【北京特级教师 同步复习精讲辅导】2022-2022高中数学 推理和证明综合题问题课后练习 新人教版选修2-2.doc

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1、推理和证明综合问题课后练习观察下面几个等式（a-b）（a+b）=a2-b2（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4（a-b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）=a5-b5可得到猜想：an-bn= 设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有a+bc+h成立，某同学通过类比得到如下四个结论：a2+b2c2+h2；a3+b3c3+h3；a4+b4c4+h4；a5+b5c5+h5其中正确结论的序号是 ，进一步类比得到的一般结论是 下列是关于复数的类比推理：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；由实数绝对

2、值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2；已知a，bR，若a-b0，则ab类比得已知z1，z2C，若z1-z20，则z1z2；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义其中推理结论正确的是 下面使用类比推理正确的是（）A直线,则，类推出：向量，则B同一平面内，直线a，b，c，若ac，bc，则ab类推出：空间中，直线a，b，c，若ac，bc，则abC实数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a24b类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a24bD以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程为x2+y2=r2类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球

3、的方程为x2+y2+z2=r2 已知x, y, z均为正数，求证： + + + + 已知a, b, c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则 ()AS2P BPSP DPS2P已知a 3，求证：在某两个正数x, y之间，若插入一个数a，使x, a, y成等差数列，若插入两个数b, c，使x, b, c, y成等比数列，求证：(a+1)2(b+1)(c+1)已知数列an满足a1=0, a2=1，当nN+时，an+2=an+1+an，求证：数列an的第4m+1项(mN+)能被3整除用数学归纳法证明：若nN+，求证：cos coscoscos=推理和证明综合问题课后练习参考答

4、案（a-b）（an+an-1b+abn-1+bn）详解：由题意，当n=1时，有（a-b）（a+b）=a2-b2；当n=2时，有（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；当n=3时，有（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4；当n=4时，有（a-b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）=a5-b5；所以得到猜想：当nN*时，有（a-b）（an+an-1b+abn-1+bn）=an-bn；故答案为：（a-b）（an+an-1b+abn-1+bn），an+bncn+hn（nN*）详解：在直角三角形ABC中，a=csinA，b=ccosA，ab=ch，所以h=csinAcosA于是a

5、n+bn=cn（sinnA+cosnA），cn+hn=cn（1+sinnAcosnA）an+bn-cn-hn=cn（sinnA+cosnA-1-sinnAcosnA）=cn（sinnA-1）（1-cosnA）0所以an+bncn+hn（nN*）详解：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，正确；由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2，这两个长度的求法不是通过类比得到的故不正确；对于：已知z1，z2C，若z1-z20，则z1z2；因两个复数不能比较大小，故错；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义故正确D详解：若向量，则不正确，故A错误；空间内，直

6、线a与b可以相交、平行、异面，故B不正确；方程x02+ix0+（-1i）=0有实根，但a24b不成立，故C不正确；设点P（x，y，z）是球面上的任一点，由|OP|=r，得，故D正确见详解详解：因为x, y, z均为正数，所以 + = ，同理得 + ， + (当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立)将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得： + + + + D详解：因为a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca，所以a2+b2+c2ab+bc+ca，即SP又三角形中|a-b|c，所以a2+b2-2abc2，同理b2-2bc+c2a2，c2-2ac+a2b2，所以a2+b2+c2 2

7、(ab+bc+ca)，即S0, b0, c0，要证(a+1)2(b+1)(c+1)，只需证a+1，因为=+1，所以只需证2ab+c，而2a =，所以只需证b+c，即b3+c3bc(b+c)，(b+c)(b2+c2-bc)bc(b+c)，而b+c0，则只需证b2+c2-bcbc，即(b-c)20，上式显然成立所以原不等式成立见详解详解：(1)当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=(a2+a1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3即当m=1时,第4m+1项能被3整除(2)假设当m=k(k1)时，a4k+1能被3整除，则当m=k+1时，a4(k+1)+1=a

8、4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2=2(a4k+2+a4k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1显然,3a4k+2能被3整除，又由假设知a4k+1能被3整除所以3a4k+2+2a4k+1能被3整除即当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除由(1)和(2)知：对于nN+，数列an中的第4m+1项能被3整除见详解详解：(1)n=1时，左边=cos，右边= =cos，左边=右边，等式成立(2)假设n=k(k1, kN+)时，等式成立，即coscoscoscos=，当n=k+1时，(cos coscoscos)cos= =cos=即当n=k+1时，等式也成立由(1)(2)知，等式对nN+均成立- 5 -