【五年经典推荐 全程方略】2022届高三数学 专项精析精炼 2022年考点42 直线与圆锥曲线的位置关系.doc

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1、考点42 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1. (2014湖北高考文科T8)设a,b是关于t的方程t2cos+tsin=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线 -=1的公共点的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【解题提示】求出过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线为y=-x,结合双曲线的渐近线方程,可得结论.【解析】选A.由于a,b是关于t的方程t2cos+tsin=0的两个不等实根,所以a+b=-,ab=0,过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线为y-a2= (x-a),即y=(b+a)x-ab,即y=-x,因为双曲线 -=1的一条渐近线方程为

2、y=-x,所以过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线 -=1的公共点的个数为0.2.（2014辽宁高考文科8）已知点在抛物线的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为【解题提示】由抛物线的定义知的值，也就确定了抛物线的方程和焦点坐标；利用直线的斜率公式求出直线的斜率【解析】选.根据已知条件得，所以从而抛物线方程为，其焦点从而直线的斜率为二、填空题3.（2014安徽高考文科15）若直线与曲线满足下列两个条件： 直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线在点处“切过”曲线：直线在点处“切过”曲线：直线在点处“切

3、过”曲线：直线在点处“切过”曲线：直线在点处“切过”曲线：【解题提示】根据各选项分别判断。 【解析】根据题意满足条件的有（1）（3）（4），剩余选项（2）（5）都在切线的一边。答案：4.（2014安徽高考理科14）设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为_【解题提示】构造直角三角形，利用线段平行、垂直关系及点A,B在椭圆上求得参数b.【解析】如图所示，设，作,则 又点A,B在椭圆上，所以与联立解得。所以椭圆方程为。5. （2014湖南高考文科14）平面上以机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等.若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是 【解题

4、提示】根据抛物线的定义和直线与圆锥曲线的关系求解。【解析】把机器人看做一个动点，则根据抛物线定义知道它的轨迹为抛物线，其方程为，过点且斜率为的直线方程为，两个方程联立，消去y得，由题意，所以。答案：三、解答题6. (2014新课标全国卷高考理科数学T20)(本小题满分12分)设F1,F2分别是椭圆+=1的左右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率.(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且=5,求a,b.【解题提示】(1)利用直线MN的斜率为再结合a2=b2+c2表示出关于离心率e的方程,解方程求得离心率.(2)结合图形,利用椭

5、圆的性质和焦半径公式求得a,b.【解析】(1)因为由题知, =,所以=,且a2=b2+c2.联立整理得:2e2+3e-2=0,解得e=.所以C的离心率为.(2)由三角形中位线知识可知,MF2=22,即=4.设F1N=m,由题可知MF1=4m.由两直角三角形相似,可得M,N两点横坐标分别为c,- c.由焦半径公式可得:MF1=a+ec,NF1=a+e,且MF1NF1=41,e=,a2=b2+c2.联立解得a=7,b=2.所以,a=7,b=2.7. （2014湖南高考文科20）（本小题满分13分）如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.（

6、1） 求的方程；（2） 是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.【解题提示】利用椭圆的定义和直线与圆锥曲线位置关系，联立方程组，求解。【解析】（1）设的焦距为，由题意知，从而因为点，在双曲线上，所以，故由椭圆的定义知于是，故的方程分别为（2）不存在符合题设条件的直线（i）若直线垂直于x轴，因为与只有一个公共点，所以直线的方程为或当时，易知,所以，此时， 当，同理可知(ii)若直线不垂直于x轴，设的方程为由得当与相交于A,B两点时，设，则是上述方程的两个实根，从而，于是由得因为直线与只有一个公共点，所以上述方程的判别式化简，得。因此于是即，故综合（i）（ii）可知，不存

7、在符合题设条件的直线8.(2014广东高考文科T20)(14分)已知椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.【解题提示】(1)由c,e,求出b得椭圆方程,(2)要分切线斜率是否存在加以讨论.【解析】(1)因为c=,离心率e=,所以a=3,b=2,椭圆C的标准方程为+=1.(2)方法一:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切线方程为y-y0=k(x-

8、x0),代入+=1中,整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0,切线与椭圆只有一个公共点,则=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,进一步化简得(-9)k2-2x0y0k+-4=0.因为两条切线相互垂直,所以k1k2=-1,也就是=-1,则+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13,所以点P的轨迹方程为+=13.方法二:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在

9、时,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1且+=1.两条切线方程分别为+=1和+=1,因为两条切线都过点P(x0,y0),所以+=1且+=1,因为两条切线相互垂直,所以k1=,k2=且k1k2=-1,也就是=-1,整理得+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13,所以点P的轨迹方程为+=13.9.(2014广东高考理科)(14分) 已知椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.【解题提示】(1)

10、由c,e,求出b得椭圆方程,(2)要分切线斜率是否存在加以讨论.【解析】(1)因为c=,离心率e=,所以a=3,b=2,椭圆C的标准方程为+=1.(2)方法一:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切线方程为y-y0=k(x-x0),代入+=1中,整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0,切线与椭圆只有一个公共点,则=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,进一步化简得(-9)k2-2x0y0k+-4

11、=0.因为两条切线相互垂直,所以k1k2=-1,也就是=-1,则+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13,所以点P的轨迹方程为+=13.方法二:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1且+=1.两条切线方程分别为+=1和+=1,因为两条切线都过点P(x0,y0),所以+=1且+=1,因为两条切线相互垂直,所以k1=,k2=且k1k2=-1,也就是=-1,整理得+=13.显然,点(3,2

12、),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13,所以点P的轨迹方程为+=13.10.（2014福建高考理科19）（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为. （1）求双曲线的离心率； （2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公 共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。【解题指南】由渐近线可知，由基本量关系式求；设直线，再根据条件建立k,m的两个方程【解析】解法一：(1)双曲线的渐近线分别为，1分，有，即，于是双曲线的离心率；3分(2)由(1)知，双曲线E的方程为.设直线

13、与轴相交于点，当轴时，若直线与双曲线E有且只有一个公共点，则，又因为的面积为8，即，解得，此时双曲线E的方程为.6分若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为.以下证明：当直线不与轴垂直时，双曲线也满足条件，7分设直线的方程，依题意，得或，8分则，记，由得，同理，由得，即，10分由得，又，即直线与双曲线E有且只有一个公共点.12分因此，存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程只能为13分方法二：(1)同方法一；(2)由(1)知，双曲线E的方程为.设直线的方程为，依题意得，由得，同理，设直线与轴相交于点，则，由得，由得，直线与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当，即，即，有，因此，存在

14、总与直线有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程只能为.方法三：(1)同方法一；(2)当直线不与轴垂直时，设直线，依题意得或，由得，由，得，又因为的面积为8，所以，而，化简得，即，由(1)得双曲线E的方程为，由得，因为，直线与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当，即，有，双曲线E的方程为，当轴时，由的面积为8，可得，又知与双曲线有且只有一个公共点，综上，存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程只能为.11. （2014辽宁高考理科20）（本小题满分12分）圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.（）求的方程；（）

15、椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求的方程.【解析】（）设切点坐标为，.则切线斜率为切线方程为，即，而，所以切线方程为.切线与两坐标轴的正半轴的交点为，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形面积为由（当且仅当时取最大值，即有最小值，此时点的坐标为.由题意得解得故的方程为（）由（1）知，椭圆的焦点为，因此设椭圆的方程为.由点在椭圆上，得，解得；因而的方程为当直线的斜率不存在时，的方程为，易知,以线段AB为直径的圆不经过点P；不合题意.当直线的斜率存在时，设的方程为,，则是方程组的解.整理得由韦达定理， 所以 由题意知,从而因为所以即所以

16、将代入解得或因此的方程为或即或12. （2014辽宁高考理科20）（本小题满分12分）圆的切线与错误！未找到引用源。轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为.（）求点的坐标；（）焦点在错误！未找到引用源。轴上的椭圆错误！未找到引用源。过点错误！未找到引用源。，且与直线交于两点，若的面积为，求错误！未找到引用源。的标准方程.【解析】（）设切点坐标为，.则切线斜率为切线方程为，即，而，所以切线方程为.切线与两坐标轴的正半轴的交点为，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形面积为由（当且仅当时取最大值，即有最小值，此时点的坐标为.（）设C的方程为，点，则是方程组的解.整理得，由

17、伟达定理得，又所以而点到直线的距离所以则又由点在C上知.解得.故所求C的方程为13. （2014山东高考理科21）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.（）求的方程；（）若直线，且和有且只有一个公共点，（）证明直线过定点，并求出定点坐标；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.【解题指南】（）由抛物线的定义及已知条件点的横坐标为3时，为正三角形.可求得p的值.（）（）先设出点A的坐标,根据表示出D点坐标，然后根据求出AE的方程，即可判断AE是否过定点.（）可利用设出的A点坐标表示出

18、的面积，然后利用基本不等式求出最值.【解析】（）由题意知设，因为,由抛物线的定义知，解得t=3+p或t=-3(舍去)，由，解得p=2.所以抛物线的方程为.（）（）由（）知F(1，0)因为,则，故直线AB的斜率，因为直线和直线AB平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意设.当，可得直线AE的方程为，由，整理可得，直线AE恒过点F（1,0），直线AE的方程为x=1，过点F（1,0），所以直线AE过定点F（1,0）.（ii）由（i）知直线AE过焦点F（1,0），所以，设直线AE的方程为x=my+1,因为点在直线AE上，故,直线AB的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得所以，可求得，所以点B到直

19、线AE的距离为则的面积14. （2014山东高考文科21） 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（）求椭圆的方程；（）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点.（i）设直线的斜率分别为.证明存在常数使得，并求出的值；（ii）求面积的最大值.【解题指南】（）求椭圆的方程即求出a,b,的值即可.（）可先设出直线方程，联立，利用韦达定理表示，找出两个斜率之间的关系，第二小问，可直接用表示出来面积，再利用基本不等式求出最大值.【解析】(1)设直线与椭圆交于两点.不妨设点为直线和椭圆在第一象限的交点.(2)(i)设，则，因为直线AB的斜率，又,所以直线AD的斜率设直线AD的方程为，由题意知.由可得.所以因此.由题意知所以所以直线BD的方程为.令y=0，得可得所以.因此存在常数使得结论成立.（ii）直线BD的方程为.令x=0得，即，由（i）知可得的面积.因为，当且仅当时等号成立，此时S取得最大值，所以的面积为最大值.20