2022年初等函数的性质 .pdf

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1、第四章几个初等函数的性质一、基础知识1指数函数及其性质：形如y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+） ，当 0a1 时，y=ax为增函数， 它的图象恒过定点（0，1） 。2分数指数幂：nmnmnnnmnmnnaaaaaaaa1,1,1。3对数函数及其性质：形如 y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为 （0，+） ，值域为 R，图象过定点 （1，0） 。当 0a1 时，y=logax 为增函数。4对数的性质（M0, N0） ；1）ax=Mx=logaM( a0, a1)；2）loga(M N)= loga M+ logaN；3）loga（N

2、M）= loga M- logaN；4）loga Mn=n loga M； ，5）loganM=n1loga M；6）aloga M=M; 7) logab=abccloglog(a,b,c0, a, c1). 5. 函数 y=x+xa（a0） 的单调递增区间是a,和,a，单调递减区间为0,a和a,0。 （请读者自己用定义证明）6连续函数的性质：若ab, f(x)在 a, b上连续，且f(a)f(b)0. 【证明】设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1) ，则 f(x)是关于 x 的一次函数。所以要证原不等式成立，只需证f(-1)0 且 f(1)0（因为 -1a0，f(1)=b

3、+c+bc+a=(1+ b)(1+c)0，所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 例 2 （柯西不等式） 若 a1, a2,an是不全为 0 的实数，b1, b2, ,bnR， 则 （niia12） （niib12）(niiiba1)2，等号当且仅当存在R，使 ai=ib, i=1, 2, , n 时成立。【证明】令 f(x)= （niia12）x2-2(niiiba1)x

4、+niib12=niiibxa12)(, 因为niia120，且对任意xR, f(x)0，所以 =4(niiiba1)-4（niia12）(niib12)0. 展开得（niia12）(niib12) (niiiba1)2。等号成立等价于f(x)=0 有实根，即存在，使 ai=ib, i=1, 2, , n。例 3 设 x, y R+, x+y=c, c 为常数且 c(0, 2，求 u=yyxx11的最小值。【解】 u=yyxx11=xy+xyxyyx1xy+xy1+2xyyx=xy+xy1+2. 令 xy=t，则 0t=xy44)(22cyx,设 f(t)=t+t1,0t.42c因为 0c2，

5、所以 00，所以pq=.251例 5 对于正整数a, b, c(abc)和实数 x, y, z, w，若 ax=by=cz=70w，且wzyx1111，求证： a+b=c. 【证明】由 ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所以w1lga=x1lg70, w1lgb=y1lg70, w1lgc=z1lg70，相加得w1(lga+lgb+lgc)=zyx111lg70，由题设wzyx1111，所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=257. 若 a=1，则因为 xlga=wlg70，所以 w=0 与题设矛

6、盾，所以a1. 又 abc，且 a, b, c为 70 的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 已知 x1, ac1, a1, c1. 且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac)logab. 【证明】由题设 logax+logcx=2logbx，化为以 a为底的对数，得bxcxxaaaaaloglog2logloglog，因为 ac0, ac1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab. 注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。3指数与对数方程的解法。解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换

7、元等进行化简求解。值得注意的是函数单调名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 性的应用和未知数范围的讨论。例 7 解方程： 3x+4 x +5 x =6 x. 【解】方程可化为xxx653221=1。设 f(x)= xxx653221, 则 f(x)在(-,+ )上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3. 例 8 解方程组：312xyyxyxyx（其中 x, yR+）. 【解】两边取对数，则原方程组可化为.

8、3lg)(lg12lg)(glxyyxyxyx把代入得 (x+y)2lgx=36lgx，所以 (x+y)2-36lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1，由(x+y)2-36=0(x, yR+)得 x+y=6，代入得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0. 又 y0，所以 y=2, x=4. 所以方程组的解为24;112211yxyx. 例 9 已知 a0, a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。【解】由对数性质知，原方程的解x 应满足00)(22222axakxaxakx.若、同时成立，则必成立，故只需解0)(222akxax

9、akx. 由可得 2kx=a(1+k2)，当 k=0 时，无解；当k0 时，的解是x=kka2)1 (2，代入得kk212k. 若 k1，所以 k0，则 k21，所以 0k1. 综上，当 k(-,-1) (0, 1)时，原方程有解。三、基础训练题1命题 p: “(log23)x-(log53)x(log23)-y-(log53)-y”是命题q:“x+y0”的 _条件。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2如果 x1是

10、方程 x+lgx=27 的根， x2是方程 x+10 x=27 的根，则 x1+x2=_. 3已知 f(x)是定义在R 上的增函数，点A（-1，1） ，B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则不等式|f-1(log2x)|1 的解集为 _。4若 log2aaa1120，则 a 取值范围是 _。5命题 p: 函数 y=log23xax在2，+）上是增函数；命题q: 函数 y=log2(ax2-4x+1)的值域为 R，则 p是 q 的_条件。6若 0b0 且 a1，比较大小： |loga(1-b)|_|loga(1+b). 7已知 f(x)=2+log3x, x 1, 3，则函数

11、 y= f(x)2+f(x2)的值域为 _。8若 x=31log131log15121，则与 x 最接近的整数是_。9函数xxy1111log21的单调递增区间是_。10函数 f(x)=2,235212xxxx的值域为 _。11设 f(x)=lg1+2x+3 x +,+(n-1) x +n xa，其中 n 为给定正整数 , n2, aR.若 f(x)在 x(-,1时有意义，求a 的取值范围。12当 a 为何值时，方程)lg(2lgaxx=2 有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1函数 f(x)=18x+lg(x2-1)的定义域是 _. 2已知不等式x2-logmx0 在 x21,0时恒成立，

12、则m 的取值范围是 _. 3若 xx|log2x=2-x，则 x2, x, 1 从大到小排列是_. 4. 若 f(x)=lnxx11，则使 f(a)+f(b)=abbaf1_. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5. 命题 p: 函数 y=log23xax在2，+）上是增函数；命题q：函数 y=log2(ax2-4x+1)的值域为 R，则 p是 q 的_条件 . 6若 0b0 且 a1，比较大小： |loga(1-

13、b)| _|loga(1+b)|. 7已知 f(x)=2+log3x, x 1, 3，则函数 y= f(x)2+f(x2)的值域为 _. 8若 x=31log131log15121，则与 x 最接近的整数是_. 9函数 y=xx1111log21的单调递增区间是_. 10函数 f(x)=2,235212xxxx的值域为 _. 11 设 f(x)=lg1+2x+3 x +,+(n-1) x +n x a， 其中 n 为给定正整数， n2,aR。若 f(x) 在 x(-,1时有意义，求a 的取值范围。12当 a 为何值时，方程)lg(2lgaxx=2 有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1函数

14、f(x)=18x+lg(x2-1)的定义域是 _. 2已知不等式x2-logmx10, y10, xy=1000，则 (lgx)(lgy)的取值范围是 _. 7若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数k 的取值范围是 _. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 8函数 f(x)=101|1|lg|xxx的定义域为R，若关于 x 的方程 f-2(x)+bf(x)+c=0 有 7 个不同的实数解，则b,

15、c 应满足的充要条件是_. （1）b0； （2）b0 且 c0； （3） b0 且 c=0； （4）b0 且 c=0。9已知 f(x)=21121xx, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，则 F(x)是_函数（填奇偶性）. 10已知 f(x)=lgxx11，若abbaf1=1，abbaf1=2，其中 |a|1, |b|1，则f(a)+f(b)=_. 11设 aR，试讨论关于x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。12设 f(x)=|lgx|，实数 a, b 满足 0ab, f(a)=f(b)=2f2ba，求证：（1）a4+2a2-4a+1=0, b

16、4-4b3+2b2+1=0； （2）3b0 且 a1, f(x)=loga(x+12x)(x1)， （ 1）求 f(x)的反函数f-1(x)； （2）若f-1(n) x1 x2 x30，都有 log10 xx1993+ log210 xx1993+ log32xx1993 klog30 xx1993 恒成立，则 k 的最大值为 _. 3实数 x, y满足 4x2-5xy+4y2=5，设 S=x2+y2，则minmax11SS的值为 _. 4已知 0b1, 000 的解集为 _. 9已知 a1, b1，且 lg(a+b)=lga+lgb，求 lg(a-1)+lg(b-1). 10 （1）试画出由

17、方程212lg)2(log)2lg()6lg(101yxxx所确定的函数y=f(x)图象。（2）若函数 y=ax+21与 y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a 的取值范围。11对于任意nN+(n1)，试证明： n+3n+,+nn= log2n+log3n+, +lognn。六、联赛二试水平训练题1设 x, y, zR+且 x+y+z=1，求 u=222222131313zzzyyyxxx的最小值。2当 a 为何值时，不等式log)15(21axxnlog5(x2+ax+6)+loga30 有且只有一个解（ a1 且 a1） 。3f(x)是定义在（ 1，+）上且在（ 1，+）中取值的函数，满足

18、条件；对于任何x, y1及 u, v0, f(xuyv)f(x)u41f(y)v41都成立，试确定所有这样的函数f(x). 4. 求所有函数f：RR，使得 xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)成立。5设 m14 是一个整数，函数f：NN 定义如下：f(n)=22)13(14mnmnffmnmn, 求出所有的m,使得 f(1995)=1995. 6求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), x, yQ. 7是否存在函数f(n)， 将自然数集N 映为自身， 且对每个n1, f(n)=f(f(n-1)+f(f(n+1)都成立。8设

19、p, q是任意自然数，求证：存在这样的f(x) Z(x)（表示整系数多项式集合），使对 x轴上的某个长为q1的开区间中的每一个数x, 有.1)(2qqpxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 9设，为实数， 求所有 f: R+R，使得对任意的x,yR+, f(x)f(y)=y2f22ffxx成立。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -