2022年双曲线定义及性质整合实用 .pdf

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1、双曲线定义及性质的应用一、双曲线的定义双曲线第一定义第一定义：平面内与两个定点12FF、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于12F F）的点的轨迹叫做双曲线 .这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 例 1.已知F是双曲线22:122xyC的右焦点，P是C的左支上一点，0,2A.求APF周长的最小值及此时P的坐标 . 【 解 析 】 双 曲 线 左 焦 点1( 2,0)F， 则 有12PFPFa， 则12AFAPPFAFAPPFa12AFAFa126 2AFAFa， 当且仅当1,A P F共线时取等号，即APF周长最小为6 2.此时直线1AF方程为2yx，与双曲线联立得到0

2、3 1(,)2 2P. 总结： 1.在遇到双曲线中线段和的最值问题时，常利用双曲线的第一定义及三角形三边关系. 2. 注意双曲线上点的位置，在哪一支上，影响所求最值. 练习 1. 已知F是双曲线221412xy的左焦点 ,(1,4)A，P是双曲线右支上的动点,则PFPA的最小值为_. 9【解析】双曲线右焦点2( 4,0)F，22229PFPAaPFPAaAF，当且仅当2,A P F共线时取等号 . 练习2.P为双曲线22115yx右支上一点，,M N分别是圆22(4)4xy，和22(4)1xy上的点，则PMPN的最大值为 _【答案】 5.提示：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

3、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 例 2. 已知双曲线22:14xCy，P是C右支上的任意点. （1）设点A的坐标为(3,0)，求PA的最小值，及此时P点坐标 . （2）设右焦点为2F，求2PF的最小值，及此时P点坐标. 【解析】（ 1）设P的坐标为( , )x y，则2x，2222(3)(3)14xPAxyx225512468()4455xxx，又因为2x，则当125x时PA最小值为2 55，此时1211(,)55P. （2）设P的坐标为( , )x y，则2x

4、，右焦点2( 5,0)F，2222(5)(5)14xPAxyx254 5()45x，又因为2x，则当2x时PA最小值为52（即ca），此时(2,0)P. 双曲线第二定义第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数)1(ee，则动点M的轨迹叫做双曲线 . 2PFed（d为点P到右准线的距离），左、右准线分别为2axc，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线 . 例 1.已知点P为2213yx上一点，右焦点2F，(5,3)A，（1）求21|2PAPF的最小值，及此时P点坐标 . （2）求21|2PAPF的最大值，及此时P点坐标 . 【解析】 （1）易知2e，设点P到与右焦点2F相应的

5、右准线12x的距离为d，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2|2PFed，则21| |2PAPFPAd，则当直线垂直于准线时合题意，且点P在双曲线的右支上，此时点P纵坐标为3，代入双曲线方程，求得点P的坐标为(2,3). （2）21| |2PAPFPAd，即在双曲线上求点P，使得点P到定点A的距离与到右准线12x的距离之差最大，则点P在双曲线的左支上，直线垂直于准线时符合题意，且此时点P的纵坐标为3，代入双曲线方

6、程，求得点P坐标为( 2,3). 练习 1. 已知点(3,2),(2,0)AF在双曲线2213yx上求一点P，使1|2PAPF的值最小 . 【答案】21(,2)3. 例 2.已知P是双曲线221169yx右支上的动点， 点F是双曲线的右焦点，定点8,4A，求45PFPA的最小值 . 24【解析】如图，设1P为P在右准线165x上的投影，1A为A在右准线165x上的投影，154FPPPe，45PFPA155PPPA1116)55 (85()245PPPAAA，此时P与1A，A共线，在如图0P位置 . 练习 2. 已知 P 是双曲线2211620yx右支上的动点，点P 是双曲线的右焦点，定点7,6

7、A，求23PFPA的最小值 . 【答案】 19. 双曲线第三定义第三定义：在双曲线)0,0( 12222babyax中，,A B两点关于原点对称，P是双曲线上异于,A B两点的任意一点，若PBPAkk,存在，则1222eabkkPBPA.（反之亦成立）.（焦点在Y 轴上时，椭圆满足名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 22bakkPBPA）推导过程：设( , )P x y，11(,)A x y，则11(,)Bxy所以1

8、2222byax，1221221byax；由 得22122212byyaxx，所以22212212abxxyy，所以222111222111PAPByyyyyybkkxxxxxxa为定值例 1.已知双曲线)0, 0(12222babyax的实轴长为4，若点P是双曲线上一点，过原点的直线l与双曲线相交与NM ,两点，记直线PNPM ,的斜率分别为21,kk.若4121kk，则双曲线的方程为. 1422yx【解析】由第三定义知4122ab，且42a，则双曲线方程为1422yx. 二、双曲线的性质（1）双曲线的通经长为22ba；（2）设P双曲线右支上一点，12,FF分别是左右焦点，则1PFca，2P

9、Fca，当且仅当P为右支顶点时取等号；（3）双曲线的焦点到准线的距离为b；（4）双曲线上的任意点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值222a bc；（5）设P为双曲线上任一点，三角形21FPF的内切圆与x轴的切点为)0,(a或)0 ,( a（内切圆圆心在直线ax或ax上）；推导过程：（3）)0,0(12222babyax双曲线的右焦点为( ,0)c，准线为0bxay，焦点到渐近线的距离220bcbcdbcba；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 -

10、- - - - - - - - （4）设双曲线上的点00(,)P xy，则有1220220byax，即22202202bayaxb，渐近线分别为0bxay，0bxay，则点00(,)P xy到渐近线的距离0000122bxaybxaydcba，002bxaydc，则22222200000012222()()b xa ybxaybxaya bd dccc. （5）证明：设21FPF的内切圆与三条边分别相切与点SRQ,. P是 双 曲 线 右 支 上 的 点 ， 由 双 曲 线 的 定 义 知aPFPF221，aSFPSQFPQ2)()(21 ， 因 为SRQ,为 切 点 ， 则2211,RFSF

11、RFQFPSPQ，则式即为aRFRF221，设切点)0 ,(RxR， 则有axcxcRR2)(，则axR，所以21FPF的内切圆与x轴的切点为)0 ,(a. 当P是双曲线左支上的点时，同理可证切点为)0,( a.离心率问题1.基本方法：从定义出发，找到, ,a b c的等式或不等式；2.几何法：根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如等腰、钝角、锐角，中垂线，垂直、内外切等 .（双曲线本身所具有的不等关系）例 1：双曲线)0,0(12222babyax的左右焦点分别是12,FF，若P是其上的一点，且122PFPF，则双曲线的离心率的取值范围是_. (1,3e【解析】122PFPFa，

12、122PFPF，则124 ,2PFa PFa，则P在双曲线的右支上，则有可知2PFca，即2aca，则3e，则(1,3e.（或由1PFca解得(1,3e）. 例 2.如图，12,FF是椭圆2214xy和双曲线2C的公共焦点，若四边形12AF BF为矩形，则双曲线的离心率为 _. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 62e【 解 析 】 关 于 共 焦 点 的 问 题 ，c相 等 ， 在 椭 圆 里 面124AFAF，

13、 在12Rt AF F中 满 足2221212AFAFF F，解得1222,22AFAF，则在双曲线中2,3ab，则62e. （直线和双曲线的位置关系）例 3.已知双曲线22221xyab的右焦点为F，若过点 F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_. 2,)【解析】过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为1 个或 2 个，取决于这条直线和右渐近斜率的关系，如果这条直线的斜率为k小于等于右渐近线byxa的斜率，则与右渐近线只有一个交点，如上图所示可得3ba，解不等式可求出2e. 练习 1.设双曲线2221xya与直线:1lxy相交于不同的点,A B，

14、求双曲线的离心率的取值范围. 6(,2)(2,)2【 解 析 】 联 立 化 简 得2222(1)220axa xa， 所 以210,0a， 即02,1aa，22111aeaa，所以62e且2e. 例 4.已知12,F F分别是双曲线22221xyab的左右焦点， 过1F且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B两点，若2ABF是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - (1,12)e【

15、解析】由于2ABF为等腰三角形，故只需2AF B为锐角，则需2145AF F，由大边对大角得112AFF F，则有22bca，解得(1,12)e. 练习2.过双曲线22221xyab的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B两点， D 为虚轴上的一个端点，且ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围是_. (1,2)(22,)【解析】AB为双曲线的通径，可设22( ,),( ,)bbA cB caa，若ABD中DAB为直角时，此时点D坐标为2(0,)ba，要保证ABD为钝角三角形， 则D点上移保证2bba即可， 解得12e. 若1ABD中，1AD B为直角时，此时设1(0, )Dx，则

16、21(,)bADc xauuu u r，21(,)bBDc xauuu u r，因为11ADBD，则110AD BDuu uu r uuu u rg，解得4222bxca，要保证1ABD为钝角三角形，则1D点下移至x轴之上即可，即4222bbca，解得22e，综上，离心率的取值范围为(1,2)(22,). 焦点三角形双曲线焦点三角形12PF F，设12F PF. （1）21221cosbPFPF；（ 2）122tan2PF FbS；推 导 过 程 ： （ 1 ）22222121212122cos4()24PFPFPFPFcPFPFPF PFc，222121242424aPF PFcPF PFb

17、，则21221cosbPFPF. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - （2）由（ 1）得12222212sin2sincos21cos222sintan22PF FbbbS. 例 5.已知12,FF是双曲线22221xyab的左右焦点，P是准线2axc上的一点， 且1212,4PFPFPFPFab，则双曲线的离心率为（）注意：经常在直角三角形中考察离心率的值或者离心率的范围，所以直角三角形中存在的常用关系必须熟悉。3

18、【解析】如图，题目的关键在于准线和垂直关系，注意12PF F并不是焦点三角形， 题目中出现了12| |PFPF且存在RT，所以很容易想到面积相等即1212| |PFPFPD F F，但是PD长度未知， 在直角三角形中依据相似存在如下等式22bPDacc，因此代入1212| |PFPFPD F F，整理得3e.中点弦设AB是双曲线2222:1(0)xyCabab的任意一弦，P是AB中点，则1222eabkkOPAB. 证明：令1122,A x yB xy，00,P xy则1202xxx，1202yyy，22112212121212222222221.01xyxxxxyyyyababxyab，2121221212yybxxxxayy，由于1212AByykxx，00OPykx，则22ABOPbkka. 切线及切点弦切线方程：设),(00yxP为双曲线)0(12222babyax上一点，则过该点的切线方程为：12020byyaxx. 切点弦方程：设),(00yxP是双曲线外的一点，过点P作曲线的两条切线,切点NM、,则切点弦MN所在直线方程为12020byyaxx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -