2022年对数与对数运算知识点及例题解析 .pdf

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1、对数与对数运算知识点及例题解析1、对数的定义若(0,1)xaN aa且，则x叫做以a为底 N 的对数，记作logaxN，其中a叫做底数， N 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaN aaN2、以 10为底的对数叫做常用对数,log10N记作 lgN . 3、以无理数 e=2.718 28 为底的对数称为自然对数，logeN 记作 lnN4、对数的性质 : (1) log 10,log1aaa(2) 对数恒等式 alogaNN；logaaNN(a0，且 a1)5、对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么加法： logloglog ()aaaMNMN减

2、法：logloglogaaaMMNN数乘：loglog()naanMMnRlogamMnnmlogaM.换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且特殊情形： logab1logba，推广 logab logbc logcdlogad.类型一、指数式与对数式互化及其应用例 1、将下列指数式与对数式互化：（1）；(2)； (3)； (4)；(5)；(6).思路点拨： 运用对数的定义进行互化. 解： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 例 2、求下列各式中x 的值：(1) (2) (3)lg100=x (4)思路点拨： 将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.

3、解： (1)；(2)；(3)10 x=100=102，于是 x=2；(4) 由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 例 3、若 xlog43，则(2x2x)2等于() A.94B.54C.103D.43解由 xlog43，得 4x3，即 2x3，2x33，所以 (2x2x)22 33243. 类型二、利用对数恒等式化简求值例 4、求值：解：. 总结升华： 对数恒等式中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为

4、真数例 5、求的值 (a ， b，cR+，且不等于1，N0) 思路点拨： 将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：. 类型三、积、商、幂的对数例 6、已知 lg2=a ，lg3=b ，用 a、b 表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解： (1) 原式=lg32=2lg3=2b （2）原式 =lg26=6lg2=6a （3）原式 =lg2+lg3=a+b （4）原式 =lg22+lg3=2a+b （5）原式 =1-lg2=1-a （6）原式 =lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 例 7、(1)(2)l

5、g2 lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2lg50+(lg2)2解：(1)(2) 原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3) 原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.例 8、已知 3a=5b=c，求 c 的值.解：由 3a=c 得：同理可得.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

6、- - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 例 9、设 a、b、c 为正数，且满足a2+b2=c2. 求证：.证明：.例10、已知： a2+b2=7ab，a0，b0. 求证：.证明： a2+b2=7ab， a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab， lg(a+b)2=lg(9ab) ， a0，b0， 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb 即.类型四、换底公式的运用例11、(1) 已知 logxy=a， 用 a 表示；(2) 已知 logax=m ， logbx=n， logcx=p， 求 loga

7、bcx.解： (1) 原式 =；(2) 思路点拨： 将条件和结论中的底化为同底.方法一：am=x， bn=x， cp=x ，；方法二：. 例 12、求值： (1)；(2)；(3).解：(1)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - （2）；（3) 法一：法二：. 总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0 不为 1 任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10 为底的常用对数也可.类型五

8、、对数运算法则的应用例 13、求值(1) log89log2732 (2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解： (1) 原式 =. (2) 原式 =(3) 原式 =(4) 原式 =(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)例 14、已知： log23=a， log37=b，求： log4256=?解：，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -