2022年微积分基本公式[借 .pdf

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1、第二节微积分基本公式教学内容和重点：1、掌握积分上限函数的定义及其性质2、掌握微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式） ，会用这个公式求一些函数的定积分一问题引入：22211()22bbaaxdxbax221121( )()()( )TTTTV t dtS TS TS t二积分上限函数定义：设( ) , , , ,( )xaf xC a bxa bf x dx称为 f(x) 的积分上限函数，记为( )( )xaxf x dx注意问题：( )( )( )xxxaaaf x dxf t dtf u du()( )xxaxxf t dt三积分上限函数性质定理 1： 设( ) , ,( )( )( )xa

2、f xC a bxf t dtf x则简证：()( )( )( )xxxaaxxxf t dtf t dt =( )( )( )( )( )xxxxxxaxaxf t dtf t dtf t dtf t dtfx( 在x,x+x之间）00limlim( )lim( )( )xxxfff xx推论：设( ) , ,( )( )f xC a bF xf x又是的一个原函数则( )( )xaf t dtF xC牛顿莱布尼茨公式 定理2：设(),bbaafxCabF则 简证：( )( ),0( )( )xaaaf t dtF xCxaf t dtF aC令( )cF a( )( )( )( )( )(

3、 )xbaaf t dtF xF axbf t dtF bF a令名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 例如：112001arctan14dxxx11111ln0dxxx错 在 X=0处 无穷间断点四积分上限函数求导及应用积分上限函数求导：.abc限单里清有公式限复里清按复合求导法则里混先弄清，再求导例题分析：2sin01cosbadxxdxdxx22dsinsindx1cos1cosxaxxxxdxxx22sinsi

4、n1cos1cosxadttxxdtdxtx2222sinsinsinsin1cos1cos1cos1cosxxxaaadxtdttxxdtxdtdtdxtdxttx222()sinsinsin1cos1cos1cosxxxaaadxttdxtttdtdtdtdxtdxtt( )( )( ( )( )xadf t dtfxxdx()( )( )( )axxaddf t dtf t dtdxdx( )( )( )( )( )( )( )xaxxxaddf t dtf t dtf t dtdxdx在 a 处 f 连续应用：例 1：求21cos20limtxxedtx解：原式 =2cos0(sin

5、)1lim22xxexxe或： .21cos20limln(1)txxedtx.21cos0limarctantxxedtxx.21cos20limln (1sin )txxedtx比较： A=( )baf x dx( )( )xxaaf x dxf t dt( )xaxf t dt例 2：设00cos,sinttxududydxyudu求解：( )sintan( )cosdyy tttdxx tt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - -

6、 - - - - 例 3：设00( )( )(,),( )0( )(0,)( )xxtf t dtf xCf xF xf t dt且则在解：0020( )( )( )( )( )( )0 xxxxfxf t dttf t dt f xFxf t dt令00( )( )( )( )xxf xxxf t dttf t dt法一：00( )( )( )()( )0 xxxxf ttf t dtxt f t dt得证： 0tx 例 4：求230 xtIt edt 的极值解：23( )0 xIxx e 可能的极值点0,0IxI不存在，无 判别，00,(0),0,0UIUIx（ ），是极小值点 I （0）

7、=0为极小值例 5：设( ) , ,f xC a b 且1( )0,( )( )( )xxabf xF xf t dtdtf t若则 ( )2Fx( )0( , )F xa b在内有唯一实根解：11( )( )22( )Fxf xff xf .F(x) 在(a,b) 上连续.1( )0,( )( )0( )abbaF adtF bf t dtf t( )0( , )F xa b在内至少有一个实根 , 零点定理又( )0,( )FxF x只有一个实根ex： p240 5(1.3) 6（8.11 ） 9(2)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -