2022年平行线等分线段定理 .pdf

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1、篇一： 1 平行线等分线段定理平行线等分线段定理【知识点精析】 1 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。理解这个定理要注意的是： （ 1）必须有一组平行线存在，平行线至少有三条； （2）在某一条直线上截得的线段相等。满足上述两个条件，才能保证这组平行线在其他直线上截得的线段相等 2 平行线等分线段定理的几个基本图形平行线等分线段定理的几个基本图形如图所示，若已知l1 l2 l3 ，ab = bc ，根据定理可直接得到a1b1 = b1c1即被平行线组所截的两条直线的相对位置，不影响定理的结论3定理的两个推论推论1 经过梯形一腰的中点与底

2、平行的直线，必平分另一腰推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行直线必平分第三边 4 应用平行线等分线段定理，可以等分任意一条线段【例题】 1如图，直线l1l2 l3 ，ab = bc 求证： a1b1 = b1c1 a1 l1 b1 l2 l3 2 已 知 ： 线 段ab求作：线段ab 的五等分点a b 3如图，直角梯形abcd 中， adbc， abbc，m是 cd 的中点求证：ma = mb4 如图， 在 abc 中，ad 是 bc 边上的中线， m是 ad 的中点， bm的延长线交ac 于 n 求证：an = 1cn 2 思考题：如图，梯形abcd 中， adbc，dcbc， b =

3、60， ab = bc，e 为 ab 的中点求证： ecd 为等边三角形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 【练习与作业】一、填空题 1abc 中，c = 90， d 为 ab 的中点， debc 交 bc 于 e，则 ceeb 2已知三条直线abcd ef ，它们之间的距离分别是2cm，作一直线mn分别与三条平行线交于30角， 且与ab、cd、 ef 分别交于m 、n、p，则 mn = cm，np = cm 3如

4、图， f是 ab的中点， fg bc，eg cd，则 ag = ae = 4如图，l1 l2l3 l4 l5 ，a1b1 = b1c1 = c1d1 = d1e1，则 a2b2 = = = ，a2c2 = = 5直角梯形abcd中， ad bc， a = 90 ， ef 是 ab 的垂直平分线交ab 于 e， cd 于 f ，则 df = 6如图，已知abcdef ，af 、be 交于 o，若 ao = od = df，be = 10cm ，则 bo = 7如图，已知adef bc，e 是 ab 中点，则 dg = h是 f 是中点 8如图，已知ce是 abc 的中线， cd = 若 cd =

5、 5cm，则 af = cm 9如图，在ad 两旁作 abcd，a1、 a2 为 ab 的两个三等分点，c1、c2 为 cd 的两个三等分点，连a1c、a2c1、bc2，则把 ad 分成四条线段的长度（填相等或不相等） 第 3 题 第 4 题 第 6 题 第 7 题第 8 题 第 9 题 1ad， ef bd， egac，若 ef = 10cm ，则 bg = cm，2 二、选择题 10下列用平行线等分线段的图形中，错误的是（）c d a b 11右图， abcdef ，且 ao = od = df，oe = 6 ，则 be = （） a 9 b 10 c11 d12 12ad 是 abc 的

6、高， dc = bc于 f ，则fc =（） a1bd，m ，n 在 ab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 上，且 am = mn = nb ，me bc 于 e，nf 32bd 3 c 2bc 3 b 3bc 4 d3bd 4 1ac 3三、解答题 13 abc 中， ab = ac ，adbc，p 是 ad 中点，延长bp 交 ac 于点 n求证： an = 14如图， m 、n 分别是 yabcd 中 ab

7、、cd 的中点求证：be = ef = fd15如图 abc 中， ch 是 acb 的平分线， adch 于 d，debc 交 ab 于 e求证： ae = eb 16如图，等腰直角 abc，acb = 90，ce = cd，ef bd 交 ab 于 f ，cgbd 交 ab 于 g 求证： ag = gf17如图， abc 中， ad、bf 为中线， ad、bf 交于 g，cefb 交 ad 延长线于 e 求证： ag = 2de18如图， abcd 为梯形， abdc， adbe 是平行四边形，ab 交 ec 于 f 求证： ef = fc19已知 abc 中， adbc 于 d，e 为

8、 ab 中点， ef bc 于 f ，且 dc = a ，bd = 8a 求 fc的长篇二： 平行线等分线段定理教学设计平行线等分线段定理教学设计执教李裕达【教学内容】人教版初中几何第二册4.9 平行线等分线段定理（课本p176 p178） 【教学目标】 1识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形； 2 能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算； 3培养学生化归的思想、运动联系的观点。【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用【教学难点】平行线等分线段定理的证明【教学方法】引导探究发现法【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、

9、实物投影仪、自制课件等【教学设计】一、实际问题，导入新课 1问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？ 2折法：（教师演示，学生动手）先将矩形（ abcd）纸对折，得折痕 mn（如图 1） ；再把 b 点叠在折痕 mn上， n 得到 rt bep（如图 2） ； n 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 最后沿ep 折叠，便可得到 b c f b c （如图 1）等边 bef （如图 2） 。（如

10、图 2） 3 导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。二、复习引导，发现定理 1复习提问（1） 你能用尺规作图将一条线段2 等分吗？ 4 等分呢？你还会将一条线段几等分？（2）你能用尺规作图将一条线段3 等分吗？能否将一条线段任意等分呢？师：为了回答第2 个问题， 让我们先来做一个实验。 2操作实验请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验：（1） 画一条与这组平行线垂直的直线l1 ，则直线l1 被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？（2）任意画一条与这组平行线相交的直线l2 ， 量一量直线l2 被这组平行线截得的线段

11、是否相等。 3 引导猜想引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。 4验证猜想教师用 几何画板验证同学们刚才做实验得出的结论（猜想）。三、归纳探究，证明定理 1归纳： 如果以 3条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1 写出“已知”和“求证”吗？已知：直线a / b / c，ab = bc （如图 1）求证： ab = bc 。 2探究： （1）不添加辅助线能直接证明吗？（2）四边形acca 是什么四边形？（3）在梯形中常作什么样的辅助线？ 3 证明：根据学生提供的证

12、明方法，完成证明。证法一：（略）参见课本p176 的证法。证法二：过 a、 b 点作 ac 的平行线，分别交直线b、c 于 d、e（如图 2） 。 （以下证明略）注 1 结论与直线ac 的位置无关； c c 注 2 对于 3 条以上的平行线组，可用同样的方法证明（说明证法二更具一般性）。 4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上

13、截得的线段也相等。推理形式：a / b / c，ab = bc ，ab = bc 。四、图形变式，引出推论 1隐线变式， 得推论 1 在图 1 中，隐藏直线 a、b、c，得梯形acca（如图 3） 。这时定理的条件、结论各是什么？条件：在梯形acca 中， ab=bc，aa / bb / cc。结论： ab = bc 。推论 1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。 c c c （图3）（图 4）（图 5）（图 6） 2运动变式，得推论2 既然定理的结论与被截直线的位置无关，将直线 ac 平行向左移动， 得到变式图形4。这时定理在acc 中的条件、结论各是什么？条件： 在 acc

14、 中，bb /cc，ab=bc。结论： ab = bc 。 推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。 3 变换图形，深化理解如果将直线ac 继续向左平行移动（如图5、 6） ，这时定理的条件、结论有什么变化？五、运用新知，解决问题 1应用定理， 等分线段 b （1）已知线段 ab，你能它三等分吗？依据是什么？（图7）已知：线段ab（如图 7） 。求作：线段ab 的三等分点。作法： （略。见图 8）（师生同步完成作图过程）注作图题虽不要求写作法，但最后的结论一定要写出。（2） 你还能将已知线段几等分呢？能任意等分吗？（图8） 2应用推论，分解图形例 1 已知：如图 9，在

15、abcd 中， m 、n 分别是 ab、cd 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - cm、am分别交 bd 于 e、f 。求证： be = ef = fd。 c b 分析： （1）根据条件，你能得到哪些平行线？（图 9）（2） 在图 9 中，有哪些与推论有关的基本图形？证明：（略。过程由学生自己完成）例 2已知：如图10， abcd 的对角线ac、bd 交于点 o，过点 a、b、 c、d、o 分别作直线a 的垂线，垂

16、足分别为 a、b、c、d、o。求证： ad = bc 。分析： （1）你能在图 10 中找到几个与推论有关的基本图形？（图 10）（2） 在直线 a 上，有哪些线段是相等的？根据是什么？证明：（略。过程由学生自己完成）思考：若去掉条件“ac、bd 交于点 o” ，结论是否成立？ 3 你能运用今天所学知识，解决本课开始提出的“折等边三角形”问题吗？六、课堂小结，提炼升华 1理解一个定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。 2 掌握两个推论推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。推论 2：经过三角形一边的中点，

17、与另一边平行的直线必平分第三边。 3 了解三种思想化归思想定理证明是通过作辅助线，将问题转化为平行四边形和三角形全等的知识解决；两个例题也是将问题转化为两种基本图形来解决。运动思想两个推论是通过定理图形运动到特殊位置得到的，因此推论是定理的特殊表现形式。辩证思想定理是由特殊（三条平行线）推广到一般；应用定理则是将一般情况运用到特殊（具体）问题之中。七、达标检测，回授效果 1 已知：如图 11，在梯形 abcd 中， ab/cd ，e 是 cd 的中点， ef/bc交 ab 于 f ，fg/ bd交 ad 于 g。求证： ag = dg 。 2如图12，在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

18、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - abc 中， d 是 ab 的中点， de/bc交 ac 于 e，（图 11） ef/ab交 bc 于 f 。（1）求证： bf=cf ；（2）图中与de 相等的线段有；（3）图中与ef 相等的线段有；（4）若连结df ，则 df 与 ac 的位置关系是，数量关系是。 （图 12）八、课后作业，巩固新知 1求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。 2 已知：如图 13，ad 是 abc 的中线， e 是 ad

19、 的中点， ae的延长线交ac 于 f。求证： fc = 2af。（图 13）附：板书设计一、动手操作二、例题研究例 1已知：线段ab（如图）。求作：线段ab 的三等分点。 cm、am 分别交bd于 e、f 。求证： be = ef = fd。例3已知：如图，abcd 的对角线ac、bd 交于点 o，过点 a、b、c、d、o 分别作直线 a 的垂线，垂足分别为a、b、c、d、 o。求证： ad = bc 。 a b c 例 2已知：如图，在 abcd 中， m 、n 分别是 ab、cd 的中点，篇三： 5. 平行线等分线段定理及推论平行线等分线段定理、中位线定理及推论 1、 平行线等分线段定理

20、：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 根据被截的两条直名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1- 图 5）: 推论 1： 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：在梯形 acfd 中，求证：de=ef 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 已知：在 acf 中，be/cf，ab=bc 求证：ae=e

21、f 4、 和梯形中点有关的辅助线的作法：3、中点四边形（1） 中点四边形的定义如图， e、f 、 g、h分别是四边形abcd 的各边的中点，则称四边形efgh 叫做四边形abcd 的中点四边形。ad/cf， ab=bc （2）结论： 任意四边形的中点四边形是：平行四边形的中点四边形是：矩形的中点四边形是：菱形的中点四边形是：正方形的中点四边形是：梯形的中点四边形是：等腰梯形的中点四边形是：2、三角形的中位线定理三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。已知：如图，d、e分别为 ab、ac 的中点总结：决定中

22、点四边形形状的主要因素是四边形对角线的长度和位置。规律：（1） 若四边形对角线互相垂直，则它的中点四边形为矩形；（2）若四边形对角线相等，则它的中点四边形为菱形；（3）若四边形对角线相等且互相垂直，则它的中点四边形为正方形； 4 、例题与练习（1） 如图，在直角梯形 abcd 中， c=90， adbc，ad+bc=ab，e 是 cd 的中点，且ad=2，bc=8, 求 be 的长度 . 1 1求证： de/bc ，de?bc 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8

23、页，共 11 页 - - - - - - - - - 3、梯形的中位线定理梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。已知：梯形abcd中， ad/bc ，e、 f 分别是 ab、 cd 的中点求证： ef/ad/bc，ef?1(ad?bc) 2 . （2） 如图，梯形abcd 中， ab dc，m是腰 bc 的中点， mn ad 于 n。求证：梯形abcd 的面积等于 mn?ad. （3） 如图，直角梯形 abcd 中， dcab， a 为直角， ef 是中位线，且ceeb，egbc. 求证： （1） cdecge.(

24、2)当 abc=60时， ab2?ae2?3ef2. （4）如图， abc 中， ab>ac ， ae 平分 bac，ce ae，g 为 bc 边上的中点，求证：eg? （5）如图，梯形abcd 中， adbc， g、h 分别是对角线ac、bd 的中点。求证：gh ad， gh?1(bc? ad) 2 （6） 已知： 如图，梯形 abcd 中，abcd,e 、f 、m 、n 分别是 cd、ab、ad、bc 的中点， ef=mn.求证 bdme. （7）已知：如图，分别以bm 、cm为边，向 bmc形外做等边三角形abm 、cdm，e、f 、 g、h分别为 ab、bc、cd、da 中点。

25、(1)猜 测 四 边 形efgh 的形状，并证明你的猜想； (2)bmc形状的改变是否对上述结论有影响。（8）已知：如图，分别以 ab、ac 为边向 abc 形外作正方形abde、正方形acgf ，m 、n、p、q 分别是 ef 、bc、eb、fc 的中点。 (1) 猜 测 四 边 形mpnq的形状， 试证明你猜想的结论。 (2) abc 形状的改变是否对上述结论有影响，请说明理由。1 (ab?ac). 2 2 篇四：平行线分线段成比例定理教案27.2.1平行线分线段成比例定理名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师

26、精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 教学目标知识技能：在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的性质与判定定理，并会灵活应用. 会作已知线段成已知比的作图题. 数学思考：平行线分线段成比例定理的正确性的说明. 解决问题：通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力. 情感态度：通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美. 教学重点: 定理的应用 . 教学难点 : 定理的推导证明. 教学过程设计：活动一 . 创设情景

27、 ,引入新课问题：一组等距离的平行线截直线a 所得的线段相等，那么在直线b 上所截的线段有什么关系呢？（请同学们观看课件中的验证过程）引导学生回答后教师作如下总结：一组等距离的平行线在直线a 所截得的线段相等，那么在直线b 上所截得的线段也相等 . 这就是我们前面所学的平行线等分线段定理，他讨论的是平行线截直线相等的情况，那么如果截的线段不相等呢？这就是我们今天要学习的内容：平行线分线段成比例定理. 活动二 .分析探索 , 新知学习 1.三 条 平 行 直 线l1/l2/l3截直线 ae 上的线段ac、ce 长度之间（除相等外）存在着什么关系呢？同样截直线 bf 上的线段bd、df 长度之间存

28、在着什么关系呢？板书：由l1/l2/l3可得： 2. 彷上分析得：板书：由l1/l2/l3可得： acce ?35 acce ?23 ； bddf ? 23 所以： acce ? bddf ? 23 ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - bddf ? 35 所以： acce ? bddf ? 35 3. 引导学生初步总结出平行线分线段成比例定理，然后师生共同归纳得出定理并板书定理. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -