2022年随机信号分析课后习题答案习题讲解 .pdf

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1、2-1 已知随机过程0( )cosX tAt，其中0为常数，随机变量 A服从标准高斯分布。 求000,3,2t三个时刻( )X t的一维概率密度？解：221(0,1).( )2AaANfae212011( )(0,1)(0)2tXxX tANfxe；，02223203A12( )(0,)()242XtxX tNfxe；，002323( )0()()tX tf xx ，；(离散型随机变量分布律 ) 2-2 如图 2.23 所示，已知随机过程( )X t仅由四条样本函数组成，出现的概率为1 1 3 1,8 4 8 4。t( )X t1234561t2t1( )x t2( )x t3( )x t4(

2、 )xto图 2.23 习题 2-2 在1t和2t两个时刻的分布律如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - - 12341( )X t1 2 6 3 2()X t5 4 2 1 1212( ,)k kptt1/8 1/4 3/8 1/4 求？1212( ),(),( )()E X tE X tE X tX t41129( )8kkkE X tx pt221()8E X t1212121 21122( )(),XkkE

3、X tX tRt tk k p X tkX tk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - - 223 12( )cos(0,1)( ; ),( )( )( ,)XXX tAtXHAUfx tE X tD X tRt t随机过程，其中（均匀分布）。求,？22221212221121222( )coscos( )( )( )( )coscoscoscos12( ,)coscoscoscoscoscos1cosc232oXXYD

4、aE X tE AtXHt EAXHD X tE XtEX tD X tD AtXHD AtD XHtt DARt tEAtXHXa D Xb D YabCEAEAAtXHttXHttXHt公式：b=方法 ：2212scoscos2XHtttXH名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - - 22cos022,322cos022,cos0( )2122,cos2coscoscosc21322,( ; )coso2s2Xktkt

5、tX tUXHXHktkttX tUXH XHtktX tXHktkXHxXHtktkXHxXHfx ttxXtttt对某一固定时刻对某一固定时刻概率密度用冲激函数表示,20HtkxXHelse名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - - 2-4 已知随机过程( )X tABt，其中,A B皆为随机变量。求随机过程的期望( )E X t和自相关函数12( ,)XRt t？若已知随机变量相互独立，它们的概率密度分别为( )Af

6、a和( )Bfb，求( )X t的一维概率密度( ; )Xfx t第问方法 一：用雅克比做（求随机变量函数的分布）步骤：t 时刻，( )X tABt为两个随机变量的函数设二维的随机矢量12XABtXA（题目要求的）（自己设的量 ,可以是其它量）求 反函数求雅克比行列式J，得到 |J| 利用公式12X X12(,)( , )ABx xfbJfa( )AB( )ABABffafb相互独立由联合概率密度求边缘概率密度1Xfxt 为变量，则得到( ; )Xfx t,A B名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

7、- - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - - ,( , )( )( )( )01( )1( )( )11( )11( , ; )( , )( ,)( )()1( ; )( , ; )( )(),( ; )ABABXYABABABXXYABXABfa bfafbAY tX tABtJX tY tY ttBtttxyxyfx y tfa bfyfyfttttxyfx tfx y t dyfAdyyfttfx tyJa与 独立1( )()ABxafafd att;1XABABabxafx tfafdttfxbtfb d方法二：用特征函数定义和性质（独立变量和的

8、特征函数等于各特征函数的乘积）做（特征函数和概率密度一一对应）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - - ,;jujuX tju A Btju a btXABju a bABxXXjuABjABuxXtBXxAfa fbQu tE eE eefa b dadbedadbxQu ted dbedxfbt fQubfx ttfx t edxfxbt fb dfxbfbxxbtb d取a= -bt名师资料总结 - - -精品资料

9、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - - 2-5 已知( )X t为平稳过程，随机变量0()YX t。判断随机过程( )( )Z tX tY的平稳性？X( )mXX tR平稳、0?E Y tE X t2XE Z tm121221212002001200,ZXXXZtttRt tEX tYX tYE X tX tX tXXX tXRRtRtE XRttt随机过程( )( )Z tX tY非平稳名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

10、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - - 2-6 已知随机过程0( )( )cos()Y tX tt，其中随机过程( )X t宽平稳，表示幅度；角频率0为常数；随机相位服从(,)的均匀分布， 且与过程( )X t相互独立。求随机过程( )Y t的期望和自相关函数？判断随机过程( )Y t是否宽平稳？与过程( )X t相互独立0cos()tX t与相互独立00( )( )cos()( )cos()0E Y tE X ttE X tEt10 120 2120 10 2120 1120

11、20( )cos()()cos()( )() cos()cos()(,1cos2)()cos()cos()YXE X ttX ttE X tX tttE X tRt tRX tEtt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - - 2-8 已知平稳过程( )X t的自相关函数为( )4coscos3XRe，求 过 程的均方值和方差？112( )4cos()0( )cos30XXXReRRX1X2非周期部分m周期偶函数m22(0)

12、5XXXRm( )X t名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - - 2-10 已知过程( )cossinX tAtBt和( )cossinY tBtAt，其中随机变量,A B独立，均值都为 0，方差都为5。证明( )X t和( )Y t各自平稳且联合平稳；求两个过程的互相关函数？,5sinXYRt tX tY t、联合平稳2( )0,5cos( )5XE X tRt tE XtX t 平稳2( )0,5cos( )5YE

13、 Y tRt tE YtY t 平稳名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - - 2-11 已知过程( )X t和( )Y t各自平稳且联合平稳，且( )( )( )Z tX tY t。求( )Z t的自相关函数( )ZR？若( )X t和( )Y t独立，求( )ZR？若( )X t和( )Y t独立且均值均为 0，求( )ZR第问ZXYXYYXXXYYXYRE Z t Z tRRRRRRRR两个联合平稳的过程的互相关函

14、数YXXYRR第问两平稳过程独立1212EX tY tE X tE Y tXYYXXYRRm m2ZXYXYRRRR第问( )X t和( )Y t独立且均值均为0 ZXYRRR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - - 2-12 已知两个相互独立的平稳过程( )X t和( )Y t的自相关函数为20( )2cosXRe2( )9exp3YR令随机过程，其中A是均值为2，方差为9 的随机变量，且与( )X t和( )Y t

15、相互独立。求过程( )Z t的均值、方差和( )( )( )Z tAX t Y t自相关函数？随机变量 A，与( )X t和( )Y t相互独立E Z tEA EX tE Y t( )()0( )0XE X tRE Z t，22222220( ,)( ) ()( )() ( ) ()( )( )co92( )26s9exp3ZXYZR t tE Z t Z tE A X t X tY t Y tE ARRE AD AReEA( )(0)260ZD Z tR可以证明过程( )Z t平稳名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

16、 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - - 2-14 已知复随机过程1( )expiiiZ tAjt式中(1, )iAin为 n 个实随机变量，(1, )iin为 n个实数。求当iA满足什么条件时，( )Z t复平稳？复过程( )Z t复平稳条件+ j,ZzZZm tmmmR t tRXY复常数，11expexpziiiiiimtEAjtjAtE0( )0iiE AE Z ttE A只要，中就存在 “ ”。令名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整

17、理 - - - - - - - 第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - - 1111211,expexpexpexpiijjjijijjijjiijijZERt tE Zt ZAjtAjtjjtjtjAtE AjEA0. ,1,2,0,.iikikE AAAi knE A Aik与间应满足条件：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 27 页 - - - - - - - - - 2-16 已知平稳过程( )X t的均方可导，( )( )Y t

18、Xt。证明( ),( )X tY t的互相关函数和( )Y t的自相关函数分别为( )( )XXYdRRd22( )( )XYd RRd0000222( )( ) ()()( ).()() ()( ) ()lim()( )( )()limlim( )( )YttXYXYXYXYtXYXRE X t Y tX ttX tE l i mY ttE X tt Y tX t Y ttRtRRRtdRd Rdd。0001( )( ) ()()()( ) .( )()( )()lim()( )( )limXYttXXXtRE X t Y tX ttX tE X t l i mtX t X ttX t X

19、tEtRtRdRtdt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - - 若( )X t为宽平稳（实）过程，则( )Xt也是宽平稳（实）过程，且( )X t与( )X t联合宽平稳。22( )()()( )( )XYYXXYXYd Rd Rd Rd RRdddd2-17 已知随机过程( )X t的数学期望2( )4E X tt，求随机过程2( )( )Y ttX tt的期望？2( )( )42E X tE X ttt2( )3E

20、 Y tt2-18 已 知 平 稳 过 程( )X t的 自 相 关 函 数21( )2exp2XR。求：其导数( )( )Y tXt的自相关函数和方差？( )X t和( )Y t的方差比？212222( )( )2 1XYd RRed不含周期分量220202YYXXRR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - - 补充题：若某个噪声电压X t是一个各态历经过程，它的一个样本函数 为2cos4X tt，求该噪声的直流分量、

21、交流平均功率解：直流分量EX t、交流平均功率DX t各态历经过程可以用它的 任一个样本函数的时间平均来代替整个过程的 统计平均11( )limlim0221( )( )()( )2cos4( )()2clim21losim2cos22cos44TTTTTTTXTTTTTE X tX tdtdtTTRX t X tdtTX ttX t XtttdTt=再利用平稳过程自相关函数的性质02XXD X tRR方法二：222222( )( )( )2cos( )011( ) limli24m22TTTTTTXtX tD X tE XtEX tX tXtdtdtTXtTt=名师资料总结 - - -精品资

22、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - - 01( )()tY tXdt01)(1()tY tXdtt变上限积分2-19 已知随机过程( )cos3X tVt，其中V是均值和方差皆为 1 的随机变量。令随机过程求( )Y t的均值、自相关函数、协方差函数和方差？解：1求均值，利用( )( )bbaaEX t dtE X t dt随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换000( )111( )cos3sin33tttE Y tEXdddttE X

23、E Vttt2.求自相关函数1212121122001212210011( ,) ( ) ()()()()()ttYttRt tE Y t Y tEXdXdttE XXddt t121 21120012121221212cos3 ( ) ()11sin3( )( )3sin3sin3( ,)33sin3 sin3sin3 sin399ttYVtY tXddtttVt VtR t tEttttEVttt tt tVE Y t Y t1 21 2做法二：23. 求互协方差函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整

24、理 - - - - - - - 第 19 页，共 27 页 - - - - - - - - - 11212212( )( ,)( ,)sin3 si 3()9nYYCttE Y tE Y tRt tttt t1 214. 求方差,tYCt tD Y t是关于 的方差一元函数2222sinsin 3sin 39933ttVD YttVtDtDt方法二：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 27 页 - - - - - - - - - 2-20 已知平稳高斯过程(

25、 )X t的自相关函数为( )6exp2XRsin( )6XR求当t固定时，过程( )X t的四个状态( ),(1),(2),(3)X tX tX tX t的协方差矩阵？分析：高斯过程四个状态的1 11 21 312 12 22324313 23 33 44 14 243444 4CCCCCCCCCCCCCCCCC1( ) ,2(1), 3(2), 4(3)X tX tX tX t状态状态状态状态X t 平稳高斯，协方差阵只与时间差值有关4 40123101221013210XXXXXXXXXXXXXXXXCCCCCCCCCCCCCCCCC2( )( )ikXXXCCRm解：X t 平稳高斯，

26、协方差阵只与时间差值有关名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 27 页 - - - - - - - - - 221312213122111221112231122lim01231012( )0( )( )(0)6(1)6(2)6(3)6666666621013266666666610XXijXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXCCCCCCCCCCCCCCCmRCRmRRReReReeeeeeeCeeeeeeC20( )0( )sin(1)(2)(0l

27、imlim)063)XXijXXXXXmRCRRRRR16000060000600006C名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 27 页 - - - - - - - - - 2-21 已知平稳高斯过程( )X t的均值为 0，令随机过程2( )( )Y tX t。证明22( )(0)2( )YXXRRR121222422412221201121212021(,( )( ) ()( )()(,; ,)( )()()(,; )exp200)()YXTTXXXXn

28、knknkXnkRE Y t Y tE Xt XtQt tE Xt XtjUUX tQjM UMUQE X XjC证：为高斯平稳过程12212221122221124422120222(0)( )( )(0)(,; )1exp(0)2( )(0)1exp(0)2( )2( )()(0)02( )2(XXXXXXXXXXXXYXXRRRRRRRQRRRRjRRC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 27 页 - - - - - - - - - 2-22 已知随机

29、过程0( )cos()X tAt，其中随机相位服从(0, 2 )上的均匀分布；A可能为常数， 也可能为随机变量 ，且若A为随机变量时， 和随机变量相互独立。当A具备什么条件时，过程各态历经？分析：随机过程各态历经要求为平稳过程且( )( )X tE X t( )()( )XX t X tR解： A为常数时2220( ,)c o s22AAE X tR t tE Xt( )X t为平稳过程A为随机变量时和随相互独立00222222( )cos()cos()0( ,)( )()cos()cos(2)coscos(22)2cos cos(22)cos022()2E X tE AtE AEtR t t

30、E X t X tE AttAEtAEEEtE AE XE At( )X t为平稳过程01()l i mc o s ()02TTTXtAtdTt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 27 页 - - - - - - - - - 22221( )()limcos()cos(2)21limcoscos(22)221coslimcos(22)cos0222TTTTTTTTTX t X tAttTtdtTAAtdtdtAT222X( )( )( )()( )( )(

31、)cos( )()( )2XXAX tE X tX t X tRAX tE X tE ARE AAX t X tR若 是常数若 是随机变量，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 27 页 - - - - - - - - - 1212( )cossin ,( )( )( )1( )( )( )(,; ,)4( )5( )( )( )( )XX tAtBtABX tY tX tX tX tX tQu ut tX tY tY tX tY t习题2-24随机过程其中

32、和 独立同标准高斯分布，且的均方导数为，求：、的期望、方差和自相关函数2、是否严平稳？给出理由。3、写出的二维特征函数、是否各态历经？给出理由。、的自相关系数6、写出的一维概率密度7、相同时刻，和的状态独立吗？给( )( )X tY t出理由。8、和是否联合平稳？给出理由。2212121211 221( )0( )1,cos( )1(,;,)(,; )exp2cos2XXXX tD X tRt tX tQu u t tQu uuu uu解： 、E2、高斯、宽平稳严平稳1cos3、C=cos1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

33、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 27 页 - - - - - - - - - 222222X( )0( )( )cos( )cos( )( )( )cos( )(0)1( )( )cos( )X( )( )1exp22( )sin(567XYYYYYYYXYXYE Y tE XtX tY tXtd RdRddCREY tD Y tCCD Y ttY tXtyfydRRdC平稳也为平稳，、且联合平稳高斯过程也为高斯过程、)( )( )( )sin(0)0( )( )X( )Y( )( )( )XYXYRE X tE Y tCX tY tttX tY t同一时刻和状态互不相关皆为高斯过程同一时刻和状态独立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 27 页 - - - - - - - - -