoscoscos1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

29、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 【练 6】【题目来源】2004 年福建省竞赛题【题目】证明：|sincostancotseccsc|2 21xxxxxx【难度系数】3 【证明】 设( )| sincostancotseccsc |fxxxxxxx ，sincostxx，则有21sincos2txx，2222( )|11tf xttt22| |11|11tttt当1t时，2( )112 211f xtt；当1t时，2( )(1)12 211f xtt因此 |sincostancotseccsc |221xxxxxx【练 7】【题目来源】第三届澳门数学竞赛题【题目】证明：在锐角三角形ABC 中，有12tantantan3nnnnABC，n 为自然数。【难度系数】3 【证明】 设tan ,tan,tanxA yB zC ，则, ,0 x y z， xyzxyz，而33xyzxyz，代入得323xyz，故1323 33nnnnnnnxyzx y z名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -