2022年微积分复习题及答案文件 .pdf

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1、微积分练习题（下）一、单项选择题1、000tanlimxxxtdttdt（） ； A、1 B、 0 C、1 D、2 2、下列等式成立的是（） A、32sin0 xxdx B、1120 xe dxC、51lnln 5xdx D、11cos0 xxdx3、下列广义积分收敛的是（）A101(1)dxxx B.1011dxxxC.101(1)dxxx D.101(1)dxxx4、设222( ,)(0, 0)( ,),0( ,)(0, 0)x yx yfx yxyx y则(0, 0)xf为（） A、0 B、1 C、 D、不存在，非5、若222xyadxdy（）A、2 B、2a C、2a D、343a6、

2、二次积分1100(,)xdxfx y dy交换次序后是（） A、1100(,)dyfx y dx B、1100(,)xdyfx y dxC、1100(,)xdyfx y dx D、1100(,)ydyfx y dx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 7、已知级数1npnpn收敛，则（）A、01p B、01pC、01p D、01p8、已知正项级数1nna收敛，而1nnb发散，则下列级数必收敛的是（） A、1)(nnn

3、ba B、11)(nnnbb C、1nnna b D、12nna9、级数1sin2nnn（） A、发散 B、绝对收敛 C、条件收敛 D、以上皆不对10、幂级数11(1)nnnxn的收敛区域是（）A、)1 ,1( B、1 ,1( C、)1 ,1 D、1 ,11、下列等式正确的是（） ；A、2111112xxdx B、0cos xdxC、0sin xdx D、1021dxxxdxo12、baarctgxdxdxd（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 -

4、 - - - - - - - - A、arctgx B、211xC、arctgaarctgb D、 0 13、下列广义积分收敛的是（）Aedxxx ln1 B.edxxxlnC.edxxx2ln1 D.edxxx2ln14、设xyarctgyxu),(，22ln),(yxyxv，则下列等式成立的是（） A、xvxu B、yvxuC、xvyu D、yvyu15、若dxdyyxaD222，其中0,),(222aayxyxD，则a（）A、1 B、323 C、343 D、32116、二次积分102),(yydxyxfdy交换次序后是（） A、102),(xxdyyxfdx B、102),(yydyyx

5、fdxC、102),(xxdyyxfdx D、xxdyyxfdx210),(17、已知级数2)1(11nnna，5112nna，则级数1nna（）A、3 B、7 C、8 D、9 18、已知级数1nna收敛，而1nnb发散，则下列级数必收敛的是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - A、1)(nnnba B、11)(nnnbb C、11)(nnnaa D、12nna19、设常数0k，则级数12)1(nnnnk（） A

6、、发散 B、绝对收敛 C、条件收敛 D、收敛或发散与k的取值有关20、幂级数11)1(nnnnx的收敛区域是（）A、)1 , 1( B、1 , 1( C、)1,1 D 、1 , 1二、填空题1、2| |1xxedx。2、20sinxdt dtdx。3、函数12()(0)(1)xdtfxxtt的单调减区间是。4、302(1)dxxx。5、设(,)zz xy由方程33331xyzxyz确定，则(0, 0)xz。6、设yzx，则2zzxyxy。7、设()fx可微，0(,)( )xyFx yft dt，则2( ,)Fx yx y。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

7、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 8、级数20nxnen的收敛区间是。9、二重积分222211xyxy dxdy。10、65| | |1cossinxyxydxdy。11、201dxx=。12、设)(xf满足dxxfxxf10)(2)(, 则10)(dxxf。13、函数)0()12()(1xdttxFx的单调减区间是。14、200sinlimxtdtextx。15、设yxez2，则)1 ,1(dz。16、二元函数132),(23yxxyyxf的极大值点是。17、幂级数02)1(21n

8、nnxn的收敛半径是。18、设D为矩形区域：10 x，10y，则二重积分dxdyyeDxy。19、设nm,为正整数， D为122yx的平面区域，则Dnmdxdyyx12。20、函数2xe的马克劳林级数的前三项是。三、计算题1、设二元函数(,)zfxy是由方程0zexyz确定的，计算zzxyxy. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2、求广义积分10ln xdxx. 3、二重积分2()Dxy dxdy，其中D是由曲

9、线2yx，xy，所围成的区域。4、计算二重积分2222sin()xyxydxdy. 5、讨论级数12( 1)npnn（其中0p）的敛散性。6、将函数01()txefxdtt展开为 x 的幂级数 . 7、设二元函数),(uxfz可微 , 而 u 是由方程0),(uyxF确定的yx,的函数，其中),(uxf可微，),(uyxF有连续的偏导数，且0uF。求xz。8、求广义积分0dxex。9、二重积分Ddxdyyx，其中D是由直线xy2，xy，1x，2x所围成的区域。10、二重积分dxdyeDyx)(22，其中区域D:122yx。11、讨论级数111nnq（其中0q）的敛散性。12、将函数xxf21)

10、(展为 x 的幂级数。并计算1112)1(nnnn。四、应用题1、 设L是曲线21yx(0)x的过原点的切线， 平面图形D由曲线21yx，直线L及0 x所围成 .求图形D绕y轴旋转所成的旋转体的体积。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2、一曲线经过点（1，2）它的任意切线在两坐标轴之间的部分被切点所平分，求该曲线的方程.3、求曲线xyln与直线ex及0y所围成图形的面积，并求此图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积。五

11、、证明题1、设级数1nna收敛，级数1nnb绝对收敛，证明级数1nnna b绝对收敛 . 2、若)( xf是以T为周期的连续函数，则TTaadttfdttf0)()(。 （ a 为任意数）一、单项选择题1，二、填空题、2e， 、2sin x， 、(0,)，、3， 、，、，、()()fxyxyfxy、0,)，、23，、，、，、，、1(,)4、，、)1 ,1(dz)2(dydxe，、（，） ，、2、2e，、，、4212xx三、计算题、两边对x 求导，得0zxxz eyzxyz，解得xzyzzexy；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

12、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 同理求得yzxzzexy，zzxyxy0.、10ln xdxx102ln xdx110012ln2xxdxx104x4. 、2()Dxy dxdy2120()xxdxxy dy1324013()22xxxdx=760、2222sin()xyxydxdy=2200sindrr dr2012cos2r2、当1p时，2( 1)30nppnn而13pnn收敛，故12(1)npnn收敛；当1p时，2( 1)1nppnn，而11pnn发散，故12(1)npnn发散 . 、011()1!tn

13、netttn11!nntn积分，得101()!nxntfxdtn1!nnxn n、xu=uxFF，xz=uxuxFFuxfuxf),(),(、0dxex02dttettx0ttde00dtetett0te=1 、Ddxdyyx212 xxdyyxdx212lnxdx2ln23、dxdyeDyx)(22drdrerr1020220102rdredr)11(e、当1q时，111limnnq，故111nnq发散；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - -

14、- - - - - - - 当1q时，21q11limnn，故111nnq发散；当1q时，nnqq111，而1)1(nnq收敛，故111nnq收敛。因此，11111qqqnn发散收敛、2112121)(xxxf，由011nnxx（11x）得102212122121)(nnnnnnxxxxf又112221)2(1)(nnnnxxxf上式令1x得1122) 1(2131nnnn即912)1(111nnnn四、应用题、 方程为2yx，212(1)3yVydy2212(1)32y6、 设切点坐标为(,)xy，则切线的截矩为2, 2xy， 切线斜率为2002yyxx于是有方程dyydxx，分离变量：dy

15、dxyx，积分：dydxyx得1|nnna blnlnln,yxcxyc由初始条件得2c，所求曲线为2.xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 、 （1）所求面积exdxS1lnedxexx111ln1)1(ee（2）所求体积1022)(dyeeVyy012122yee)1(2122ee)1(22e所以，所求的最短距离22r。五、证明题、 因为1nna收敛，所以lim0nna，na有界，所以存在常数0M，使|naM

16、，| | |nnnnna babMb，而1nnb绝对收敛，所以1|nnMb收敛，于是1|nnna b收敛，即1nnna b绝对收敛 . 、TaTTaTaadttfdttfdttfdttf)()()()(00aTaTduTufTutdttf0)()(0)(aduufTTaadttfdttf0)()(微积分模拟试卷一单项选择题（每小题3 分，共 21 分）1dxx2224 = （）A、2 B 、4 C 、 D、212下列等式不成立是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10

17、 页，共 16 页 - - - - - - - - - A、babadttfdxxf)()( B、baabdttfdxxf)()(C、baxfdxxfdxd)()( D、badxxfdxd0)(3. 广义积分dxx211（）A B.2C.不存在 D.0 4设22),(yxyxyxf，则dz（） A、ydyxdx22 B、xdyydx22C、ydyxdx D、ydxydx5若0,),(222aayxyxD，且41dxdyD，则（）A、1 B、2 C、323 D、3436. 下列级数条件收敛的是（） A、1!1)1(nnn B、122)1(1)1(nn C、11)1(nnn D、121)1(nnn

18、7若级数1212)(nnnuu是收敛的，则（） A、1nnu必收敛 B、1nnu未必收敛 C、0limnnu D、1nnu必发散名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 二填空题（每小题3 分，共 24 分）8302dxx=。92022xydyedx=。103020sinlimxdttxx。11设yxez，则)0,0(dz。12二元函数132),(23xyyxyxf的极大值点是。13交换二次积分次序102),(yydx

19、yxfdy= 。14函数)( xf在),(内连续，且324)(3xdttfxa。则)(xf16级数)121(1nnn是级数。（填收敛或发散）三计算题（每小题5 分，共 30 分）17计算定积分202cosxdxx。18求广义积分0222 xxdx。19判断级数1nnen的敛散性20若z=21xyarctg，求yzxz,。21求二重积分dxdyxyD，其中D是抛物线xy2及直线2xy所围成的区域22求二重积分dxdyxD2，其中区域D:4122yx。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

20、- - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 23求幂级数011nnnx的收敛区间及和函数24将函数xxf31)(展为 x 的幂级数。四应用题25. （7 分）求抛物线xxy2与直线2,0 xy所围成的平面图形的面积，及该图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。26. （8 分）求函数333zxyxy的极值 . 微积分模拟试卷答案一单项选择题1dxx2224 = （ A ）A、2 B 、4 C 、 D、212下列等式不成立是（ D ） A、babadttfdxxf)()( B、baabdttfdxxf)()(C、baxfdxxfdxd)()( D、badxxfdxd0)

21、(3. 广义积分dxx211（ A ）A B.2 C. 不存在 D.0 4设22),(yxyxyxf，则),(yxdf（ C ） A、ydyxdx22 B、xdyydx22C、ydyxdx D、ydxydx5若0,),(222aayxyxD，且41dxdyD，则（ B ）A、1 B、2 C、323 D 、343名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 6. 下列级数条件收敛的是（ C ） A、1!1)1(nnn B 、

22、122)1(1)1(nn C、11)1(nnn D、121)1(nnn 7若级数1212)(nnnuu是收敛的，则（ B ） A、1nnu必收敛 B、1nnu未必收敛C、0limnnu D、1nnu必发散二填空题（每小题3 分，共 24 分）8302dxx= 5/2 。92022xydyedx=)1(214e。103020sinlimxdttxx 1/3 。11设yxez，则)0,0(dzdydx。12二元函数132),(23xyyxyxf的极大值点是（-1，1）。13交换二次积分次序102),(yydxyxfdy= xxdyyxfdx),(10。14函数)( xf在),(内连续，且324)(

23、3xdttfxa。则)(xf212 x16级数)121(1nnn是级数。（填收敛或发散）三计算题（每小题5 分，共 30 分）17计算定积分202cosxdxx。解：202cosxdxx =202sin21xxd=-21名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 18求广义积分0222 xxdx。解0222 xxdx=02)1(1xdx=0)1( xarctg=419判断级数1nnen的敛散性11l i m1euunnn

24、, 级数1nnen收敛20若z=21xyarctg，求yzxz,。222)1(2yxxyxz, 2222)1(1yxxyz21求二重积分dxdyxyD，其中D是抛物线xy2及直线2xy所围成的区域解dxdyxyD=2122yyxdxydy=1042)2(21dyyyy=303122求二重积分dxdyxD2，其中区域D:4122yx。解dxdyxD2=drdrrr202122cos=212023cosddrr=41523求幂级数011nnnx的收敛区间及和函数解：收敛区间11x011nnnx=)1ln(x24将函数xxf31)(展为 x 的幂级数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

25、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 解033131131)(nnnxxxf（)33x四应用题25. （7 分） 求抛物线xxy2与直线2,0 xy所围成的平面图形的面积，及该图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。解1212102xdxxxdxxS.5 1516)(2022dxxxV ）26. （8 分）求函数333zxyxy的极值 . 解：解方程组22330330zxyxzyxy（1 分）求得驻点为： （0，0） ， （1，1） ，（1 分）222226 ;3;6zzzxyxx yy. （1 分）(,)936P x yxy.(0, 0)90P， （0，0）不是极值点；（ 1 分）(1,1)270,P2(1,1)260zx，所以（ 1，1）是极小值点，（ 2 分）极小值是(1,1)1z. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -