2022年重积分的应用 .pdf

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1、第九章 (二) 重积分的应用重积分的应用十分广泛。尤其是在几何和物理两方面。几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积； 利用三重积分求立体体积。 物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。在研究生入学考试中，该内容是高等数学一和高等数学二的考试内容。通过这一章节的学习，我们认为应达到如下要求：1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。一、知识网络图求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图

2、形面积几何应用重积分的应用二、典型错误分析例1 求如下平面区域 D 的面积， 其中 D 由直线xyx,2及曲线1xy所围成。如图：y 1xy（ 2，2）)21, 2(O 1 2 x 错解89)2(2212221dyydxdydSyD 分析 平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。 问题在于区域 D，若先按 x 积分，再按 y 积分，则应注意到区域D 因此划分为两个部分，在这两个部分， x、y 的积分限并不相同，因此此题若先积x, 后积 y，则应分两部分分别积分，再相加。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

3、 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 正确解 2ln2322112121yyDdxdydxdydS例 2.设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线2上一段弧)20(与直线2所围成，它的面密度为22),(yxyx，求该薄片的质量。 错解 24023420320220drdrrddMD 分析 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。注意到积分区域的边界有圆弧，而被积函数为22),(yxyx，因此积分的计算采用极坐标系算，这一点也是正确的。 问题在于在直角坐标转化为极坐标时， dxdy应由rdrd来代替

4、，解题过程中缺少了一项r 。导致计算结果错误。因此 r 务必不能遗漏。 正确解 40024520420220drrdrrddMD例 3. 计算以 xoy 面上的圆周122yx围成的区域为底，而以曲面22yxz为顶的曲顶柱体的体积。 错解 222201111yxyyDdzdxdydVV 分析 如按此思路求解， 即使接下去采用极坐标变换法，计算量仍然相当大， 极易导致计算错误。 该解法的不当之处在于没有注意到底和面都具有对称性，可利用对称性减少计算量。 正确解 24)(1022012222rdrrddxdyyxdVVyxD例 4.求锥面22yxz被柱面xz22所割下部分的曲面面积。 错解 锥面22

5、yxz被柱面xz22所割下部分的曲面在xoy 面上的投影区域为xyx222，因此cos20202rdrddxdySD202cos4d 分析 求曲面的面积，应首先确定曲面在坐标面上的投影区域，这一点是正确的。但解法中忽略了求曲面积分在dxdy前应有一因子221yzxz。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 正确解 锥面22yxz被柱面xz22所割下部分的曲面在xoy 面上的投影区域为xyx222。而2112222222

6、2yxyyxxyzxz。因此cos2020222rdrddxdySD2cos24202d例 5设薄片所占的闭区域D 为半椭圆区域：0; 12222ybyax，求均匀薄片的重心),(yx。 错解 ：2abM，022022dxxaxabdyxdxxdxdyMxaabaaaaDx所以0MMyx。又因232abydxdyMDy，所以34bMMxy。 分析 重心的计算公式为;MMyx34bMMxy，但DxydxdyM，而DyxdxdyM。此类公式容易混淆。 正确解 如图，y O x 由于是均匀薄片， D 为半椭圆区域具有对称性，因此0 x。而220 xaabaaDxydydxydxdyM232ab，2a

7、bM， 所 以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - ababMMyx232234b，所以)34,0(),(byx。三、综合题型分析例 6.求由下列曲线所围成的闭区域D 的面积：D 由曲线33334,4,yxyxxyxy所围成的第一象限内的闭区域。 分析 试着画草图发现区域D的形状不容易确定。 但若注意到四条曲线方程可变形为4, 1,4, 13333yxyxxyxy。由此想到可令vyxuxy33,，从而将不规则区域 D

8、 化成一个方形区域。 解 令vyxuxy33,，则区域 D 化为：41 , 41vu。83818183,vuyvux，232381),(),(vuvuyxJ。818181414123232323dvvduuvdudvudAD 方法小结 对于不规则图形， 欲求其面积， 可注意其方程是否有规律性，从中寻求适当的变量替换，将不规则图形转化为规则图形，以简化计算。例 7. 求平面1czbyax被三坐标面所割出的有限部分的面积。 分 析 根 据 曲 面 面 积 计 算 公 式 ：xyDdxdyyzxzA22)()(1， 平 面1czbyax在 xoy 面上的投影为1byax，即以 a,b 为直角边的直角

9、三角形。如图：zO b y a x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 解 平面1czbyax可表示为ybcxaccz。故bcyzacxz,，221yzxz=222222222211acabbaabbcac。DdxdyyzxzA22)()(1Ddxdyacabbaab2222221=22222222222221211accbbaabacabbaab 方法小结 根据曲面面积计算公式：xyDdxdyyzxzA22)()

10、(1。首先须将曲面方程化成),(yxfz的形式。并求出曲面在坐标面上的投影区域。本题的特点在于因子221yzxz为一常数。因此问题就转化为计算投影区域的面积。而本题的投影区域恰好为一三角形。故可直接求出其面积。例8 计算 由四 个平 面1, 1,0,0yxyx所围 成 的 柱体 被平 面0z及632zyx截得的立体的体积。 分 析 首 先要 画出 题 设的 柱体 。为 此先 考察 柱体 在 xoy 面 上 的 投 影 ：10 , 10yx。因为柱体被平面632zyx所截，其在投影正方形四个顶点上的高分别为6，3，1，4，连接相应的交线，即得所求立体的草图。z 1 2 y 1 3 x 解 名师资

11、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 27229012326)326(1012101032601010dxxdxyxyydyyxdxdzdydxdVVoyxD 方法小结 求立体图形的体积 , 关键在于正确地画出图形. 为此须了解各类常见空间几何体 ( 如平面、直线、二次曲面等 ) 的方程和形状。 并能绘出各类几何体的交点或交线。从而确定所求几何体的形状。例9 求 由 平 面1,0,0yxyx所 围 成 的 柱 体 被 平

12、面0z及 抛 物 面zyx622截得的立体的体积。 分析 求立体的体积， 首先需画出草图。 注意到抛物面zyx622开口向下，因此截柱体所得立体以zyx622为顶，以平面0z为底。而在 xoy 面上的投影区域为一三角形区域, 由1, 0,0yxyx所围成。z 6 O 1 y 1 x 解 617)1(316601316)6(1033213210221060101022dxxxxxdxxyyxydyyxdxdzdydxdVVoxyxxD 方法小结 若所求立体为柱体被其他曲面所截得，则只需确定其顶部曲面方程和底部曲面方程。 即得 z 的积分区域。 而 x,y 的积分区域则可根据顶部在xoy 面上的投

13、影而定。例 10.利用三重积分计算下列曲面： 球面)0( ,2222aazzyx及222zyx所围成的立体的体积。 分析 所求立体的上部为球面，下部为圆锥面，在在xoy 面上的投影区域为圆。因此不难化成三重积分。 但注意到所涉及的曲面方程， 用球面坐标计算会更为方便。所求立体如图所示 : z 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - a O y x 解 用球面坐标，立体区域为cos204020:ar34033334340

14、cos2024020coscos316cossin3820cos23sin2sinadadadardrrdddVVoa 方法小结 若所求立体为球面、 圆锥曲面等所围成， 投影区域为圆域， 则采用球面坐标计算更为方便。例 11设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a,各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方。求该薄片的重心。y a x+y=a (yx,) O a x 分析 由于面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，即22),(yxyx。由对称性可知：重心（yx,）满足：yx。套用重心公式，即可求得。 解 4303202200061)(31)(),(adxxaxaxdyyxdxdyyxdxMaxax

15、aaaaxaDydyyxxdxxdxdyyxM0022)(),(53032151)(31adxxaxaxxa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 从而薄片的重心坐标为：aaaMMyxy526115145。 所以薄片的重心为)52,52(aa。 方法小结 求重心有固定的公式：DDydxdydxdyxMMx，DDxdxdydxdyyMMy当面密度函数关于x,y 对称，而区域 D 也为对称图形时，可得yx，从而减计算量。例

16、 12求位于两圆 r = 2sin 和 r = 4sin 之间的均匀薄片的重心 分析 y D O x 如图所示 : 均匀薄片 D对称于 y 轴, 重心（yx,）必位于 y 轴上, 所以0 x, 只需计算 y. 根据题设，用极坐标计算会比较方便。 解 不妨设密度为 1，因为闭区域 D对称于 y 轴，所以重心（yx,）必位于 y 轴上，于是0 x。再按公式DDxdxdyydxdyMMy计算 y ， 由于闭区域 D位于半径为 1 与半径为 2 的两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即A = 3。再利用极坐标计算积分：7sinsinsin4sin2202drrddrdrydxdyDD，所以3

17、737DDxdxdyydxdyMMy。所以重心为（37, 0）。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 方法小结 求重心有固定的公式：DDydxdydxdyxMMx，DDxdxdydxdyyMMy，如果物体为均匀薄片，可设密度为1，从而进一步简化计算。而题中薄片面积的计算也比较巧妙。例 13求均匀半球体的重心。 分析 为使物体关于坐标系具有对称性，可取半球体的对称轴为z轴，原点取在球心上，这样半球体的重心就位于z 轴上

18、，从而重心只需算一个坐标分量。 解 取半球体的对称轴为z 轴，原点取在球心上，又设球半径为a，则半球体所占空间闭区域 可用不等式 x2+y2+z2a2， z0来表示。显然，重心在 z 轴上，故0yx。83sincos23sincos2311202003323adrrddaddrdrrazdvVdvzMza，因此重心为)83,0 ,0(a。 方法小结 求物体的重心 , 也可尽量使物体的位置关于坐标系具有对称性, 从而达到简化计算的目的。 而该题中由于物体为半球体， 因此用球面坐标计算三重积分会更为方便。例 14. 在均匀半圆形薄片的直径上, 要接上一个一边与直径等长的均匀矩形薄片,为了使整个均匀

19、薄片的重心恰好落在圆心上, 问接上去的均匀薄片另一边的长度应是多少 ? 分析 设半圆形薄片的半径为R，所接矩形薄片的另一边长度为H （如下图） ,根据题意 , 均匀薄片的重心（yx,）满足：yx=0。从中可逆推出 H 值。y O R x -H 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 解设半圆形薄片的半径为R，所接矩形薄片的另一边长度为H。由题意，均匀薄片的重心（yx,）满足：0yx。而)32(2322RHRydydxy

20、dxdyMRRxRHDx, 又因0MMyx。所以得03223RHR。从中解得RH32。所以接上去的均匀薄片另一边的长度为R32时，其重心恰好落在圆心上。 方法小结 对于本题，选择一个合理的坐标系有助于我们解题。由于将圆心置于原点，从而使重心坐标（yx,）满足：0yx。从中可求得待定的边长。例 15设有一半径为R 的球体， P0是此球体的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比（比例常数k0） ，求球体的重心位置。 分析 恰当地选取坐标系可以简化计算，因此可选球心为原点，射线OP0为正x轴建立直角坐标系。 解 记所考虑的球体为，以的球心为原点O，射线 OP0为正 x 轴建

21、立直角坐标系，则点 P0的坐标为（ R，0，0） ，球面的方程为2222Rzyx，设的重心位置为),(zyx，dVzyRxkdVzyRxkxx)()(222222由对称性，得0y，0z，而dVRdVzyxdVzyRx2222222()(200552220153234sin8RRRdrrrdd，dVxRdVzyRxx22222)(6222158(32RdVzyxR4153215856RRkkRx所以的重心位置为0,0,4R。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共

22、17 页 - - - - - - - - - 方法小结 本题也可将定点 P0设为原点，球心为Q，射线 P0Q为正 z 轴建立直角坐标系，则球面的方程为Rzzyx2222，采用如上方法可求的重心位置为（0，0，5R/4） 。例 16已知均匀半球体的半径为a，在该球体的底圆的一旁拼接一个半径与球的半径相等， 材料相同的均匀圆柱体， 使圆柱体的底圆与半球的底圆重合，为了使拼接后的整个立体重心恰好是球心，问圆柱的高应为多少？ 分析 建立坐标系，使圆柱体与半球的底圆在XOY面上，圆柱体的中心轴为z轴。这样立体关于坐标系具有对称性，由题意知重心恰好为原点， 利用重心坐标计算公式可反解出圆柱的高。 解 如图

23、所示，设所求圆柱的高为H，半球和圆柱体分别为21,， z O y x 由题意知重心恰好为原点，故0zyx，于是)(11121zdvzdvVzdvVdvzMz而0)2(4sincos22200200322021aHazdzrdrddrrddzdvzdvHaa从中解得aH22。 方法小结 本题由于适当选取了坐标系，使重心坐标简化，而是否应用柱面坐标和球面坐标计算三重积分又是根据立体的特征而定。例 17 设均匀薄片，面密度为 1， 薄片所占区域为：12222byax， 求转动惯量yI。y b O a x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

24、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 分析一 由于区域 D为椭圆，中心位于原点。 因此具有对称性。 所以求转动惯量时，只须求41区域 D上的转动惯量。 解一dxxaxabdydxxdxdyxIaaxaabDy222000224422令2,0,0,cos,sinaxxdadxax，203202322420)4cos1(2)2(sincossin4dbadbadaabIybaba3340244sin2 分析二 解法一中的变量替换是比较常见的。考虑到区域 D是椭圆，可通过适当的变量替换，将椭圆区域化为圆，从而简化计

25、算。 解二 令sin,cosbryarx，则在此变换下， D：12222byax化为：20 ,10r。又abrryx),(),(。所以20103232222coscosdrrdbaabrdrdradxdyxIDyba34 方法小结 在遇到积分区域为对称图形时， 常利用对称性来简化计算。 而根据积分形式或积分区域采用适当的变量替换往往可以提高计算效率。对于特殊图形,例如椭圆12222byax,可令sin,cosbryarx,从而变换为圆1r。例 18.求由抛物线2xy及直线1y所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直线1y的转动惯量。 分 析 均 匀 薄 片 对 于x 轴 （ 其 方 程 为0y）

26、 的 转 动 惯 量 有 公 式DxdxdyyI2， 类 似 地 ， 对 于 直 线1y， 其 转 动 惯 量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - DydxdyyI21)1(。 解105368) 1(831)1(3) 1()1(311211231211212dxxdxxydyydxdxdyyIxDy 方法小结 当遇到求物体关于非坐标轴的转动惯量时，可根据物体关于坐标轴的转动惯量公式作平行推广。从而使重积分的应用更为

27、广泛。例 19. 求半径为 a 的均匀半圆薄片（面密度为常量 ） 对于其直径边的转动惯量。 分析 设薄片所占闭区域D可表示为0,222yayx， 而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量xI。 解设薄片所占闭区域D可表示为0,222yayx，则所求转动惯量即半圆薄片对于 x 轴的转动惯量xI。24030223241241sinsinMaadrrddrdrdxdyyIaDDx其中221aM为平面薄片的质量。 方法小结 求物体关于某一条边的转动惯量, 可将该边置于坐标轴上 , 尽量使物体的位置关于坐标系具有对称性, 从而达到简化计算的目的。例 20求高为 h，半顶角为4，密度为的正圆锥体绕对称轴

28、旋转的转动惯量。 分析 取对称轴为 z 轴，圆锥体顶点为原点， 则问题化为求物体关于坐标轴的转动惯量。可直接套用公式。 解取对称轴为 z 轴，圆锥体顶点为原点， 建立坐标系。 则所求转动惯量为zI。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 5022002210)(hrdrrddzdvyxIzhz。 方法小结 取转动轴为坐标轴，则问题化为求物体关于坐标轴的转动惯量。可直接套用公式。而柱面坐标的运用可进一步简化计算。例 2

29、1. 求均匀柱体：hzRyx0,222对于点 M（0,0,a）(ah)处的单位质量的质点的引力。 分析 根据柱体的对称性，及33,rydvGrxdvG分别是 x,y 的奇函数 ,易知yxFF ,均为零。因此只需计算zF 。 解由柱体的对称性，及33,rydvGrxdvG分别是 x,y 的奇函数 ,易知0,yxFF。而dvazyxazGdvrazGFz32223)(hRyxazyxdxdydzazG03222222)()()(2)()(22220032220ahRhaRGazrrdrddzazGhR 方法小结 从上题中可以看出， 匀质具有对称性的物体对某一质点的引力，可利用其对称性， 及被积函数

30、的奇偶性来简化计算。当遇到积分域为圆域时， 用极坐标计算更为简便。例 22在 xoy 面上有一质量为M 的匀质半圆形薄片，占有平面区域：0,222yRyx，的，过圆心 O 垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点 P，aOP，求半圆形薄片对质点P 的引力。 分析 根据引力计算公式，首先需求出匀质半圆形薄片的密度。由区 域 D 的对 称 性 知,0 xFzyFF ,的计算可套用公式。 解 由 已 知，令为 面 密 度 ，薄片 面 积221RS， 薄 片 质 量MS，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

31、 - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 22MR建 立 如 图 所 示 直 角 坐 标 系由 区 域 D 的 对 称 性 知Fx0DyayxydGmF23222RdrarrdRGm M02322202sin2RarrarrRG m M022222ln4422222G m MRRRaaRRalnD23222zayxdGmaFRarr d rdRG m M a023220221aRaRG m M2arard21RG m M2222R02322222zyxF,F,FF其 中22222yxaRRaaRRlnRGmM4F,0F1aRaRGmM2F222z)(

32、2)()(22220032220ahRhaRGazrrdrddzazGhR 方法小结 从上题中可以看出， 匀质具有对称性的物体对某一质点的引力，可利用其对称性来简化计算。当遇到积分域为圆域时，用极坐标计算更为简便。四、考研试题分析例 23.(1989 年高数一 ) 设半径为 R 的球面的球心在定球面)0(2222aazyx上,问当 R 取何值时,球面在定球面内部的那部分面积最大? 答案aR34.分析 球面在定球面内部的那部分面积属于曲面面积。欲求空间曲面面积，必须建立曲面方程0),(zyxF， 并且明确曲面在坐标面上的投影区域。 球面在定球面内部的那部分可视为球面与定球面相交而成，因此明确所求

33、曲面在xoy0 y x z D pa 222RyxR -R 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 坐标面上的投影区域，必须考察球面与定球面的交线。解答 设球面方程为：.)(2222Razyx两球面的交线在 xoy 面上的投影为0)4(4222222zRaaRyx设投影曲线所围平面区域为xyD，球面在定球面内部的那部分方程为：222yxRaz，这部分的面积为224202220222221)(RaaRDDyxdrrRr

34、RddxdyyxRRdxdyzzRSxyxy)20(,232aRaRRaRRSaRRRS64)(,34)(2。令034)(2aRRRS，得驻点aR34，又因为,04)34(aS所以当aR34时，球面在定球面内部的那部分面积最大。例 24.(2000 年高数一 ) 设有一半径为R 的球体，0P 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 的距离的平方成正比（比例常数k0） ，求球体的重心。答案 重心为)4,0 ,0(R。分析为了便于计算，首先需建立一个合适的坐标系。为此可将球心定为原点，而令),0 ,0(0Rp。利用球体的对称性，立即可得到0yx。从而只需算z。而z的计算也可以借助

35、于对称性得以简化。解答 将球心定为原点，而令),0 ,0(0Rp。则球面方程为2222Rzyx。密度函数为)(222Rzyxk。利用球体的对称性，得到0yx。而dvRzyxkdvRzyxkzz)()(222222，利用球体的对称性， 当被积函数为奇函数时，积分为零，故式中：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 522222221532)()(RdvRdvzyxdvRzyx，622221582)(RdvzRdvRzy

36、xz。故dvRzyxkdvRzyxkzz)()(222222=4R。所以重心为)4,0 ,0(R。例 25.(2005 年高数一 ) 设是由锥面22yxz与半球面222yxRz围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则zdxdyydzdxxdydz。答案3)221(2R分析本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可. 解答zdxdyydzdxxdydzdxdydz3=.)221(2sin33200402RdddR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -