2022年初中数学几何辅助线作法小结 .pdf

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1、DCBAEDFCBA几何辅助线作法小结三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用 “ 三线合一 ” 的性质解题，思维模式是全等变换中的 “ 对折 ” 2)遇到三角形的中线，倍长中线， 使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“ 旋转 ” 3)遇到角平分线， 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“ 对折 ” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4)过图形上某一点作特定的平分

2、线，构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“ 平移 ” 或“ 翻转折叠 ”5)截长法与补短法， 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答（一）、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_. 2：如图， ABC 中， E、F 分别在 AB、AC 上， DEDF ，D 是中点，试比较BE+CF 与

3、 EF 的大小 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - EDCBA3：如图， ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分 BAE. EDCBA中考应用以ABC的 两 边AB、AC 为 腰 分 别 向 外 作 等 腰RtABD和 等 腰RtACE，90 ,BADCAE连接 DE，M、N 分别是 BC、DE 的中点探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系（1）如图当ABC为直角三角形时，AM

4、 与 DE 的位置关系是，线段 AM 与 DE 的数量关系是；（2）将图中的等腰RtABD绕点 A 沿逆时针方向旋转(0AD EDCBA（四）、借助角平分线造全等1：如图，已知在 ABC 中，B=60 ，ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O，求证：OE=OD 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - FEDCBA2：如图，ABC 中，AD 平分 BAC， DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DF AC 于 F.

5、 （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的长 . 中考应用如图， OP 是 MON 的平分线， 请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在 ABC 中， ACB 是直角， B=60 ，AD、CE 分别是 BAC、BCA的平分线， AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（五）、旋转1：正方形

6、ABCD 中， E 为 BC 上的一点， F 为 CD 上的一点， BE+DF=EF，求 EAF的度数 . EDGFCBA(第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图图图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - NMEFACBA2：D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点， DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。（1）当MDN绕点 D 转动时，求证DE=DF

7、。（2）若 AB=2，求四边形DECF 的面积。3.如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点 M， 交 AC 于点 N， 连接 MN， 则AMN的周长为；BCDNMA中考应用1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABCo，60MBNo，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图 1） ，易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段

8、AECF，EF又有怎样的数量关系？（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 2、已知 :PA=2,PB=4,以 AB 为一边作正方形ABCD,使 P、D 两点落在直线AB 的两侧 . (1)如图 ,当APB=45 时,求 AB 及 PD 的长; (2)当 APB 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值 ,及相应 APB 的大小 . 3、在等

9、边ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点M、N，D 为ABCV外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC . 探究：当 M、N 分别在直线AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM =DN 时， BM、NC、MN 之间的数量关系是； 此时LQ；（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当DMDN 时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若

10、 AN=x，则 Q= （用x、L 表示） 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 圆中作辅助线的常用方法（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。（2）若题目中有“ 弦的中点 ” 和“ 弧的中点 ” 条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。（3）若题目中有 “ 直径 ” 这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90 度的角或直角三角形。（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角

11、，以得到等角。（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆 O 中， BDOA 于 D，经常是：如图 1（上）延长BD 交圆于 C，利用垂径定理。如图 1（下）延长AO 交圆于 E，连结 BE，BA，得 RtABE。图 1（上）图 1（下）（6）若题目中有“ 切线 ” 条件时，一般是：对切线引过切点的半径，（7）若题目中有 “ 两圆相切 ” （内切或外切） ，往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。（8）若题目中有“ 两圆相交 ” 的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。（9）

12、 有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。例题 1：如图，在圆O 中，B 为的中点， BD 为 AB 的延长线， OAB=500，求 CBD 的度数。例题 2:如图 3,在圆 O 中,弦 AB、CD 相交于点 P，求证： APD 的度数=21（弧 AD+弧 BC）的度数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - ACB

13、O1P一、造直角三角形法1.构成 Rt,常连接半径例 1. 过 O 内一点 M ,最长弦 AB = 26cm,最短弦 CD = 10cm ,求 AM 长; 2.遇有直径 ,常作直径上的圆周角例 2. AB 是 O 的直径 ,AC 切 O 于 A,CB 交O 于 D,过 D 作 O 的切线 ,交 AC于 E. 求证 :CE = AE; 3.遇有切线 ,常作过切点的半径例 3 .割线 AB 交O 于 C、D,且 AC=BD,AE 切O 于 E,BF 切 O 于 F. 求证 :OAE = OBF; 4.遇有公切线 ,常构造 Rt(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长) 例 4

14、.小 O1与大 O2外切于点 A,外公切线 BC、DE 分别和 O1、O2切于点 B、C 和 D、E，并相交于P，P = 60 。求证： O1与 O2的半径之比为1：3；5正多边形相关计算常构造Rt例 5.O 的半径为 6,求其内接正方形ABCD 与内接正六边形AEFCGH 的公共部分的面积. 二、欲用垂径定理常作弦的垂线段例 6. AB 是 O 的直径 ,CD 是弦 ,AECD 于 E,BFCD 于 F.(1)求证 :EC = DF; (2)若 AE = 2,CD=BF=6,求 O 的面积 ; 三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形例 7. AB 是 O 直径 ,弦 CDAB,M 是

15、?AC上一点 ,AM 延长线交DC 延长线于 F. 求证 : F = ACM ; 四、切线的综合运用1已知过圆上的点，常_ 例 8.如图，已知： O1与O2外切于 P，AC 是过 P 点的割线交O1于A，交 O2于 C，过点 O1的直线 AB BC 于 B.求证：BC 与 O2相切 . 例 9.如图， AB 是O 的直径， AE 平分 BAF 交 O 于 E，过 E 点作直线与AF 垂直交 AF延长线于 D 点，且交 AB 于 C 点求证： CD 与 O 相切于点 E名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

16、- - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - CEBOAD2.两个条件都没有,常_ 例 10. 如图， AB 是半圆的直径，AMMN，BNMN，如果 AM+BNAB，求证 : 直线 MN与半圆相切；例 11.等腰 ABC 中,AB=AC,以底边中点D 为圆心的圆切AB 边于 E 点. 求证 :AC 与 D 相切; 例 12菱形 ABCD 两对角线交于点O，O 与 AB 相切。求证： O 也与其他三边都相切；五、两圆相关题型1两圆相交作_ 例 13.O1与 O2相交于 A、B，过 A 点作直线交 O1于 C 点、交 O2于 D 点，过 B 点作直线交

17、O1于 E 点、交 O2于 F 点. 求证 :CEDF; 2.相切两圆作 _ 例 14. O1与 O2外切于点P,过 P 点的直线分别交O1与 O2于 A、B 两点， AC 切 O1于 A 点， BC 交 O2于 D 点。求证： BAC = BDP；3两圆或三圆相切作_ 例 15.以 AB=6 为直径作半 O,再分别以 OA、OB 为直径在半O 内作半 O1与半 O2，又O3与三个半圆两两相切。求O3的半径；4一圆过另一圆的圆心，作_ 例 16.两个等圆 O1与 O2相交于 A、B 两点，且 O1过点 O2，过 B 点作直线交 O1于 C点、交 O2于 D 点. 求证： ACD 是等边三角形；

18、六、开放性题目例 17 已知：如图，以ABC的边AB为直径的Oe交边AC于点D， 且过点D的切线DE平分边BC（1）BC与Oe是否相切？请说明理由；（2）当ABC满足什么条件时，以点O，B，E，D为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由CEBOAD（第 23 题）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 四边形辅助线做法一、和平行四边形有关的辅助线作法1利用一组对边平行且相等构造平行四边形例 1 如图 1，已知点 O 是

19、平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，四边形OCDE 是平行四边形 . 求证 :OE 与 AD 互相平分 . 2利用两组对边平行构造平行四边形例 2 如图 2，在 ABC 中，E、F 为 AB 上两点， AE=BF，ED/AC，FG/AC 交 BC 分别为 D，G.求证 :ED+FG=AC. 3利用对角线互相平分构造平行四边形例 3 如图 3，已知 AD 是 ABC 的中线，BE 交 AC 于 E， 交 AD 于 F，且 AE=EF.求证 BF=AC. 二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题 . 例 4 如图 5，

20、在 ABC 中， ACB=90 ， BAC 的平分线交BC 于点 D，E 是 AB 上一点，且 AE=AC，EF/BC 交 AD 于点 F，求证：四边形CDEF 是菱形 . 例 5 如图 6， 四边形 ABCD 是菱形，E 为边 AB 上一个定点， F 是 AC 上一个动点， 求证 EF+BF的最小值等于DE 长. 3 与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题； （2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

21、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 决问题和矩形有关的试题的辅助线的作法较少. 例 6 如图 7，已知矩形ABCD 内一点， PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长 . 例 7 如图8，过正方形ABCD 的顶点B 作 BE/AC ，且AE=AC，又CF/AE.求证：BCF=21AEB. 五、与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型： （ 1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平

22、行四边形；（4） 延长两腰构成三角形； （ 5）作两腰的平行线等. 例 8 已知，如图9，在梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=AC， BAC=90 ，BD=BC，BD 交 AC于点 0.求证： CO=CD. 例 9 如图 10，在等腰梯形ABCD 中， AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC 于 E.求 DE的长 . 六、和中位线有关辅助线的作法例 10 如图 11，在四边形 ABCD 中， AC 于 BD 交于点 0，AC=BD，E、F 分别是 AB、CD 中点， EF 分别交 AC、BD 于点 H、G.求证： OG=OH. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

23、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 中考数学经典几何证明题1. （1）如图 1 所示，在四边形ABCD中，AC=BD，AC与BD相交于点O，EF、分别是ADBC、的中点， 联结EF，分别交AC、BD于点MN、，试判断OMN的形状，并加以证明；（2）如图2，在四边形ABCD中，若ABCD，EF、分别是ADBC、的中点，联结FE 并延长，分别与BACD、的延长线交于点MN、，请在图2 中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；（3） 如图 3， 在AB

24、C中，ACAB， 点D在AC上，ABCD，EF、分别是ADBC、的中点，联结FE并延长，与BA的延长线交于点M，若45FEC，判断点M与以AD 为直径的圆的位置关系，并简要说明理由练习1、为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方，政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖，其中不能进行平面镶嵌的是（）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形2、矩形纸片ABCD 中， AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG，则 AG 的长为（）A1 B34C23D2 3、把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转

25、得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想图 1 图 2 图 3 MFEDCBBFEDCAABACDEFMNOD C A B G H F E 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 二、与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型： （ 1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（ 2）作梯形的高，构造矩形和直角

26、三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形； （ 5）作两腰的平行线等. 例 1 已知，如图，在梯形ABCD 中，AD/BC，AB=AC， BAC=90 ，BD=BC，BD 交 AC于点 0.求证： CO=CD. 例 2 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC 于 E.求 DE 的长. 三、和中位线有关辅助线的作法例 3 如图，在四边形ABCD 中， AC 于 BD 交于点 0，AC=BD，E、F 分别是 AB、CD 中点，EF 分别交 AC、BD 于点 H、G.求证： OG=OH. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -