2022年双曲线教学设计 .pdf

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1、双曲线及其标准方程教学设计一.教学目标 : 1.知识目标 :掌握双曲线的定义并会推导其方程. 2.能力目标 :能根据已知条件 ,选择恰当的形式的双曲线方程解题;加深对类比 ,化简,分类讨论的思想的理解与运用 . 3.情感目标 :利用教学内容促进学生对量变,质变规律的理解和对学生进行爱国主义教育. 二.教学重点与难点分析 : 本节的教学重点是准确理解双曲线的定义. 本节的教学难点是选择恰当的双曲线方程解题. 三.教学方法和学习方法的设计: 教法:1.在教学目标的指导下 ,采用” 信息环境下情境性问题解决” 教学模式实施教学 .这种方法是以问题为中心 ,以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特

2、征的探究型教学方式 .在探索过程中经历” 提出问题 分析问题 分组讨论 提炼总结 深化反思 ” 五个不同的教学环节 .在整个教学过程中 ,教师利用问题引路 ,学生独立思考和分组讨论 ,从而自己解决问题 . 2.通过课件和动画展示数学知识的发生发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”. 学法:在教师的组织 ,点拨,引导作用下 ,通过学生积极思考 ,大胆想象 ,总结规律 ,自己不能解决的问题通过小组讨论解决,充分发挥他们的主体作用,让学生置身于提出问题思考问题解决问题的动态过程中. 四.媒体选择 :多媒体课件 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

3、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 五.教学过程设计 : 探索问题一 : 定圆圆1O内含于定圆圆2O,当圆 M 与圆2O内切而与圆1O外切时 , 圆 M 的圆心 M 的轨迹是什么曲线 ? 学生: 是椭圆 . 教师: 面内与两个定点12,F F的距离的和等于常数 (大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆 . 若将“距离之和”改为“距离之 差”.那将会出现什么情况呢 ? 探索问题二 : 设圆1O,圆2O外离,其半径分别为12,r r.动圆圆 M 与圆1O内切而与圆2O外切,求

4、动圆 M 的圆心 M 的轨迹又是什么曲线 ? 分析: 设动圆 M 半径为r,有212112O MO Mrrrrrr教师: 谁能画出点M的轨迹 ?(没反应 )困难在哪里呢 ? 学生: 动圆 M 有无数个 ,画起来困难 .所以点 M 的轨迹画不出来 ! (课件演示 ) 教师:原来点 M 的轨迹是一条开口向左的,向外伸展的不封闭的一条曲线,这是单曲线吗?:是否还有其他情况 ? 学生:如果圆 M 与圆1O外切而与圆2O内切情况会怎样 ? 此时, 121212OMO Mrrrrrr .大概是开口向右的一条曲线吧. 课件演示 . 教师:我们把上述两条曲线称为双曲线(演示课件 ).请给出双曲线的定义 . 学

5、生:平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数的点的轨迹. 教师:好.请看(课件演示 )当圆1O与圆2O外切时 ,虽然121212MOMOrrO O ,但点在线段12O O的两侧 ,是两条射线 .动点 M 必定满足一个什么样的特定条件? 学生:应在前面的叙述中 ,在” 常数” 后加上附加条件 ” 小于12O O ” . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 教师:如果这个常数为 0 呢?这时点的轨迹是什么 ? 学生:平面

6、内与两个定点12,O O的距离的差的绝对值是0 的点的轨迹是线段12OO的垂直平分线 .所以这个常数不能为 0 . 教师:这就完整了 .称12,O O为双曲线的焦点 .它与椭圆定义比较又有和联系呢? 学生:在椭圆定义中 ,由三角形两边之和大于第三边的要求,而双曲线的定义中应满足三角形的两边之差的绝对值小于第三边的要求. 教师:如此复杂的曲线和平面几何中最简单的结论紧密联系,这充分反映了事物间的和谐的本质属性 . 问题延伸 : 教师:利用平面直角坐标系 ,我们可以求出该曲线方程,这就是数形结合的思想.问题是如何建立平面直角坐标系 ? 学生:以12,O O所在的直线为x轴,线段12O O的中垂线为

7、 y 轴,建立直角坐标系 . 教师:为什么不以12OO或为原点建立直角坐标系呢? 学生:那样的话 , 12OO与就不能关于 y 轴对称 ,从前面我们学习的椭圆方程的推导过程中知道,所得的方程较繁 . 教师:对.请同学们自行推导双曲线方程.(学生推演 ,教师归纳 ). 教师:同学们都能得出方程22222222caxa ycaa .仿照推导椭圆方程的方法.可令222cab.则得焦点在x轴上的双曲线方程: 22221xyab.类似地 ,当焦点在 y 轴上时,(或者说以12O O所在的直线为y 轴.线段12O O的中垂线为x轴建立直角坐标系).双曲线的方程是 学生: 22221yxab教师:它们都是双

8、曲线的标准方程.焦点在二次项系数为正的字母所表示的轴上. 思考问题一 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 例 1.(1)已知双曲线两个焦点的坐标为15,0F,25,0F,双曲线上一点 P到12,FF的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程 . (2)已知双曲线的中心是坐标原点,焦点在 y 轴上,焦距为 12,且经过点2, 5P,求双曲线的方程 . (3).求过点2,4 3A和2,4B的双曲线标准方程 . (第

9、(1),(2)小题为课本的例习题 .) (请三位同学板演 ,再请三位同学讲评 .第(1),(2)小题略 .第 3小题不少学生仍分焦点在x,y轴的情况求解 .过程较繁 .) 学生:第(3)题他解对了 ,但比较繁 .我认为只要设221mxny.然后把两点坐标分别代入,得到两个二元一次方程组成的方程组,解得1m, 16n,表明它是双曲线 ,同时表示不存在过这两点的椭圆 . 教师:对!讲得有道理 .求中心在原点的椭圆.双曲线标准方程 ,只需两个独立变量 .这是它们的本质属性 .理解这一点 ,解题运算量就小多了 . 教师:上述图形的变化过程反映了事物在一定范围内由量的积累引起质的变化情况.它包括了目前我

10、们所学的几种曲线.现在让我们来了解双曲线在军事上的一些应用. 思考问题二 :一炮弹在某处爆炸 ,在 A处听到爆炸声的时间比在B 处晚 2s. (1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知 A, B 两地相距 800m,并且此时声速为340ms,求曲线的方程 . (3)要想确定爆炸点的准确位置.应采取什么措施 ? (学生分组讨论 .教师巡视指导 .把学生解答用投影仪展示.) 学生(1)由声速及 A, B 两处听到爆炸声的时间差为2s,可知 A, B两处与爆炸点的距离的差为680800PAPB,因此爆炸点应该位于以A, B 为焦点的双曲线上 .因为爆炸点离 A处比离 B 处更远 ,所以爆炸点应在靠

11、近B 处的一支上 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - (2)如图 ,建立直角坐标系xoy,使 A, B 两点在x轴上 ,并且点 O与线段 AB中点重合 .设爆炸点 P 的坐标为, x y . 则340 2680PAPBAB即2680,340aa. 又800AB所以2800,400cc22244400bca因为6800PAPB所以0 x.所求双曲线方程为22111560044400 xy(0 x) (3).利用两个不

12、同的观测点侧得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点C ,利用 B , C (或 A, C)两处侧得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程.解这两个方程组成的方程组,就可以确定爆炸点的准确位置. 变式一 :若将“在 A处听到爆炸声的时间比在B 处晚 2s”改为“在 A处听到爆炸声的时间比在 B 处晚4017s”那么爆炸点 P 应在什么样的曲线上 ? 变式二 :若将“ A, B两地相距 800m”改为“ A, B两地相距 600m” 那么爆炸点 P 应在什么样的曲线上 ? 变式三 :假若在 A, B 两处同时听到爆炸声 ,

13、那么爆炸点 P 又在怎样的曲线上呢 ? 六.小结: 1.双曲线的定义 ,关键词是绝对值的差小于12F F . 2.求双曲线方程要注意选择方程的形式,以简化计算 . 3.主要思想方法有类比思想及特殊与一般量变与质变的辨证关系. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 七.教学效果 : 这节课充分发挥了多媒体教学的优势,教学设计充分体现 ” 主导-主体” 现代教学思想 ,彻底地改变了传统教学过程汇总学生被动接受知识的状态,学生能够自主探索获取知识,愿意学习也学会学习 ;学生主动参与的意识提高了.通过多媒体教学 ,教师把学生引上探索问题之路,调动了每一个学生学习的主动性和创造性,体现了学生的主体地位 ,有利于学生潜能的开发和创造性思维的培养 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -