2022年北京市高三二模理科数学分类汇编圆锥曲线 .pdf

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1、十二、圆锥曲线（选修2-1 ）1. （ 2012 年朝阳二模理3）已知双曲线2215xym（0m）的右焦点与抛物线212yx的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ C ） A 6 B3 22 C32 D342. （ 2012 年海淀二模理5）已知点12,F F是椭圆2222xy+=的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么12PFPF+的最小值是（ C ）A0 B.1 C.2 D.2 23.（ 2012 年丰台二模理10）已知椭圆22221(7)7xymmm上一点 M到两个焦点的距离分别是 5 和 3，则该椭圆的离心率为_答案：74。4. （ 2012 年昌平二模理10） 已知双曲线的方程为142

2、2yx，则其渐近线的方程为_, 若抛物线pxy22的焦点与双曲线的右焦点重合，则_p. 答案：xy21, 52。5. （ 2012 年东城二模理7）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线221yxm的离心率为（ D ）A32 B.5 C.32或52 D.32或56.（2012 年西城二模理18） 已知抛物线24yx的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点 （）若2AFFB，求直线AB的斜率；（）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值解： （）依题意(1,0)F，设直线AB方程为1xmy 1 分将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得2440ymy

3、3 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 设11(,)A xy，22(,)B xy，所以124yym，124y y 4 分因为2AFFB，所以122yy5分联立和，消去12,yy，得24m 6 分所以直线AB的斜率是2 27分（）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2AOBS 9 分因为12122| |2AOBSOFyy 10 分22121

4、2()44 1yyy ym， 12 分所以0m时，四边形OACB的面积最小，最小值是4 13 分7.（2012 年朝阳二模理19）在平面直角坐标系xOy中，已知点(2,0)A，(2,0)B，E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为12. （）求动点E的轨迹C的方程；（）设过点(1,0)F的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N. 若点P在y轴上，且PMPN，求点P的纵坐标的取值范围. 解： （）设动点E的坐标为( , )x y，依题意可知1222yyxx，整理得221(2)2xyx. 所以动点E的轨迹C的方程为221(2)2xyx. 5 分（II ）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐

5、标为0. 6 分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(1)yk x. ABCOMxyF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 将(1)yk x代入2212xy并整理得，2222(21)4220kxk xk. 2880k. 设11(,)M x y，22(,)N xy，则2122421kxxk，21222221kx xk.设MN的中点为Q，则22221Qkxk，2(1)21QQkyk xk，所以2222(,)2121kkQ

6、kk. 9 分由题意可知0k，又直线MN的垂直平分线的方程为22212()2121kkyxkkk.令0 x解得211212Pkykkk . 10 分当0k时，因为1222kk，所以12042 2Py；当0k时，因为1222kk，所以12042 2Py. 12 分综上所述，点P纵坐标的取值范围是22,44. 1 3 分8. （ 2012 年丰台二模理19）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P(x0，4) 到焦点 F 的距离为5斜率为 2 的直线 l 与抛物线C交于 A，B两点 （）求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程； （）若 AB的垂直平分线分别交

7、y轴和抛物线于M ，N两点（ M ，N位于直线l 两侧） ，当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程解： （）依题意设抛物线C：22(0)xpy p，因为点 P到焦点 F 的距离为5，所以点 P到准线2py的距离为5因为 P(x0，4)，所以由抛物线准线方程可得12p，2p所以抛物线的标准方程为24xy 4 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 即214yx，所以12yx，点 P(4，4) ，所以41|( 4)2

8、2xy，41|422xy所以点P(-4 ， 4) 处抛物线切线方程为42(4)yx，即240 xy；点P(4 ，4) 处抛物线切线方程为42(4)yx，即240 xyP点处抛物线切线方程为240 xy，或240 xy 7 分（）设直线l的方程为2yxm，11(,)A xy，22(,)B xy，联立242xyyxm，消 y 得2840 xxm，64 160m所以128xx，124x xm，所以1242xx，1282yym，即AB的中点为(4,8)Qm所以AB的垂直平分线方程为1(8)(4)2ymx因为四边形 AMBN 为菱形，所以(0,10)Mm，M，N关于(4,8)Qm对称，所以N点坐标为(8

9、,6)Nm，且N在抛物线上，所以644(6)m，即10m，所以直线l的方程为210yx 14 分9. （ 2012 年昌平二模理19）如图，已知椭圆M:)0( 12222babyax, 离心率36e,椭圆与 x 正半轴交于点A，直线 l 过椭圆中心O ，且与椭圆交于B 、C两点， B (1,1). () 求椭圆 M的方程；（）如果椭圆上有两点QP、, 使PBQ的角平分线垂直于AO，问是否存在实数)0(使得ACPQ成立？解： ( ) 由题意可知2)(136abe, 得223ba 2 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

10、 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - )11( ,B点在椭圆上11122ba解得：34422b,a 4 分故椭圆 M的方程为：143422yx 4 分（）由于PBQ的平分线垂直于OA即垂直于x 轴，故直线PB的斜率存在设为k，则 QB斜率为 - k，因此 PB 、QB的直线方程分别为y = k (x-1)+1， y = -k (x-1) +1 6 分由14341)1(22yxxky得01631631222kkx)k(kx)k(由0，得31k 8 分点 B在椭圆上， x =1 是方程的一个根，设),(),(QQppyxQyxP13

11、163122kkkxP即1316322kkkxP，同理1316322kkkxQ 10 分PQk311312213)13(22)(222kkkkkkxxkxxkxxyyQPQPQPQP)1, 1(),0 ,2(CA31ACk即：ACPQkk向量AC/PQ，则总存在实数使ACPQ成立 . 13 分10. （2012 年东城二模理18）已知抛物线C：24xy，M为直线:l1y上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线,MA MB，切点分别为A,B.（）当M的坐标为(0, 1)时，求过,M A B三点的圆的方程；（）证明：以AB为直径的圆恒过点M. 解： （）当M的坐标为(0, 1)时，设过M点的切线方程

12、为1ykx，由24 ,1,xyykx消y得2440 xkx. (1) 令2(4 )440k，解得1k. 代入方程 (1) ，解得(2,1),( 2,1)AB. 3 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 设圆心P的坐标为(0,)a，由PMPB，得12a，解得1a. 故过,MA B三点的圆的方程为22(1)4xy 5 分证明：（）设0(,1)M x，由已知得24xy，12yx，设切点分别为211(,)4xA x，222(

13、,)4xB x， 所以12MAxk，22MBxk，切线MA的方程为2111()42xxyxx即2111124yx xx，切线MB的方程为2222()42xxyxx即2221124yx xx7 分又因为切线MA过点0(,1)M x，所以得201111124x xx. 又因为切线MB也过点0(,1)M x，所以得202211124x xx. 所以1x，2x是方程2011124x xx的两实根，由韦达定理得1202,xxx124x x 9 分因为2110(,1)4xMAxx，2220(,1)4xMBxx，所以22121020()()(1)(1)44xxMA MBxxxx222221212012012

14、1()()1164x xx xxxxxxx22221212012012121()()21164x xx xxxxxxxx x将1202,xxx124x x代入，得0MA MB. 13 分所以以AB为直径的圆恒过点M 14 分11. （2012 年海淀二模理18）已知椭圆C:22221(0)xyabab的右焦点为(1,0)F，且点2( 1,)2在椭圆C上. （）求椭圆C的标准方程；（）已知动直线l过点F，且与椭名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - -

15、- - - - - - - 圆C交于A，B两点 . 试问x轴上是否存在定点Q，使得716QA QB恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解： （）由题意知：1c=. 根据椭圆的定义得：22222(11)()22a =-+，即2a =. 3 分所以2211b =-=. 所以椭圆C的标准方程为2212xy. 4 分（）假设在x轴上存在点(,0)Q m，使得716QA QB恒成立 . 当直线l的斜率为0 时，( 2,0),(2,0)AB. 则7( 2,0) (2,0)16mm-?-= -. 解得54m= ?. 6 分当直线l的斜率不存在时，22(1,),(1,)22AB. 由于52

16、527(1,) (1,)424216+?-?，所以54m ?. 下面证明54m=时，716QA QB恒成立 . 8 分显然直线l的斜率为0 时，716QA QB. 当直线l的斜率不为0 时，设直线l的方程为：1xty=+，()()1122,A x yB xy. 由221,21xyxty?+=?=+?可得：22(2)210tyty+-=. 显然0. 1221222,21.2tyyty yt?+= -?+?= -?+? ? 10 分因为111xty=+，221xty=+，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

17、- - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 所以112212125511(,) (,)()()4444xyxytytyy y-?=-+2121211(1)()416ty yt yy=+-+2221121(1)24216ttttt= -+22222172(2)1616ttt-+=+= -+. 综上所述：在x轴上存在点5(,0)4Q，使得716QA QB恒成立 . 13 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -