2022年八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题 .pdf

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1、1 八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）cab图1CPABabc图2PCBAabc图3CBPAabc图4PCO2BA方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(cbaR，即2222cbaR，求出R例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）A16 B20 C24 D32（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是9解：（ 1）162haV，2a，24164442222haaR，24S，选 C；（2）933342R，942RS（3）在正三棱锥

2、SABC中，MN、分别是棱SCBC、的中点，且MNAM, 若侧棱2 3SA, 则正三棱锥ABCS外接球的表面积是。36解：引理： 正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（ 3）-1，取BCAB,的中点ED,，连接CDAE,，CDAE,交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC，ABSH，BCAC，BDAD，ABCD，AB平面SCD，SCAB，同理：SABC，SBAC，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，MNAM，MNSB/，SBAM，SBAC，SB平面SAC，SASB，SCSB，SASB，SABC，SA平面SBC，SCSA，故三棱锥ABCS的三棱条侧棱两两互相垂直

3、，36)32()32()32()2(2222R，即3642R，(3)题-1HEDBACS(3)题-2MNABCS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 正三棱锥ABCS外接球的表面积是36（ 4）在四面体SABC中，ABCSA平面，, 1,2,120ABACSABAC则该四面体的外接球的表面积为（ D ）11.A7.B310.C340.D（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球

4、的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解析： （4）在ABC中，7120cos2222BCABABACBC，7BC，ABC的外接球直径为372237sin2BACBCr，3404)372()2()2(2222SArR，340S，选D （5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为cba,（Rcba,），则6812acbcab，24abc，3a，4b，2c，29)2(2222cbaR，2942RS，（6）3)2(2222cbaR，432R，23R2383334343RV，类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1题

5、设：如图5，PA平面ABC解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：1O为ABC的外心，所以1OO平面ABC，算出小圆1O的半径rDO1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得rCcBbAa2sinsinsin），PAOO211；图5ADPO1OCBCAPB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：

6、222)2()2(rPAR22)2(2rPAR；2122OOrR212OOrR2题设：如图 6，7，8，P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP的三条侧棱相等三棱锥ABCP的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点图6PADO1OCB图7-1PAO1OCB图7-2PAO1OCB图8PAO1OCB图8-1DPOO2ABC图8-2POO2ABC图8-3DPOO2AB解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,OOP三点共线；第二步：先算出小圆1O的半径rAO1，再算出棱锥的高hPO1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)(rRhR，解出R方法二： 小

7、圆直径参与构造大圆。例 2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C A3B2C316 D以上都不对解：选 C，221)3(RR,221323RRR, 0324R, 32R,31642RS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 4 类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）图9-1ACBP图9-2AO1OCBP图9-3PAO1OCB图9-4AO1OCBP1题设：如图9-1 ，平面PAC平面ABC，且B

8、CAB（即AC为小圆的直径）第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径rAC2；第二步：在PAC中，可根据正弦定理RCcBbAa2sinsinsin，求出R2如图 9-2 ，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径）21212OOCOOC2122OOrR2122OORAC3如图9-3 ，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP的三条侧棱相等三棱ABCP的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,OOP三点共线；第二步：先算出小圆1

9、O的半径rAO1，再算出棱锥的高hPO1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)(rRhR，解出R4如图 9-3 ，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径），且ACPA，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：222)2()2(rPAR22)2(2rPAR；2122OOrR212OOrR例 3 （1） 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1， 底面边长为32， 则该球的表面积为。（2）正四棱锥ABCDS的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为解：（ 1）由正弦定理或找球心都可得72R，4942RS，（2）方法一：找球心的位置

10、， 易知1r，1h，rh， 故球心在正方形的中心ABCD处，1R，34V方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，SACRt的斜边是球半径，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 5 22R，1R，34V（3）在三棱锥ABCP中，3PCPBPA, 侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（）A B.3 C. 4 D.43解：选 D，圆锥CBA,在以23r的圆上，1R（4）已知

11、三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上 ,ABC是边长为1的正三角形 ,SC为球O的直径, 且2SC，则此棱锥的体积为（）A A26B36 C23D 22解：36)33(12221rROO，362h，62362433131ShV类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图10-1C1B1AA1O1OO2BC图10-2C1B1AA1O1OO2BC图10-3C1B1AA1O1OO2BC题设：如图10-1 ，图 10-2 ，图 10-3, 直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O的位置，1O是ABC的外心，则1OO平面ABC；第二步：算出小

12、圆1O的半径rAO1，hAAOO212111（hAA1也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)2(rhR22)2(hrR，解出R例 4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为r，则21a，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 6

13、底面积为833)21(4362S，89833hShV柱，3h，1)21()23(222R，1R，球的体积为34V（2）直三棱柱111ABCA B C的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于。解：32BC，4120sin322r，2r，5R，20S（3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，60,2, 3AEBADEBEA，则多面体ABCDE的外接球的表面积为。16解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为31r，11OO，231R；法二：231MO，21322DOr，4413432R，2R，16S（4）在直三棱柱111CBAABC中，4,3,6

14、,41AAAACAB则直三棱柱111CBAABC的外接球的表面积为。3160解析：282164236162BC，72BC，37423722r，372r，3404328)2(2122AArR，3160S类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠( 如图 11) 第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和BDA的外心1H和2H；第二步：过1H和2H分别作平面BCD和平面BDA的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OCOE,；图11H1EACOBDAH2OO2MDBACEO1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

15、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7 第三步：解1OEH，算出1OH，在1OCHRt中，勾股定理：22121OCCHOH例 5 三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，PAC和ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABCP外接球的半径为.解析：3460sin22221rr，3221rr，312HO，35343121222rHOR，315R；法二：312HO，311HO，1AH，352121222OOHOAHAOR，315R类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体） 中，已知三

16、组对棱分别相等，求外接球半径 （CDAB，BCAD，BDAC）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步： 设出长方体的长宽高分别为cba,，xBCAD，yCDAB，zBDAC，列方程组，222222222zacycbxba2)2(2222222zyxcbaR，补充：abcabcabcVBCDA31461第三步：根据墙角模型，22222222zyxcbaR，82222zyxR，8222zyxR，求出R，例如，正四面体的外接球半径可用此法。例 6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形( 正四面体的截面) 的面积是 . （2）一

17、个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A433 B33 C43 D123解：（ 1）截面为1PCO，面积是2；（2）高1Rh，底面外接圆的半径为1R，直径为22R，yxabczzyx图12DCAB(1)题OHBACPO2O1(1)题解答图CPBPO1OO2AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 8 设底面边长为a，则260sin2aR，3a，4334

18、32aS，三棱锥的体积为4331ShV（3）在三棱锥BCDA中，,4,3,2BDACBCADCDAB则三棱锥BCDA外接球的表面积为。229解析：如图 12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为cba,，则922ba，422cb，1622ac291649)(2222cba，291649)(2222cba，229222cba，22942R，229S（4）如图所示三棱锥ABCD，其中5,6,7,ABCDACBDADBC则该三棱锥外接球的表面积为 . 解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为cba,，110493625)(2222cba，55222

19、cba，5542R，55S【55；对称几何体；放到长方体中】（5）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，32R，23R，2383334V，类型七、两直角三角形拼接在一起( 斜边相同 , 也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥) 模型图 13OACBP题设：90ACBAPB，求三棱锥ABCP外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，连接OCOP,，则ABOPOCOBOA21，O为三棱锥ABCP外接球球心，然后在OCP中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例 7（1）在矩形

20、ABCD中，4AB，3BC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角DACB，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A12125 B9125 C6125 D3125名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 9 解：（ 1）52ACR，25R，6125812534343RV，选 C（2）在矩形ABCD中，2AB，3BC，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥BCDA的外接球的表面积为解析：（ 2）BD的中点是球心O，13

21、2BDR，1342RS；类型八、锥体的内切球问题1题设：如图14，三棱锥ABCP上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，HE,分别是两个三角形的外心；第二步：求BDDH31，rPHPO，PD是侧面ABP的高；第三步：由POE相似于PDH，建立等式：PDPODHOE，解出r2题设：如图15，四棱锥ABCP上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，HOP,三点共线；第二步：求BCFH21，rPHPO，PF是侧面PCD的高；第三步：由POG相似于PFH，建立等式：PFPOHFOG，解出3题设：三棱锥ABCP是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法， 即内切球球

22、心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式：PBCOPACOPABOABCOABCPVVVVVrSSSSrSrSrSrSVPBCPACPABABCPBCPACPABABCABCP)(3131313131第三步：解出PBCOPACOPABOABCOABCPSSSSVr3习题：1若三棱锥ABCS的三条侧棱两两垂直，且2SA，4SCSB， 则该三棱锥的外接球半径为（）A.3 B.6 C.36D.9解：【 A】616164)2(2R，3R【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2 三棱锥ABCS中，侧棱SA

23、平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，32SA，则该三棱锥的外接球体积等于 . 332解析：260sin32r，16124)2(2R，42R，2R，外接球体积332834【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】图14HDABCPOE图15FEHDBACPOG名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 10 3正三棱锥ABCS中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 . 解析

24、：ABC外接圆的半径为，三棱锥ABCS的直径为3460sin22R，外接球半径32R，或1)3(22RR，32R，外接球体积2733233834343RV，4三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，PAC边长为2的正三角形，BCAB，则三棱锥ABCP外接球的半径为 . 解析：PAC的外接圆是大圆，3460sin22R，32R，5 三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，2AC，3PCPA，BCAB，则三棱锥ABCP外接球的半径为 . 解析：973324992cos222PCPAACPCPAP，81216)97(1sin22P，924sinP，42922992422R，829R6 三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，2AC，PCPA，BCAB，则三棱锥ABCP外接球的半径为 . 解：AC是公共的斜边，AC的中点是球心O，球半径为1R名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -