2022年初中数学专题训练--圆--圆的内接四边形 .pdf

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1、初中数学精品设计例 圆内接四边形ABCD 中，A、B、C 的度数的比是327，求四边形各内角度数解：设 A、 B、C 的度数分别为3x、2x、7xABCD 是圆内接四边形A +C=180即 3x+7x=180 ，x=18， A=3x=54 ， B=2x=36， C=7x=126 ，又 B+D=180， D=180一 36144说明：巩固性质；方程思想的应用例 （2001 厦门市，教材P101中 17 题）如图，已知AD 是 ABC 的外角 EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D求证： DB=DC 分析：要证DB=DC ，只要证 BCD= CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以

2、及圆内接四边形的性质，即可解决证明： AD 平分 EAC ， EAD = DAC ， EAD 为圆内接四边形ABCD 的外角， BCD= EAD ，又 CBD= DAC ， BCD= CBD， DB=DC 说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁例 如图，ABC 是等边三角形， D 是上任一点， 求证：DB+DC=DA 分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明证明：延长 DB 至点 E，使 BE=DC ，连 AE在 AEB 和 ADC 中， BE=DC ABC 是等边三角形AB=AC 四边形 ABDC 是O 的内接四边形， ABE=

3、 ACD AEB ADC AEB= ADC= ABC ADE= ACB ，又 ABC= ACB 60， AEB= ADE=60 AED 是等边三角形，AD=DE=DB+BE BE=DC ， DB+DC=DA 说明：本例利用“截长”和“补短”法证明培养学生“角相等的灵活转换”能力在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视典型例题四例如图，ABCD 是 O 的内接四边形，CDAH，如果30HAD，那么B（）A90B120C135D150解：,90,30AHDHADABCDEABCDEO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

4、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 初中数学精品设计60D，由圆内接四边形的对角和是180，得120B，故选 B. 说明： “圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用. 典型例题五例如图，已知：1O与2O相交于点A、B，P 是1O上任意一点，PA、PB 的延长线交2O于点 C、D，1O的直径PE 的延长线交CD 于点M. 求证：CDPM. 分析：要证CDPM，即证90DDPM，连结公共弦 AB 及 EB，即得证 . 证明：连结AB、EB，在中，

5、PEBPAB. ABCD 为2O的内接四边形 . .,DPEBDPABPE 为1O的直径 .90PBE.90.90.90DMPDDPMPEBDPM即CDPM. 说明：连接AB 就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形. 典型例题六例如图，AD 是ABC外角EAC的平分线， AD 与ABC外接 O 交于点 D，N 为BC 延长线上一点，且DNCDCN,交O 于点 M. 求证：（1）DCDB；（2）.2DNCMDC分析： （ 1）由于 DB 与 DC 是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（ 2）欲证乘积式.2DNCMDC，只须证比例

6、式DCCMDNDC，也即CNCMDNDC，这只须要证明DCMDNC即可 . 证明（1）连结 DC. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 初中数学精品设计AD 平分EAC，.DBCDACEAD又 ABCD 内接于 O，.DCBEAD故.DCBDBC.DCDB（2）.,180180NDCCDMDCNDCBDBCDMCDMCDCN，故DNCMCNCMDNDC. .2DNCMDC说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本

7、性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是 1996 年南昌市中考试题. 典型例题七例 如图，已知四边形ABCD是圆内接四边形，EB是O的直径，且ADEB，AD与BC的延长线相交于.F求证：DCBCFDAB. 证明连结AC.EBAD. .DABACB. 四边形ABCD是圆内接四边形，.,ABCFDCDABFCDFCDACB. ABCFDC.DCBCFDAB. 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC，再证ABCFDC.易错点是不易想到证ACBFCD而使解题陷入困境或出现错误. 典型例题八例如图，已知四边形ABCD 内接于半圆O，AB 是直径，DCAD，分别

8、延长BA，CD 交于点 E，ECBF，交 EC 的延长线于F，若12,BCAOEA，求 CF 的长 . 解连结 OD，BD.DCAD，的度数AOD. ./ BCOD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 初中数学精品设计EBEOBCOD. .24,16.8.3212,12,EBABODODBCBOAOEAABCD内接于 O，.EBCEDA又E公用，EDAEBC. EBEDECEABCAD. 设yEDxDCAD,，则有y

9、xyx82412. 24x. 24AD. AB为O 的直径，.90FADB又.FCBDABRtADBRt.CFB.BCABCFAD即.121624CF.23CF说明本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线. 典型例题九例 （海南省， 2000） 如图， AB 是O 的直径，弦（非直径）ABCD，P 是 O上不同于DC,的任一点 . （1）当点 P 在劣弧 CD 上运动时，APC与APD的关系如何？请证明你的结论； （2）当点 P 在优弧 CD 上运动时，APC与APD的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P 点与 A 点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

10、定理来解决 . 解弦ABCD，AB 是直径，（ 1）.APDAPC（2）.180APDAPC（如图中虚线所示）. 选择题1在圆的内接四边形ABCD 中，A和它的对角C的度数的比为1：2，那么A为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 初中数学精品设计A30B60C90C1202四边形ABCD 内接于圆，A、B、C、D的度数依次可以是（）A1：2：3：4 B6：7：8：9 C4：1：3：2 D14：3：1：12 3.

11、四边形ABCD内接于圆，A、B、C、D的度数比依次可以是（）A4:3:2:1B1:3:2:4C2:1:3:4D2:3:1:44.如图，四边形ABCD内接于O，110BOD，那么BCD的度数为（）A125B110C55D705. 如图，1O与2O交于A、B两点，且2O过1O的圆心1O，若40M，则N等于（）A40B80C100D706. 圆内接平行四边形一定是（）（A）矩形（B）正方形（C）菱形（D）梯形7已知 AB、CD 是O 的两条直径，则四边形ADBC 一定是（）A矩形B菱形C正方形D等腰梯形8、四边形ABCD 内接于圆，则A、B、C、D 的度数比可以是( ) （A）1234 （B）751

12、08 （C）13 1517 （D）1324 9、若 ABCD 为圆内接四边形，AECD 于 E， ABC=130 ，则 DAE 为（）（A）50（B）40（C）30（D）2010、如图，圆内接四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的延长线相交于 P，对角线 AC 和 BD 相交于点 Q，则图中共有相似的三角形( ) （A）4 对（B）3 对（C）2 对（D）1 对11如图，在ABC，AD 是高，ABC的外接圆直径AE 交 BC 边于点 G，有下列四个结论： （1）CDBDAD2；（2）AEEGBE2；（ 3）ACABADAE；（4）CGBGEGAG.其中正确的结论的个数是（）A1 个B2 个

13、C3 个D4 个12已知：如图，劣弧，那么DB的度数是（）ABCDPQ名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 初中数学精品设计A320B160C150D20013钝角三角形的外心在（）A三角形内B三角形外C三角形的边上D上述三种情况都有可能14圆内接平行四边形的对角线（）A互相垂直B互相垂直平分C相等D相等且平分每组对角15如图，已知四边形ABCD 是 O 的内接四边形，且3,7,5BEACCDAB，下列命题错误的是（

14、）ADCEABEB45BDAC5 .24ABCDS四边形D图中全等的三角形共有2对答案：1B 2D 3.C 4. A 5. D 6、A；7A 8、C；9、B；10、A. 11B 12B 13B 14 D 15D. 填空题1. 已知 ABCD 是圆内接四边形， 若 A 与C 的度数之比是12， 则 A 的度数是度2. 若 A，B，C，D 四点共圆，且ACD 为 36，则所对的圆心角的度数是度3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是217，则这个四边形的最大角的度数为度4. 圆上四点A、B、C、D，分圆周为四段弧，且=4:3:2:1，则圆内接四边形ABCD的最大角是 _ 5. 圆内接四边形ABCD中，

15、若EBC是ABC相邻的一个外角，且105EBC，93C， 则_D，_A， 若3:2:1:CBA， 则_D，_A6. 四边形ABCD内接于圆，A、C的度数之比是4:5，B比D大30，则_A，_D7. 圆内接梯形是_梯形，圆内接平行四边形是_ 8圆内接四边形ABCD 中，如果4:3:2:CBA，那么_D度. 9在圆内接四边形ABCD 中，5:3:4:CBA，则_D. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 初中数学精品设计

16、10如图，在圆内接四边形ABCD 中，ACBADADAB,30,，则四边形ABCD的面积为 _. 11如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在的中点A，若5BC，则折痕在ABC内的部分 DE 长为 _. 答案：1. 60； 2. 72； 3.160;4. 1265. 105，87，90，45;6. 100，757. 等腰，矩形 .890 9120 10243a11310. 判断题1. 顶点在圆上的角叫做圆周角；（）2. 相等的圆周角所对的弧相等；（）3. 直角所对的弦是直径； （）4. 在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）5. 弓形含的圆周角为120，则弓形弧也为120； （

17、）6. 四边形的对角互补.（）答案 : 1. 2. 3. 4. 5. 6. . 解答题1、如图，已知：ABCD 为圆内接四边形， （1）若 DB CE，求证：AD BC=CD BE； （2）若 AD BC=CD BE，求证： DBCE 2、已知： O 中，直径 AB 垂直弦 CD 于 H，E 是 CD 延长线上一点，AE 交 O 于 F求证： AFC= DFE3如图，已知四边形ABCD内接于圆，DC、AB的延长线相交于E，且DBACBE，求证：BDECBEADABCDOE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整

18、理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 初中数学精品设计4如图，点A、D在O上，以点A为圆心的A交O于B、C两点，AD交A于点E，交BC于点F，求证：ADAFAE25已知圆内接四边形，ABCD中，4:5:2:CBA，求最小的角。6如图，在ABC中，ACAB，BD平分ABC交AC于D，ABD的外接圆交BC于E.求证：CEAD7如图，ABC是圆内接正三角形，P 为劣弧上一点，已知6,72PAAB.（1）求证：PAPCPB； （2）求 PB、PC 的长（PCPB）. 8如图，已知：菱形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，O是ABD的外接圆，

19、 E是 O上 的 一 点 ， 连 结AE并 延 长 与BD的 延 长 线 相 交 于 点F. 求 证 ：AFAEBDAC422. 9如图， BC 是 O 的直径，BCAD，垂足为 D，BF 交 AD 于点 E. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 初中数学精品设计（1）求证BFBEAF2；（2）若2, 1 ADBD，求DBEtan的值 . 10已知：如图，在圆内接四边形ABCD 中，90,60ADCBAD，AB 的

20、延长线交 DC 延长线于点E，过 A 作 AB 的垂线交圆于点F，交 CD 延长线于点 G. （1）求证：BCAF；（2）求证：BEADDEAF；（3）设ADAB的长分别为a、b 求 CE 的长 . 答案：1. 提示：连结AC，证明 ADC CBE 即可；2. （略）3提示：证EBCDBA4提示：连AB证ABFADB，得ADAFAB2，又AEAB，ADAFAE25306提示：连结DE证AEAD，再证CFDE7 （1）延长 CP 到 M，使PBPM.连结 BM，证CBMABP； （2）4,2 PCPB8连结 BE.AEBABF得AFAEAB2.由勾股定理可得9 （ 1）连结 AB、AC，证BEF

21、BAB2； （3）4310 （1）连结 CF，证四边形 ABCF 为矩形； （2）BCEDAE； （3）)2(332abEC1. 如下图，四边形 ABCD 内接于 O， AOC 100，则 B， D. 2、如下图，已知四边形ABCD 是 O 的内接四边形，且AB=CD=5 ，AC=7 ，BE=3，下列命题错误的是A、AED BEC B、 AEB=90oC、 BDA=45oD、图中全等的三角形共有2 对. ABCDOA D O E B C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

22、 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 初中数学精品设计3. 如图，四边形 ABCD 内接于 O， E 在 BC 延长线上，若A50， 则DCE等于（）A. 40B. 50C. 70D. 1304如图，已知O 中AOB 度数为 100，是圆周上的一点，则ACB的度数为（A）130（B）100（C）80 O （D）50 A B参考答案 : 1. 050、01302. D 3. B 4. A. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -