2022年倒立摆建模 .pdf

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1、1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中：M：小车质量m：为摆杆质量J：为摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置：摆杆与垂直向上方向的夹角l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知：（1） 摆杆绕其重心的转动方程为（2） 摆杆重心的运动方程为得（3）小车水平方向上的运动为22.(4)xd xFFMd t联列上述4 个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：2222 222 222 222 222sin .sincoscoscos .sincos .lg sincosJmlFmlJmlm l gx

2、JmlMmm lmlFm lMm mm lMmJmlsincos .(1)yxJF lF l2222(sin).(2)( cos ).(3)xydFmxld tdFmgmld t名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 式中 J 为摆杆的转动惯量：32mlJ若只考虑 在其工作点附近 0=0 附近（1010）的细微变化，则可以近似认为：1cossin022.2222.)(lg)()()(MmlmMJmlFmmMMmlmMJ

3、glmFmlJx2.2 模型建立及封装1、建立以下模型：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 图 2 模型验证原理图2、由状态方程可求得：Fcn:(4/3*u1+4/3*m*l*sin(u3)*power(u2,2)-10*m*sin(u3)*cos(u3)/(4/3*(1+m)-m*power(cos(u3),2) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

4、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - Fcn1:(cos(u3)*u1+m*l*sin(u3)*cos(u3)*power(u2,2)-10*(1+m)*sin(u3)/(m*l*power(cos(u3),2)-4/3*l*(1+m) Fun2:(4*u1-30*m*u3)/(4+m) Fun3:(u1-10*(1+m)*u3)/(m*l-4/3*l*(1+m) （其中 J =mL2/3 ，小车质量 M=1kg ，倒摆振子质量 m=1Kg ，倒摆长度 l=1m，重力加速度 g=10m/s2）将以上表达式导入函数。

5、3、匡选要封装区后选择 EditCreate Subsystem便得以下系统：图3 子系统建立4、鼠标右击子系统模块，在模块窗口选项中选择EditEdit MaskParameters，则弹出如下窗口，添加参数m 和l 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 图 4 添加参数5、将精确模型 subsystem和简化模型 subsystem1组合成以下系统以供验证（输入信号是由阶跃信号合成的脉冲，幅值及持续时间为0.1

6、s ） 。图 5 系统模块封装名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 3 仿真验证3.1 实验设计假定使倒立摆在 ( =0，x=0）初始状态下突加微小冲击力作用，则依据经验知，小车将向前移动，摆杆将倒下。3.2 编制绘图子程序1、新建 M 文件输入以下程序并保存。clc load xy.mat t=signals(1,:); %读取时间信号f=signals(2,:); %读取作用力 F信号x=signals(3,:)

7、; %读取精确模型中的小车位置信号q=signals(4,:); %读取精确模型中倒摆摆角信号xx=signals(5,:); %读取简化模型中的小车位置信号qq=signals(6,:); %读取简化模型中倒立摆摆角信号figure(1) %定义第一个图形hf=line(t,f(:); %连接时间 - 作用力曲线grid on; xlabel(Time(s) %定义横坐标名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - yla

8、bel(Force(N) %定义纵坐标axis(0 1 0 0.12) %定义坐标范围axet=axes(Position,get(gca,Position),. XAxisLocation,bottom,. YAxisLocation,right,color,none,. XColor,k,YColor,k); %定义曲线属性ht=line(t,x,color,r,parent,axet); %连接时间 -小车位置曲线ht=line(t,xx,color,r,parent,axet); %连接时间 -小车速度曲线ylabel(Evolution of the xposition(m) %定义

9、坐标名称axis(0 1 0 0.1) %定义坐标范围title(Response x and xin meter to a f(t) pulse of 0.1 N ) %定义曲线标题名称gtext (leftarrow f (t),gtext (x (t) rightarrow) , gtext ( leftarrow x(t) figure (2) hf=line(t,f(:); grid on xlabel(Time) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共

10、 17 页 - - - - - - - - - ylabel(Force(N) axis(0 1 0 0.12) axet=axes(Position,get(gca,Position),. XAxisLocation,bottom,. YAxisLocation,right,color,none,. XColor,k,YColor,k); ht=line(t,q,color,r,parent,axet); ht=line(t,qq,color,r,parent,axet); ylabel(Angle evolution (rad) axis(0 1 -0.3 0) title(Respons

11、e theta(t)and theta in rad to a f(t) pulse of 0.1 N ) gtext(leftarrow f (t), gtext (theta (t) rightarrow), gtext ( leftarrow theta(t)3.3 仿真验证名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 2、在系统模型中，双击子系统模块，则会弹出一个新窗口，在新窗口中输入m 和l 值，点击 OK 并运行

12、，如图 7所示。图 6 参数输入3、运行 M 文件程序，执行该程序的结果如图8所示。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 图7 模型验证仿真结果名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 从中可见，在 0.1N的冲击力下，摆杆倒下（ 由零逐步增

13、大）， 小车位置逐渐增加，这一结果符合前述的实验设计，故可以在一定程度上确认该 “一阶倒立摆系统”的数学模型是有效的。同时，由图中也可以看出，近似模型在0.8s 以前与精确模型非常接近， 因此，也可以认为近似模型在一定条件下可以表达原系统模型的性质。4 双闭环 PID 控制器设计一级倒立摆系统位置伺服控制系统如图10所示。图 10 一级倒立摆系统位置伺服控制系统方框图4.1 内环控制器的设计内环采用反馈校正进行控制。1( )Ds2( )Ds1.61( )G s220.410ss2240s( )X s( )s2( )Gs2( )Ds1( )Ds( )F s( )rXs-一级倒立摆内环外环名师资料

14、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 图 11 内环系统结构图1.6( ) s2( )G s2( )Ds-K( )rs( )D s+反馈校正采用PD控制器，设其传递函数为212( )DsK sK，为了抑制干扰，在前向通道上加上一个比例环节2( )DsK。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共

15、 17 页 - - - - - - - - - 控制器参数的整定：令：内环控制器的传递函数为：内环控制系统的闭环传递函数为：4.2 外环控制器的设计外环系统前向通道的传递函数为：图 12 外环系统结构图设2( )Ds的增益20K，则内环控制系统的闭环传递函数为：2222212( )64( )1( )( )646440ssKK G sW sKK G s DssK sK0.7216440646420.764KK120.1751.625KK2( )0.1751.625Dss2264( )11.264W sss2212264( 0.410)( )( )(11.264)sW s G ss ss1( )D

16、s( )rXs-3(1)Ks2( )W s1( )G sK=11( )Ds( )X s( )s名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 外环控制器采用 PD 形式，其传递函数为：图 13 系统仿真结构图对外环模型进行降阶处理，若忽略2( )Ws的高次项，则近似为一阶传递函数为：264( )11.264W ss对模型1( )G s进行近似处理，则1( )Gs的传递函数为：1210( )G ss采用单位反馈构成外环反馈通道

17、，即1( )1Ds，则系统的开环传递函数为2113257( )( )( )( )(1)(57)W sW s G s D sKsss采用基于 Bode图法的希望特性设计方法，得30.12,0.877K，取1，则外环控制器的传递函数为：1( )0.12(1)D ss0.12(1)s1.6( )W s( )X s( ) s( )F s( )rXs-一级倒立摆-200.1751.625sX调节器调节器13( )(1)DsKs名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17

18、页 - - - - - - - - - 5 仿真实验1、根据已设计好的 PID控制器，可建立图 14系统，设置仿真时间为 20ms ，单击运行。 （其中的对象模型为精确模型的封装子系统形式）图14 SIMULINK仿真框图2、新建 M 文件，输入以下命令并运行。% 将导入到 PID.mat中的仿真试验数据读出load PID.mat t=signals(1,:); q=signals(2,:); x=signals(3,:); %drawing x(t) and thera(t) response signals 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

19、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - % 画小车位置和摆杆角度的响应曲线figure(1) hf=line(t,q(:); grid on xlabel (Time (s) axis(0 10 -0.3 1.2) ht=line(t,x,color,r); axis(0 10 -0.3 1.2) title(theta(t) and x(t) Response to a step input) gtext(leftarrow x(t),gtext(theta(t) uparrow) 执行该程序的结果如图 9所示，从中可见，双闭环PID控制方案是有效的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 图 15 系统仿真结果图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -