2022年初中数学最值问题典型例题 .pdf

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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料中考数学最值问题总结考查知识点 ：1、 “两点之间线段最短” ， “垂线段最短” ， “点关于线对称” ， “线段的平移” 。（2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题）问题原型： 饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路 ：找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小方法：作点A关于直线l的对称点A，连结A B交l于点P，则PAPBA B的值最小例 1、

2、如图，四边形ABCD 是正方形， ABE 是等边三角形， M 为对角线 BD （不含 B 点）上任意一点，将BM 绕点 B 逆时针旋转60得到 BN ，连接 EN、 AM 、CM（1）求证： AMB ENB ；（2）当 M 点在何处时， AM+CM的值最小；当 M 点在何处时， AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当 AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。A B AP l 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - -

3、 - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料例 2、如图 13，抛物线y=ax2bxc(a 0) 的顶点为（ 1,4 ） ，交 x 轴于 A、B，交 y 轴于 D，其中 B点的坐标为（ 3,0 ）（1）求抛物线的解析式（2）如图 14，过点 A 的直线与抛物线交于点E，交 y 轴于点 F，其中 E 点的横坐标为2，若直线 PQ 为抛物线的对称轴，点G 为 PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点H，使 D、G、F、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H 的坐标；若不存在，请说明理由 . （3）如图 15，抛物线上是否存在一点T，过点 T 作 x 的垂线，垂足为M，过点 M

4、 作直线MNBD ，交线段 AD于点 N，连接 MD ，使 DNM BMD ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料例 3、如图 1，四边形 AEFG 与 ABCD 都是正方形，它们的边长分别为a,b(b 2a), 且点 F 在AD 上（以下问题的结果可用a,b 表示）（ 1）求 S DBF; (2) 把正方形 AEFG 绕点 A

5、逆时针方向旋转450得图 2,求图 2 中的 SDBF; (3) 把正方形AEFG 绕点 A 旋转任意角度 ,在旋转过程中,SDBF是否存在最大值,最小值 ?如果存在 ,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料例 4、如图，在平面直角坐标系中，直线1y=x+12与抛物线2y=ax +bx3交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B

6、的纵坐标为3。点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（不与A，B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线AB 与点 C，作 PDAB 于点 D （1）求 a，b 及sinACP的值（2）设点 P 的横坐标为m用含m的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；连接 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共

7、12 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料例 5、 如图，C 的内接 AOB中，AB=AO=4 ， tan AOB=34, 抛物线2yaxbx经过点 A(4,0)与点（ -2,6 ）. （1）求抛物线的函数解析式；（2）直线 m与C相切于点 A，交 y 于点 D.动点 P在线段 OB上，从点 O出发向点B运动；同时动点 Q在线段 DA上，从点 D出发向点A运动；点 P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2 个单位长，当PQ AD时，求运动时间t 的值；（3）点 R在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当ROB 面积最大时，求点R的坐标 . 名师资料总结

8、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料例 1、证明：（ 1） ABE 是等边三角形，BA=BE ， ABE=60 MBN=60 ， MBN- ABN= ABE- ABN 即 MBA= NBE 又 MB=NB， AMB ENB （SAS）（ 5 分）解：（2）当 M 点落在 BD 的中点时， A、M、C 三点共线， AM+CM的值最小（7 分）如图，连接CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交

9、点处时，AM+BM+CM的值最小（ 9 分）理由如下：连接MN ，由（ 1）知， AMB ENB ，AM=EN ， MBN=60 ，MB=NB， BMN 是等边三角形BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM（ 10 分）根据 “ 两点之间线段最短” ，得 EN+MN+CM=EC最短当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时， AM+BM+CM的值最小，即等于EC 的长（ 11分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - -

10、- 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料例 2、 解： （1）设所求抛物线的解析式为：2(1)4ya x，依题意，将点B（3，0）代入，得：2(31)40a解得：a 1所求抛物线的解析式为：2(1)4yx（2）如图 6，在 y 轴的负半轴上取一点I，使得点F 与点 I 关于 x 轴对称，在 x 轴上取一点H，连接 HF、HI、HG、GD、GE，则 HFHI设过 A、E 两点的一次函数解析式为：ykxb（k0） ，点 E 在抛物线上且点E 的横坐标为2，将 x2 代入抛物线2(1)4yx，得2( 21 )43y点 E 坐标为（ 2，3）又抛物线2(1)4yx图像分别与x 轴、y 轴交于点A、B、

11、D 当 y0 时，2(1)40 x， x 1 或 x3 当 x0 时， y 143, 点 A（ 1，0） ，点 B（3，0） ，点 D（0，3）又抛物线的对称轴为：直线x1，点 D 与点 E 关于 PQ 对称， GDGE分别将点 A（ 1，0） 、点 E（2，3）代入 ykxb，得：023kbkb解得：11kb过 A、E 两点的一次函数解析式为：yx1 当 x0 时， y1 点 F 坐标为（ 0，1）DF=2又点 F 与点 I 关于 x 轴对称，点 I 坐标为（ 0，1）2222242 5EIDEDI又要使四边形DFHG 的周长最小，由于DF 是一个定值，只要使 DGGHHI 最小即可由图形的

12、对称性和、，可知，DGGHHFEGGHHI 只有当 EI 为一条直线时，EGGHHI 最小设过 E（2，3） 、I（0， 1）两点的函数解析式为：111(0)yk xb k，分别将点E（2，3） 、点 I（0， 1）代入11yk xb，得：111231kbb名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料解得：1121kb过 A、E 两点的一次函数解析式为：y2x1 当 x1 时， y1；当

13、 y0 时，x12；点 G 坐标为（ 1，1） ，点 H 坐标为（12，0）四边形 DFHG 的周长最小为：DFDGGHHFDFEI 由和，可知：DFEI22 5四边形DFHG 的周长最小为22 5。（3）如图 7，由题意可知，NMD MDB ，要使， DNM BMD ，只要使NMMDMDBD即可，即：2MDNMBD设点 M 的坐标为（ a，0） ，由 MN BD，可得AMN ABD ，NMAMBDAB再由（ 1） 、 （2）可知， AM 1a，BD 3 2，AB4 (1)3 23 2(1)44AMBDaMNaAB22229MDODOMa，式可写成：23 29(1)3 24aa解得：32a或3

14、a（不合题意，舍去）点 M 的坐标为（32，0）又点 T 在抛物线2(1)4yx图像上，当 x32时， y152点 T 的坐标为（32，152）. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料例 3、解： （1）点 F 在 AD 上， AF2=a2a2，即 AF=2a。DFb2a。2DBF1113SDF ABb2abbab2222（）。（2）连接 DF，AF，由题意易知AFBD，四边形

15、AFDB 是梯形。 DBF 与ABD 等高同底，即BD 为两三角形的底。由 AFBD ，得到平行线间的距离相等，即高相等，2DBFABD1SSb2。（3）正方形 AEFG 在绕 A 点旋转的过程中，F 点的轨迹是以点A 为圆心， AF 为半径的圆。第一种情况：当b2a 时，存在最大值及最小值， BFD 的边 BD=2b，当 F 点到 BD 的距离取得最大、最小值时，SBFD取得最大、最小值。如图，当 DFBD 时， SBFD的最大值 =212b2ab2b (b2a)222，S BFD的最小值 =212b2ab2b (b2a)222。第二种情况：当b=2a 时，存在最大值，不存在最小值，S BF

16、D的最大值 =2b2ab2。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料例 4、解： （1）由1x+1=02，得到 x=2， A（ 2，0） 。由1x+1=32，得到 x=4，B（4，3） 。2y=ax +bx3经过 A、B 两点，4a2b3=016a+4b3=3，解得1a=21b=2。设直线 AB 与 y 轴交于点 E，则 E（0，1） 。根据勾股定理，得AE=5。PCy 轴， ACP

17、= AEO 。OA22 5sinACP=sinAEO=AE55。（2）由（ 1）可知抛物线的解析式为211y=xx322。由点 P 的横坐标为m，得 P211mmm322，C1mm+12，。PC= 221111m+1mm3m +m+42222。在 RtPCD 中，2212 559 5PDPC sinACP=m +m+4=m1+2555，505，当 m=1 时， PD 有最大值9 55。存在满足条件的m值，532m=29或。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共

18、12 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料例 5、解： （1）将点 A （4，0）和点（-2，6）的坐标代入2=+y axbx中，得方程组16 +4 =04 -2 =6abab，解之，得1=2=-2ab. 抛物线的解析式为21=-22yxx. （2）连接 AC交 OB于 E. 直线 m切C 于 A AC m ， 弦 AB=AO ， ABAO . AC OB ，m OB. OAD= AOB ，OA=4 tanAOB=43，OD=OAtan OAD=4 43=3. 作 OF AD于 F.则 OF=OA sin OAD=4 53=2.4. t 秒时， OP=t

19、,DQ=2t，若 PQ AD ，则 FQ=OP= t.DF=DQ FQ= t. ODF中， t=DF=22OFOD=1.8 秒. （3）令 R(x, 21x22x) (0 x4). 作 RG y轴于 G 作 RH OB于 H交 y 轴于 I. 则 RG= x，OG= 21x2+2x. RtRIG 中， GIR= AOB ，tan GIR=43. IG=34x IR=35 x, RtOIH 中， OI=IGOG=34x（21x2+2x）=21x232x.HI=54（21x232x）. 于是RH=IR IH=35 x 54（21x232 x ）=52 x2+1533x=52 x2+511x=52(

20、 x 411)2+40121名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料当 x=411时，RH最大.SROB最大 . 这时21x22x=21(411)22411=3255. 点 R(411,3255) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -