2022年随机变量的均值,方差,正态分布归类 .pdf

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1、【本讲教育信息 】一. 教学内容：2.3 随机变量的数字特征2.4 正态分布二. 教学目的1、能够求出随机变量的分布列，并利用分布列求出随机变量的均值和方差，能解决简单实际问题。2、掌握正态分布的性质，能够计算有关概率值；了解假设检验的思想。三. 教学重点、难点利用分布列求出随机变量的均值和方差；正态分布的性质。四. 知识分析1、离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X 的分布列为X x1 x2 ,xi ,xn P p1 p2 ,pi ,pn 则称1122nnE (X )x px px p为随机变量X 的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平。若 X 为随机变量， Y = a

2、X + b（其中a , b 为常数），则 Y 也是随机变量， 且有 E（aX + b）= aE（X） + b 若 X B （ n , p ） ，则E（X） = np 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均。E（ X）是一个实数，由X 的分布列惟一确定即作为随机变量X 是可变的，可取不同值，而 E（X）是不变的，它描述X 取值的平均状态1122nnE(X )x px px p ,直接给出了E（X）的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加2、离散型随机变量的方差设离散型随机变量X 的分布列为X x1 x2 ,xi ,xn P p1 p2 ,pi ,pn 则 xi E（ X ） 2描

3、述了xi （ i = 1,2,n）相对于均值E（X ）的偏离程度而n2iii 1D (X )xE (X )p为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E（X）的偏离程度，我们称 D （X） 为随机变量X 的方差，其算术平均根()D X为随机变量X 的标准差。记作()X随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离均值的平均程度越小。设 X 为离散型随机变量，则（1）D（aX + b ） a2D（X）（2）若 X 服从二点分布，则D（X） = p （1p）（3）若X B（n，p） ，则 D（X） = np（1p）3、正态分布名师资料总结

4、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 我们称222)x(e21)x(f，xR（其中,是参数，且0,）为正态变量X 的概率密度函数，其图象叫做正态分布密度曲线，简称正态曲线。期望为、标准差为的正态分布常记为2(,)N。若X2(,)N，则X 的均值与方差分别为：2(),()E XDX。参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数。是衡量随机变量总体波动大小的特征数可以用样本标准差去估计正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴上方，与x 轴不相交

5、；（2）曲线是单峰的，它关于直线x对称；（3）曲线在x处达到峰值12；（4）当一定时，曲线随着的变化沿x 轴平移；（5）当一定时，曲线形状由确定，越小，曲线越瘦高。当0,1时的正态分布叫做标准正态分布。一般来说，正态变量的取值在(,)内的概率是68.3%，在(2,2)内的概率是95.4%，在(3,3)内的概率是99.7%。【典型例题】例 1、某运动员投篮命中率p = 0.6 （1）求投篮一次时命中次数X 的均值和方差；（2）求重复5 次投篮时，命中次数Y 的均值与方差。分析： （1）为两点分布的均值和方差（2）为二项分布的均值和方差。可利用公式求解。解析： （ 1）投篮一次时命中次数X 的分布

6、列为：X 0 1 P 0.4 0.6 则E(X )00.410.60.622D(X )(00.6)0.4(10.6)0.60.24（2）由题意，重复5 次投篮时，命中次数Y 服从二项分布，即YB （5，0.6）于是，有E(Y )50.63, D(Y )50.60.41.2点评： （ 1）投篮一次有两个结果：命中与未命中，因此X 服从两点分布，用两点分布的均值及方差公式； （2）投篮、射击、抽样（大量）等问题，都是n 次独立重复试验，其随机变量 YB（n , p） ，利用二项分布的均值、方差公式即可。例 2、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等而两个保护区每

7、个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保护区：Y 0 1 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - P 0.1 0.5 0.4 试评定两个保护区的管理水平。解析： 甲保护区的违规次数X 的数学期望和方差为E(X )00.310.320.230.21.32222D(X )(01.3)0.3(11.3)0.3(21.3)0.3(31.3)0.31

8、.21乙保护区的违规次数Y 的数学期望和方差为E(Y )00.110.520.41.3222D(X )(01.3)0.1(11.3)0.5(21.3)0.40.41因为E(X )E(Y )，D(X)D(Y)所以两个保护区内每季度发生的违规事件的平均次数是相同的， 但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散点评： 解决实际问题， 要充分理解随机变量在实际问题中表示的意义，然后利用均值和方差的实际意义解决例 3、若随机事件A 在 1 次试验中发生的概率为P（0p1） ，用随机变量X 表示 A 在 1次试验中发生的次数（l）求方差 D（X）的最大值；（2）求2D (X

9、)1E (X )的最大值。分析： 本题是最值问题，需要先将D（X） ，及2D (X )1E(X )表示出来，利用函数知识解决解析： 随机变量 X 的所有可能取值为0 ，1 ，并且有 P （X= l ）= p , P（X = 0 ）= lp从而pp1)p1(0)X(E)p1(pp)p1()p1()p0()X(D22（i）41)21p(41)41pp(pp)p1(p)X(D222，1p0当21p时， D（ X）取得最大值，最大值为41。（2）)p1p2(2p1)pp(2)X(E1)X(D221p0，22p1p2当且仅当p1p2，即22p时，取“ =” 。因此，当22p时，)X(E1)X(D2取得最

10、大值222。点评：本题将方差知识与函数联系起来，因此在求解过程中可以利用函数的性质及使用研究函数的方法例 4、 （2003 年辽宁 20，天津理20） A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A2、A3 ，B 队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 对阵队员A 队队员胜的概率A 队队员负的概率A1对 B12313A2

11、对 B22535A3对 B32535现按表中对阵方式出场，每场胜队得1 分，负队得0 分设A 队、 B 队最后所得总分分别为、（I）求、的概率分布列。（II）求EE ，。分析： 此题中的、不服从特殊分布，用定义求均值。解析：（I）、的可能取值分别为3， 2，1，0 P（=3）758525232P（=2）7528525332525231535332，P（=1）52525331535231535232P（=0）253535331根据题意知3，所以253)0(P)3(P52)1(P)2(P7528)2(P)1(P758)3(P)0(P，（II）15222530521752827583E因为3，所以1

12、523E3E点评： 本题中第（ I）问是第（）问的基础，在利用定义求均值时，必先求分布列。例 5、已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分布N（27.45，0.05 2） ，质量检验员随机抽查了10 个零件，测量得到它们的尺寸如下：27.34，27.49，27.55，27.23， 27.40，27.46，27.38，27.58，27.54，27.68 请你根据正态分布的小概率事件，帮助质量检验员确定哪些应该判定为非正常状态下生产的。分析： 利用正态变量在区间(3,3)内的取值的概率为99.7%来判断。解析： 根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的思想，我们对落在区间（27.4530.0

13、5，27.45 +30.05）之外的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假设，有两个尺寸为27.23 和 27.68 的零件，不符合落在区间（27.4530.05，27.45+30.05）内这一条件，判断它们就是非正常状态下生产的。点评： 本题是正态分布应用中假设检验的一个实例，依据的准则是正态总体在区间名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - (3,3)外的取值的概率仅有0.3%来判断个别零件是在非正常状态下生产的

14、。【模拟试题】一、选择题（每小题5 分，共 60 分）1、甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是1P，乙解决这个问题的概率是2P，那么其中至少有1 人解决这个问题的概率是（）A、21PPB、21PPC、21PP1D、)P1)(P1(1212、如图所示，1、2、3 表示 3 种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.7，那么此系统的可靠性是（）A、0.504 B、0.994 C、0.496 D、0.06 3、甲、乙两人同时独立解答一道数学题，甲解出的概率为0.4，乙解出的概率为0.5，则该题能被解出的概率为（）A、0.9 B、0.2 C、0.7 D、0.1

15、4、两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲射中的概率P （A）=0.8，乙射中的概率P （B）=0.9，则目标被击中的概率为（）A、1.7 B、1 C、0.72 D、0.98 5、一整数等可能在1，2， , ， 10 中取值，以X 记除得尽这一整数的正整数的个数，那么 E（X）等于（）A、2.6 B、2.5 C、2.7 D、2.8 6、从 5 个数 1，2，3，4，5 中任取 3 个数321xxx、，X 表示321xxx、中最大的一个，则 X 的分布列为（）A、X 1 2 3 4 5 P 5151515151B、X 3 4 5 P 101103106C、X 1 2 3 4 5 P 0 0 101

16、103106D、X 3 4 5 P 1011041057、设随机变量XB（n，P） ，且 E（X）=1.6，D（X）=1.28，则（）A、n=8，P=0.2 B、n=4，P=0.4 C、n=5，P=0.32 D、 n=7， P=0.45 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 8、口袋中有5 只球，编号为1，2， 3，4，5，从中任取3 球，以 X 表示取出的球的最大号码，则 E（X）的值是（）A、4 B、4.5 C、

17、4.75 D、5 9、设两个独立事件A 和 B 都不发生的概率为91，A 发生 B 不发生的概率与B 发生 A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P（A）是（）A、92B、181C、31D、3210、一次测验中共有4 个选择题， 每个选择题均有4 个备选答案， 其中只有一个答案是正确的，某生随机地就每小题各选一个答案，则其恰好选中3 个正确答案的概率为（）A、41B、161C、643D、256111、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6） ，骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则1XYlog2的概率为（）A、61B、365C、121D、2112、设有一正

18、态总体，它的概率密度曲线是函数)x(f的图象，且8)10 x(2e81)x(f，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（）A、10 与 8 B、10 与 2 C、8 与 10 D、2 与 10 二、填空题（每小题4 分，共 16 分）13、若10 把钥匙中只有2 把能打开某锁，则从中任取2 把能将该锁打开的概率为_。14、一个袋子里装有大小相同的3个红球和2 个黄球， 从中同时取出2 个，则其中含红球个数的数学期望是_（用数字作答）15、抛掷两枚骰子，当至少有一个1 点或一个 2 点出现时， 就说这次试验成功，否则称试验失败，则在20 次试验中成功次数X 的期望是 _。16、四个人打桥牌，则你手

19、中有5 张黑桃，而另8 张黑桃全在你的同伴手中的概率_。三、解答题（共74 分）17、 （12 分）一副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4 种花色，每种13 张，共 52 张，从这一副洗好的牌中任取4 张，求 4 张中至少有3 张黑桃的概率。18、 （12 分）从 1，2， , ， n 这 n 个数中任取两个，求其中一个小于k，另一个大于k 的概率（nk1） 。19、 （12 分）对某种药物的疗效进行研究，假定药物对某种疾病的治愈率8.0P0，现在10 个患此病的病人中同时服用此药，求其中至少有6 个病人治愈的概率0P。20、 （12 分）某射手在一次射击训练中，射中10 环、9 环、8 环、7

20、 环的概率分别为0.21，0.23，0.25， 0.28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中 10 环或 7 环的概率；（2）不够 7 环的概率。21、 （13 分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为21与52，投中得 1 分，投不中得0 分。（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和X 的数学期望；（2）甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -

21、 22、 （13 分）9 粒种子分种在甲、 乙、丙 3 个坑内， 每坑 3 粒，每粒种子发芽的概率为0.5。若一个坑内至少有1 粒种子发芽， 则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。（1）求甲坑不需要补种的概率；（2）求 3 个坑中恰有1 个坑不需要补种的概率；（3）求有坑需要补种的概率。（精确到 0.001）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 【试题答案】一、选择题1、D 2、B 3、 C

22、4、D 5、C 6、B 7、A 8、B 9、 D 10、C 11、C 12、B 二、填空题13、451714、1.2 15、910016、71026三、解答题17、解析：至少有3 张黑桃包括两种情况： “恰好有 3 张黑桃”与“ 4 张全是黑桃”，用这两种情况的取法总数除以52 张牌中任取4 张牌的取法总数即可。从 52 张牌中任取4 张，有452C种取法，即452Cn，4 张牌中至少有3 张黑桃的取法有413139313CCC。因此，取4 张牌中至少有3 张黑桃的概率是452413139313CCCCP。18、解：2nC)kn)(1k(P19、解：假定病人服用该药或者治愈（事件A）或者没有治

23、愈（事件A） ，由题意，2.08.01)A(P8.0)A(P，至少有 6 人治愈可分为10 人中 6 人愈， 10 人中 7 人愈， 10 人中 8 人愈， 10 人中 9 人愈， 10 人全愈五种情况：)10(P)9(P)8(P)7(P)6(PP1010101010101010199102881037710466108.0C2.08.0C2.08.0C2.08.0C2.08.0C0.97 答：至少有6 人治愈的概率为0.97。20、解析：（1）设“射中10 环”为事件A， “射中 7 环”为事件B，由于在一次射击中，A 与 B 不可能同时发生，故A 与 B 是互斥事件。 “射中 10 环或

24、7 环”的事件为A+B ，故 P（A+B ）=P（A）+P（B）=0.21+0.28=0.49 。射中 10 环或 7 环的概率为0.49。（2）不够 7 环从正面考虑有以下几种情况：射中6 环、 5 环、 4 环、 3 环、 2 环、 1 环、0 环，但由于这些概率都未知，故不能直接入手，可考虑从反面入手，不够7 环的反面是大于等于 7 环，即 7环、 8 环、 9 环、 10 环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理。设“不够 7 环”为事件E，则事件E为“射中 7 环或 8 环或 9 环或 10 环” ，由（ 1）可知“射中7 环” 、 “射中 8

25、 环”等是彼此互斥的事件。97.028.025.023.021.0)E(P从而03.097.01)E(P1)E(P射不够 7 环的概率为0.03。21、解： （ 1）依题意，记“甲投一次命中”为事件A， “乙投一次命中”为事件B，则52)B(P21)A(P，21)A(P，53)B(P。甲、乙两人得分之和X 的可能取值为0、1、2，则 X 的概率分布为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - X 0 1 2 P 10321

26、511095122111030)X(E答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和X 的数学期望为109（ 2 ） 事 件 “ 甲 、 乙 两 人 在 罚 球 线 各 投 球 两 次 均 不 命 中 ” 的 概 率 为53532121P1009甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率1009110091P1P。答：甲、乙两人在罚球线各投球两次，至少有一次命中的概率为10091。22、解： （1）因为甲坑内的3 粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3，所以甲坑不需要补种的概率为875.087811。（2）3 个坑恰有一个坑不需要补种的概率为041.0)81(87C213。（3）解法一：因为3 个坑都不需要补种的概率为3)87(所以有坑需要补种的概率为330.0)87(13解法二： 3 个坑中恰有1 个坑需要补种的概率为287.0)87(81C213，恰有 2 个坑需要补种的概率为041.087)81(C2233 个坑都需要补种的概率为002.0)87()81(C0333所以有坑需要补种的概率为330.0002.0041.0287.0。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -