2022年选修-数学教案：..求曲线的方程 .pdf

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1、求曲线方程学案课前预习学案一、预习目标回顾圆锥曲线的定义，并会利用定义和性质求圆锥曲线的方程。二、预习内容1到顶点)0,5(F和定直线516x的距离之比为45的动点的轨迹方程是2直线l与椭圆1422yx交于 P、Q两点，已知l过定点（ 1，0） ，则弦 PQ中点的轨迹方程是3已知点P是双曲线12222byax上任一点，过P作x轴的垂线，垂足为Q ，则 PQ中点 M的轨迹方程是4在ABC中，已知)0, 2(),0,2(BA，且BCABAC、成等差数列，则 C点轨迹方程为课堂探究学案【学习目标】1了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题 2理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线

2、的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念3通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点4. 通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法. 5. 进一步理解数形结合的思想方法【学习重难点】学习重点： 熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等，并能灵活应用。学习难点 ：曲线方程的概念和求曲线方程的方法【学习过程】一、 新课分析解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

3、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - y y C 通过方程， 研究平面曲线的性质求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系. 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点， 也是同学们的一大难点. 解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程二、典型例题例 1设动直线l垂直于x轴，且与

4、椭圆4222yx交于BA、两点， P是l上满足1PBPA的点，求点P的轨迹方程。方法点拨： 用直接法： 若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标yx、的方程。经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹方程。其一般步骤为：建系设点列式代换化简检验。例 2如图，在ABCRt中，2),1 ,2() 1 ,2(,90ABCSBABAC、平方单位，动点P在曲线 E)1(y上运动，若曲线E过点 C且满足PBPA的值为常数。（1）求曲线 E的方程；（2）设直线l的斜率为 1，若直线l与曲线 E有两个不同的交点Q、R ，求线段 QR的中点 M 的轨迹方程。B x

5、 A B O x O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 方法点拨： 用圆锥曲线的定义求方程。如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线，抛物线的第一、二定义，则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。例 3如图所示，过椭圆E ：12322yx上任一点P，作右准线l的垂线 PH ，垂足为H。延长 PH到 Q，使 HQ=)0(PH（1）当 P点在 E上运动时，求点Q的轨迹 G的方程；（2）当取何值时， 轨迹 G是焦点在平行于

6、y轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一个椭圆E上，并写出椭圆的方程；（3）当取何值时，轨迹G是一个圆？判断这个圆与椭圆E的右准线l的位置关系。方法点拨： 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。求符合某种条件的动点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时需要对方程中的参数进行讨论，因为参数取值的变化会使方

7、程表示不同的曲线，会使其与其他曲线的位置关系不同，会引起另外某些变量取值范围的变化。例 4设椭圆方程为1422yx，过点)1 ,0(M的直线l交椭圆于点A、B，O 是坐标原点，点P满足),(21OBOAOP点 N的坐标为)21,21(，当l绕点 M旋转时，求：（1）动点 P的轨迹方程；（2）NP的最小值与最大值。方法点拨： 本题是运用参数法求的轨迹。当动点 P的坐标yx、之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t，并用t表示动点P 的坐标yx、，从而得到动点轨迹的参数方程)()(tgytfx，消去参数t，便可得到动点P 的轨迹普通方程。其中应注意方程的等价性，即由t的范围确定出yx、范围

8、。三、小结 : 求曲线方程的两类问题：一是动点变动的根本原因，二是动点变动的约束条件；求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等。课后题高与练习1. 若点 M （x,y ）满足22(3)(1)|3 | 0 xyxy，则点 M的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D抛物线 . 2. 点 M为抛物线2yx上的一个动点， 连结原点 O与动点 M ， 以 OM 为边作一个正方形MNPO ，则动点 P的轨迹方程为（）A.2yxB. 2yxC. 2yxD. 2xy3. 方程2222(6)(6)20 xyxy化简的结果是（）A.22110036xyB. 22110064xyC.22136100

9、 xy D. 22164100 xy4. 一动圆 M与两定圆222212: (4)1,: (4)9CxyCxy均外切，则动圆圆心M的轨迹方程是. 5. 抛物线24yx关于直线:2lyx对称的曲线方程是. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - . 椭圆与椭圆14)2(9)3(22yx关于直线0yx对称，椭圆的方程是（）A. 19)3(4)2(22yxB. 14)3(9)2(22yxC. 14)3(9)2(22yxD. 1

10、9)3(4)2(22yx. 下列四个命题：圆22(2)(1)1xy关于点 A(1，2) 对称的曲线方程是22(3)(3)1xy；以点（ 2， 3）和点（ 2，1）为焦点的椭圆方程可以是22(2)(1)11014xy；顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点( 4， 3) 的抛物线方程只能是294yx；双曲线221169xy右支上一点P到左准线的距离为18， 则 P点到右焦点的距离为292；以上正确的命题是. （将正确命题的序号都填上）8. 设曲线 C：222yxx和直线:lykx. 记l与 C的两个交点为A、B ，求线段 AB中点的轨迹方程；若线段AB上的点 Q满足211OQOAOB，求点 Q的轨迹方

11、程；在点Q的轨迹上是否存在点Q0，使得经过曲线C 的焦点的弦被点Q0平分？证明你的结论. 答案： 1、C；2、C；3、B；4、)1(11522xyx解析：应用圆锥曲线的定义，注意只有一支. 5、2(2)4(2)xy；、注意焦点所在位置的变化。7、；8、略解：（1）设 AB 中点 M( ,)x y，联立方程组得：222(1)220kykyk，则21,11kyxkk，消云 k 得22xyx，注意到 0，212k，得2xAB 中点的轨迹方程是2211()(2)24xyx. （2）点 Q 的轨迹方程是2,( 22)xy，是一条线段（无端点）. （3）曲线 C 的焦点 F(1, 2)，设过 F 的直线方

12、程为(1)2ym x，与曲线C 的方程联立，得弦的中点的横坐标为2021221mmxm,解得262m. 当262m时，弦的中点的纵坐标0( 2,2)y；当262m时，弦的中点的纵坐标0( 2,2)y.综上，存在点00,2 yQ，使得经过曲线C 的焦点的弦被点Q0平分 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 求曲线的方程【教学目标】1了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题 2理解曲线的方程、方程的曲线的

13、概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念3通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点4. 通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法. 5. 进一步理解数形结合的思想方法【教学重难点】教学重点： 熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等，并能灵活应用。教学难点 ：曲线方程的概念和求曲线方程的方法【教学过程】一、课前预习1到顶点)0 ,5(F和定直线516x的距离之比为45的动点的轨迹方程是2直线l与椭圆1422yx交于 P、Q两点，已知l过定点（ 1，0） ，则弦

14、 PQ中点的轨迹方程是3已知点P是双曲线12222byax上任一点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，则 PQ中点 M的轨迹方程是4在ABC中，已知)0 ,2(),0, 2(BA，且BCABAC、成等差数列，则C 点轨迹方程为答案：1191622yx（提示：设动点),(yx，则191645516) 5(2222yxxyx。 ） ；20422yxx； 3142222byax（提示：设),(yxM，则).2,(yxP将)2,(yxP代入双曲线方程得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

15、 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - y l y C 141222222222byaxbyax。 ） ；4)0(1121622yyx（提示：CBCACAB,2到 AB 的距离之和为8。 ）二、新课分析解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一. 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化” 将其转化为寻求变量间的关系. 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这

16、类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点. 解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程三、典型例题例 1设动直线l垂直于x轴，且与椭圆4222yx交于BA、两点， P是l上满足1PBPA的点，求点P的轨迹方程。方法点拨： 用直接法： 若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标yx、的方程。经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹方程。其一般步骤为：建系设点列式代换化简检验。例 2如图，在ABCRt中，2),1 ,2()1 ,2(,90ABCSBABAC、平方单位，动点P在曲线 E)1(y上运动，若曲线E过点 C且满足PBP

17、A的值为常数。（1）求曲线 E的方程；（2）设直线l的斜率为 1，若直线l与曲线 E有两个不同的交点Q、R ，求线段 QR的中点 M的轨迹方程。方法点拨：用圆锥曲线的定义求方程。如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线，抛物线的第一、二定义，则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。例 3如图所示，过椭圆E：12322yx上任一点P，作右准线l的垂 线 PH ，垂足为B x A A B O x O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - -

18、 - - - y H。延长 PH到 Q，使 HQ=)0(PH（1）当 P点在 E上运动时，求点Q的轨迹 G的方程；（2）当取何值时，轨迹G是焦点在平行于y轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一个椭圆E上，并写出椭圆的方程；（3）当取何值时，轨迹G是一个圆？判断这个圆与椭圆E的右准线l的位置关系。方法点拨：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。求符合某种条件的动点的轨迹方程， 其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化” 将其转化为变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时需要对方程中的参数进行讨论，因为参数取值的变化会使方程表示不同的曲线，会使其与其他曲线的位置关系不同，会引起另外某

19、些变量取值范围的变化。例 4设椭圆方程为1422yx，过点)1 ,0(M的直线l交椭圆于点A、B，O 是坐标原点，点P满足),(21OBOAOP点 N的坐标为)21,21(，当l绕点 M旋转时，求：（1）动点 P的轨迹方程；（2）NP的最小值与最大值。方法点拨： 本题是运用参数法求的轨迹。当动点 P的坐标yx、之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t，并用t表示动点P 的坐标yx、，从而得到动点轨迹的参数方程)()(tgytfx，消去参数t，便可得到动点P 的轨迹普通方程。其中应注意方程的等价性，即由t的范围确定出yx、范围。四、小结：求曲线方程的两类问题：一是动点变动的根本原因，二是动点变动的约束条件；求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等。P Q H l x O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -