2022年微积分计算公式 .pdf

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1、3-6 常用积分公式表 例题和点评dk xkxc(为常数 )11d (1)1xxxc特别 ，211dxcxx, 322d3xxxc, 1d2xxcx1dln |xxcxdlnxxaaxca, 特别，e dexxxcsindcosxxxccosdsinxxxc221dcscdcotsinxxxxcx221dsecdtancosxxxxcx221darcsin(0)xxc aaax,特别，21darcsin1xxcx2211darctan(0)xxc aaaax,特别，21darctan1xxcx2211dln(0)2axxc aaaxax或2211dln(0)2xaxc aaxaxatandln

2、 cosxxxccotdln sinxxxcln csccot1csc ddln tansin2xxcx xxxcxln sectan1sec ddln tancos24xxcx xxxcx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - (0)221daxxa22ln xxac2(0)2222darcsin22aaxxaxxaxca22dxax2(0)2222ln22axaxaxxac2222sincosesindesincos

3、ecosdeaxaxaxaxabxbbxbx xcabbbxabxbxxcab12222212123d()2(1)()2(1)nnnnxnxcaxnaaxna（ 递推公式）跟我做练习( 一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式)例 24 含根式2axbxc的积分2245d(2)1d(2)xxxxx 套用公式2221(2)1ln (2)(2)122xxxx22145d(24)445d2xxxxxxxx222145d(45)245d2xxxxxxx( 请你写出答案)2211dd(2)45(2)1xxxxx2ln (2)(2)1xx 套用公式221(24)4dd24545

4、xxxxxxxx2221d(45)12d24545xxxxxxx( 请你写出答案)22254d3(2) d(2)xxxxx222322arcsin3(2)232xxx 套用公式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 22154d(42 )454d2xxxxxxxx222154d(54)254d2xxxxxxx( 请你写出答案)222dd(2)543(2)xxxxx 套用公式2arcsin3x22(42 )4 dd1254

5、54xxx xxxxx2221d(54)d225454xxxxxxx( 请你写出答案)例 25 求原函数41d1xx.解因为)21)(21()2()1(2)21(1222222424xxxxxxxxxx所以令422112121AxBCxDxxxxx为待定常数）DCBA,(2222()(21)()(21)2121AxB xxCxDxxxxxx从恒等式1)12)()12)(22xxDxCxxBAx( 两端分子相等 ) ，可得方程组（三次项系数）（二次项系数）（一次项系数）常数项0022022)(1CADCBADCBADB解这个方程组 ( 在草纸上做 ) ，得21,221,21,221DCBA.因此

6、，41d1xx221111222 22 2dd2121xxxxxxxx右端的第一个积分为2222111(22)21(22)d11222ddd4214 221422121xxxxxxxxxxxxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 22221d(21)11d44 2212122xxxxxx( 套用积分公式 )211ln(21)arctan( 21)4 22 2xxx类似地，右端的第二个积分为22111122 2dl

7、n(21)arctan( 21)214 22 2xxxxxxx所以41d1xx2212111lnarctan( 21)arctan( 21)4 2212 22 2xxxxxx22212112lnarctan14 22122xxxxxx（见下注）【注】 根据tantantan()1tantan, 则22( 21)(21)2 22tan arctan( 21)arctan( 21)2(1)11( 21)( 21)xxxxxxxxxx因此 ,22arctan( 21)arctan( 21)arctan1xxxx例 26 求d(01)1cosxx. 关于d(01)1cosxx，见例 17解令tan2x

8、t( 半角替换 ) ，则2222222coscossin2cos111222sec1tan22xxxxxx2211tt22dd(2arctan )d1xttt于是，2222d12dd211cos1(1)(1)11xtttxttt22d111tt221arctan11tc2221arctantan211xc【点评】 求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化 . 这是因为从根本上说，函数( )yy x的导数或微分可以用一个“构造性 ”名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

9、- - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 的公式0()( )( )limhy xhy xy xh或d( )dyy xx确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法. 积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类. 譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数( 这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样). 有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如21esined ,d ,d ,dlnxxxxxxxxxx等都不能表示成初等函数. 因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多 . 我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分. 尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数. 因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -