专升本高数第一章极限与连续ppt课件.ppt

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1、第一章第一章 极限和连续极限和连续（一）（一） 数列的极限数列的极限1. 1. 数列数列 12:,1 2 32 4 622 3 41nnnxx xxxnnn数列常表示为其中称为数列的通项。例如：， ， ， ， ， ；， ，单调数列：为单调增数列，则称若nnnxxxn1,为单调减数列，则称若nnnxxxn1,有界数列：MxnMn有使得若,01.1 极限极限2. 数列的极限数列的极限如果当n 无限增大时, xn 无限地接近于常数 a , 那末称 a 为数列xn的极限。lim()nnnxaxan 记作：或表示 n 很大时， xn 几乎都凝聚在点 a 的近旁。数列极限的几何解释lim00nnnxaNn

2、Nxa，当时，总有有极限的数列称为收敛数列，反之称为发散数列。()a -n Na +a定理2（有界性）收敛数列必有界()AB(二二) 收敛数列的性质收敛数列的性质定理1（唯一性）若数列xn收敛，则其极限值唯一。3 (lim0 (0)0 (0 )nnnnxaaaNnNxx定理保号性)若且或则必存在 ，当时恒有或0 (0 )lim0 (0)nnnnxxxaaa推论：若或且，则或0a() 极限存在准则极限存在准则准则1.单调有界数列必有极限。有界是数列收敛的必要条件，单调有界是数列收敛的充分条件。11.(1) nn例 数列的极限存在。1lim(1)2,7182818nnen2.(), xyznnn准

3、则夹逼准则 设有三个数列满足条件：2) lim , limnnnnyazalimnnnxxa那么数列的极限存在，且1) (1,2,)nnnyxzn2.limlimnnnnxAaA推论若， 则 极限运算法则极限运算法则1.limlimlim()nnnnnnnxAyBxyAB法则若， 则2.limlimlim()nnnnnnnxAyBxyA B法则若， 则3.limlim0limnnnnnnnxAxAyBByB法则若，且， 则1.limlimnnnnxAccxcA推论若， 为常数，则1231231.111(1)248(1)0.90.990.999xxxxxx 例 求下列数列的极限：， ；， 。32

4、322232.234112(1) lim(2) lim3521111(3) lim1 22 33 4(1)1(2) lim(sin !)32nnnnnnnnnnnnnnnn例求下列数列的极限：；。（三）（三） 函数的极限函数的极限 lim( )( )()xf xAf xAx 或lim( )( )()xf xAf xAx或1. 1. 当当 x 时函数的极限时函数的极限(1)定义 对于函数 f (x)，如果当 x 时， f (x) 无限趋近于常数A，则称A为函数 f (x) 当 x 时的极限，记为：(3)定义 对于函数 f (x)，如果当 x- 时， f (x) 无限趋近于常数A，则称A为函数 f

5、 (x) 当 x -时的极限，记为：lim( )( )()xf xAf xAx 或(2)定义 对于函数 f (x)，如果当 x+ 时， f (x) 无限趋近于常数A，则称A为函数 f (x) 当 x +时的极限，记为：无极限举例：均存在且相等。及存在的充要条件是定理)(lim)(lim )(lim.xfxfxfxxx1( )f xx ，( )sinf xx，xxfarctan)(12.lim(1)1xx例；1lim(1)1xx ；lim(1)1xxe2. 当当 x x0 时函数的极限时函数的极限00lim( )( )()xxf xAf xA xx或(1)定义 对于函数 f (x)，如果当 x

6、无限地趋近于 x0 时，函数 f (x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数 f (x)当 x x0时的极限，记为：00lim( )( )()xxf xAf xA xx或00lim( )( )()xxf xAf xA xx或(3)定义 对于函数 f (x)，如果当 x 从x0右边无限地趋近于 x0 时，函数 f (x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数 f (x)当 x x0时的右极限，记为：(2)定义 对于函数 f (x)，如果当 x 从x0左边无限地趋近于 x0 时，函数 f (x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数 f (x)当 x x0时的左极限，记为：11213. ( )021x

7、xf xx例讨论函数在处是否有极限。?1212lim)(lim1100 xxxxxf解：=1?110021lim( )lim121xxxxf x110021lim( )lim121xxxxf x ，0002. lim( )lim( ) lim( )xxxxxxf xf xf x定理存在，均存在且相等。0lim( )xf x不存在。104. ( )00010 xxf xxxxx，例讨论函数，在处是否有极限。，00lim( )lim(1)1xxf xx解：，00lim( )lim(1)1xxf xx ，00lim( )lim( )xxf xf x，0lim( )xf x不存在。无极限举例： 在讨论

8、分段函数的分割点的极限时， 一定要考虑左、右极限。11) ( )0f xxx，2) ( )0 xf xxx，13) ( )sin0f xxx，14) ( )arctan0f xxx，(四四) 函数极限的性质函数极限的性质004 ()lim( )0 (0 )( )0 ( )0 )xxf xAAAxf xf x定理保号性 若且或，则在点的某个邻域内，有或。0( )0 ( )0 )lim( )0 (0)xxf xf xf xAAA推论：若或且，则或。03()lim( )xxf x定理唯一性 若存在，则极限值必唯一。000005()( )( )( )()( )( )( )lim( )lim ( )li

9、m( )xxxxxxf xg xh xxxg xf xh xg xh xAf xA定理夹逼定理 设函数，在点的某个邻域内可除外 满足条件：且有，则。002.lim( )lim( )nnxxxxf xAf xA推论若， 则 极限运算法则极限运算法则0001.lim( )lim( )lim ( )( )xxxxxxf xAg xBf xg xAB法则若， 则0002.lim( )lim( )lim ( )( )xxxxxxf xAg xBf xg xA B法则若， 则0003.lim( )lim( )0( )lim( )xxxxxxf xAg xBBf xAg xB法则若，且，则001.lim(

10、)lim( )xxxxf xAccf xcA推论若， 为常数，则21313. lim1xxxx例计算215. lim1nxxxxnx例计算3x-8134.lim2xx例计算0116.limnxxx例计算4222) 1( nnn1 “0”是作为无穷小的唯一的常数。( (五五) ) 无穷小无穷小( (量量) )和和( (无穷大量无穷大量) )1. 1. 无穷小无穷小( (量量) )定义：极限为零的数列和函数称为无穷小。 为无穷小。，则称数列如果nnnxx0lim时的无穷小。为，则称函数如果xxfxfx)(0)(lim时的无穷小。为，则称函数如果0)(0)(lim0 xxxfxfxx。为小为了讨论方

11、便，记无穷0lim1210uu定理若 为无穷大，则 为无穷小，若为无穷小且，则为无穷大。定义：绝对值无限增大的数列或函数称为无穷大。2. 无穷大无穷大 ()limlim0uAuA定理1 极限与无穷小的关系的充要条件是， 其中。 3. 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系定理2. 设 为无穷小，u 有界，则 u 也是无穷小。推论1. 常数乘以无穷小仍是无穷小。推论2. 无穷小乘以无穷小仍是无穷小。推论. 有限个无穷小的代数和仍为无穷小。有限个无穷小的乘积仍是无穷小。3.limuAu推论若为无穷小， 则也为无穷小lim(0)uA Au若为无穷小， 则也为无穷小。定理1. 设 和 为无穷小，则

12、也是无穷小4. 4. 无穷小无穷小( (量量) )的基本性质的基本性质1. 1. 两个重要极限两个重要极限1sinlim10 xxx：重要极限( (六六) ) 两个重要极限两个重要极限12lim(1)xxex重要极限 ：，10lim(1)xxxe201 cos8.limxxx例求21)22sin(21lim2sin2limcos1lim2022020 xxxxxxxxx解：22cos222sinlim2tanlim00 xxxxxxx解：0tan27.limxxx例求329.lim(1)xxx例求23223)21 (211lim)21 (limexxxxxxx解：2110.lim()21xxx

13、x例求1 e( )lim( ) 1( )lim( )1lim ( )lim( )g xf xg xf xg xf xe 设，且，则0ln(1)12.limxxx例求21011.lim(cos )xxx例求2011lim(cos1)2xxxee 解：原式1ln)1ln(lim10exxx解：原式1ln(1) 00 xetxtxt 解：令，则，当时，0113.limxxex例求1)1ln(lim1lim00ttxetxx3000sin1 coslim1 lim0 limxxxxxxxxx 而，两个无穷小的商实际反映了在变化过程中趋于零的速度快慢程度。为此引入定义等都是无穷小。时例如：当3,cos1

14、 ,sin,0 xxxxx两个无穷小的代数和、积仍为无穷小，那么两个无穷小的商会是什么呢？2. 无穷小的比较无穷小的比较lim(0)kc ck如， 称为 的 阶无穷小。1.lim0 lim0定义 设，lim0( ) 如， 则称为 的高阶无穷小，记作，或称为 的低阶无穷小。lim(0)( )c cO如， 则称为 的同阶无穷小，记作。lim1特别当， 则称为 的等价无穷小，记作。3. 无穷小的主部无穷小的主部21115.sinnnnn例 问当时，是 的几阶无穷小？2.()lim0( )( ) 定义给定无穷小 ，若存在无穷小 ，使得为 的高阶无穷小，即或，则称为 的主部，此时。. 等价无穷小的代换定

15、理等价无穷小的代换定理.limlimlim定理1 如果 、 、均为无穷小，且存在，则。2.lim0定理如果 、为无穷小，且，则。当 x 0 时，常见的等价无穷小xxxxxxxxarctan,tan,arcsin,sin21cos,ln(1) ,12xxxxx ex1ln , 11,(1)1xnxaxaxxxn0ln(1)14.limsinxxx例求201 cos15.lim(1)ln(1 tan )xxxex例求20sincos116.limtanxxxxx例求1411 1.2 函数的连续性函数的连续性000lim0lim( )()xxxyf xf x 连续的等价定义：连续的三个要素：(一一)

16、 函数连续的概念函数连续的概念定义1设函数 f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定义,如果当自变量增量 x 趋于零时，对应的函数增量y = f ( x0+ x)f ( x0 )也趋于零，那末称函数 f (x)在 x0 处连续。f (x) 在 x0 点处有定义、有极限、极限值等于函数值。1. 函数在函数在点 x0 处连续处连续定理1.函数 f (x) 在点 x0 处连续的充要条件是： 函数 f (x) 在点 x0 处既左连续又右连续。)()()()0(0000 xfxfxfxf或即)()(lim00 xfxfxx左连续：左、右连续)()(lim00 xfxfxx右连续：)()()()0(000

17、0 xfxfxfxf或即如果 f (x) 在 (a,b) 内任意一点连续，则称 f (x) 在(a,b)上连续，或称 f (x) 为 (a,b) 上的连续函数。如果 f (x)在 (a,b) 上连续，且在 x=a 处右连续，在 x=b 处左连续，则称 f (x) 在 a,b 上连续。1sin01. ( )000 xxf xxxx，例讨论函数，在处的连续性。，2. 函数在区间函数在区间a,b 上连续上连续3. 函数的间断点函数的间断点间断点的常见类型如果函数 f (x) 在 x0 处不 连续(即连续的三个要素中有一个不满足)，那末称 f (x) 在 x0 处间断。处在111)(xxxf处在00,

18、 00,1sin)(xxxxxf无穷间断点震荡间断点左、右极限均存在的间断点,称为第一类间断点，其余的间断点,称为第二类间断点。处在0,0, 00,1arctan)(xxxxxf处在0,sin)(xxxxf跳跃间断点可去间断点1112 . ( )111011xxf xxxxxx 例设，问，是否为间断点？若是，确定其类型。1103. ( )1000 xxfxexx，例设，问是 否 为 间 断 点 ？ 若 是 ，确 定 其 类 型 。(二二) 函数在一点处连续的性质函数在一点处连续的性质处也连续。在点此时设那么处均连续在点如果函数定理000)0)()()(, )()(, )()(,)(, )(.

19、2xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf处连续。点在处连续，那么复合函数在处连续在点如果函数定理00000)()()(,)(. 3xxfyxuuufyxxu定理4. 如果函数 y = f (x) 在某个区间上严格单调增(或降) 且连续，那末它的反函数 x = (y) 在对应的区间上也严格单调增(或降) 且连续。推论：闭区间上的连续函数是有界函数。定理5. (最大值、最小值定理)(三三) 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。闭区间上连续的函数至少取得最大值，最小值各一次。定理 6. (介值定理) 推论(零值定理) 如果 f (x) 在 a,b

20、 上连续，且 f (a)f (b)0, 那末在开区间 (a,b) 内至少存在一点 ，使得f() = 0(a b)。闭区间上连续的函数可取得介于最值之间的任意值。4.lg10(2,3)xx 例证明方程在区间内至少有一根。5.( )0,1(0)(1)0(01)(01)( )()f xffllffl 例 已知在上非负连续，且，证明：对于任意一个实数必存在实数，使得。( )( )()F xf xf xl证：作函数，(0)(0)( )( )0(1)(1)(1)(1)0Fff lf lFlflffl ，( )00(1)01f lfll 若，则取； 若，则取。( )0(1)0011( )0( )()f lfllFffl 若， 则由介值定理知：，即。