向量及线性运算ppt课件.ppt

《向量及线性运算ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量及线性运算ppt课件.ppt（42页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 一、向量概念一、向量概念 二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三三、空间直角坐标系空间直角坐标系 四四、利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算 五五、向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为起点，为起点，2M为终点的有向线段为终点的有向线段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .21MMeae零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量

2、：一、向量的概念一、向量的概念或或或或或或a 有向线段的长度表示向量的大小，有向线有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。段的方向表示向量的方向。 约定：零向量的方向是任意的约定：零向量的方向是任意的自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向径：向径：aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . OMMba=向量的平行：向量的平行： 方向相同或相反。方向

3、相同或相反。ba/向量的共面：向量的共面：一组向量，当把它们的起点放在同一一组向量，当把它们的起点放在同一点时，其终点与公共起点在同一平面上。点时，其终点与公共起点在同一平面上。1 加法：加法：cba abc特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac 二、向量的线性运算二、向量的线性运算1 1、向量的加减法、向量的加减法A AabcA AC C C C 向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 减法减法)( baba

4、 abb b c)( bac ba ba ab|)1(baba 三角不等式三角不等式|)2(baba ba 设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为, 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa aa2a21 2 2、向量与数的乘法、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(例例1 1 化简化简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(

5、.252ba 同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aeaaeaa| .|aeaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.的关系的关系与与分析分析aeaa|, 0|)1( a,|同方向同方向与与aeaa| |)2(aea|aea 1| a|a ,|大小相等大小相等与与aeaa的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理aba01 两个向量的平行关系两个向量的平行关系数轴：数轴：1ioP P由定理由定理1，存在唯一一个实数，存在唯一一个实数 x , 使

6、得使得ixOP 因此，因此，P点点OPx实数实数x我们称实数我们称实数 x 为数轴上点为数轴上点 P 的坐标的坐标.ab ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系.三、空间直角坐标三、空间直角坐标ijkxyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限点点M有序数组有序数组),(zyxM xyzoPQRNKHOMNMON NMPNOP kzjyix OMkzjyix 因此，在空间直角坐标系因此，在空间直角坐

7、标系 Oxyz 中中有序数组有序数组),(zyx即称为点即称为点M 的坐标，的坐标，又称为向量又称为向量 的坐标。的坐标。OM)0 , 0 ,(x)0 , 0(y), 0 , 0(z)0 ,(yx), 0(zy), 0 ,(zx),(zyxOROQOP 任给向量任给向量 ，对应有点，对应有点rrOMM 使使,xyzo),(zyxM ), 0 , 0(zR)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ如图所示：如图所示：空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示kzj yi xr 则有则有的坐标表示式的坐标表示式上式称为向量上式称为向量 r),(rzyx 记作：记作：四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标

8、作向量的线性运算向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ba ;)()()(kbajbaibazzyyxx ba ;)()()(kbajbaibazzyyxx a .)()()(kajaiazyx ),(zzyyxxbababa ),(zzyyxxbababa ),(zyxaaa 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为为两两已已知知点点， ABxyzoABOAOB ),(),(111222zyxzyx ),(121212zzyyxx kzzjyyixx)()()(121212 即向量即向量A

9、B等于终点B的坐标减去起点A的坐标解解),(111zzyyxxAM ),(222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，ABMxyzo由题意知：由题意知：MBAM ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为为中中点点时时， =1 ,221xxx ,221yyy .221zzz ABMxyzo.01ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，

10、那末向量设向量设向量定理定理),(zyxaaaa ),(zyxbbbb 设设则则),(),(zyxzyxaaabbb zzyyxxababab 即两向量平行的充要条件是它们对应的坐标成比例。即两向量平行的充要条件是它们对应的坐标成比例。注记：若向量注记：若向量a中有一个坐标为中有一个坐标为0，例如，例如, 0, 0, 0 zyxaaa则上式应理解为则上式应理解为., 0zzyyxababb （两向量平行的坐标表示）（两向量平行的坐标表示）设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM

11、1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影1 1、两点间的距离公式、两点间的距离公式,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M,222212NMPNPMd 设向量设向量),(zyxaaar 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式222|zyxaaar 2 2、向量的模、向量

12、的模xyzo),(zyxaaaM), 0 , 0(zaR)0 , 0 ,(xaP)0 , 0(yaQr解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因为因为P在在x轴上，轴上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概

13、念：, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 3 3、方向角与方向余弦、方向角与方向余弦,2 若若,垂直垂直与与则称则称ba.ba 记为记为非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyza cos,cos,

14、cos称为向量称为向量 的方向余弦的方向余弦a由图分析可知由图分析可知 cos|ax cos|ay cos|az xyza0),( zyxa设设),(zyxM)cos,cos,(cos)1( xyz)|,|,|(azayax ),(|1zyxa |aa ae 以以 的方向余弦为坐标的向量的方向余弦为坐标的向量a就是与就是与 同方向的单位向量。同方向的单位向量。a方向余弦的特征方向余弦的特征|cos)2(ax ,222zyxx 由图分析可知由图分析可知 cos|ax cos|ay cos|az xyza0),( zyxa设设),(zyxMxyz方向余弦的特征方向余弦的特征,cos222zyxy

15、,cos222zyxz 称为向量方向余弦的坐标表示式称为向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征 xyza)cos,cos,(cos)1( ae 以以 的方向余弦为坐标的向量的方向余弦为坐标的向量a就是与就是与 同方向的单位向量。同方向的单位向量。a|cos)2(ax |cosay |cosaz 1coscoscos)3(222 0),( zyxa设设,222zyxx ,222zyxy ,222zyxz 解解)20,23,21( 21cos ,32 例例6 已知两点已知两点 和和 ，计算，计算)2, 2, 2(1M)0, 3, 1(2M21MM)2, 1

16、, 1( |21MM222)2(1)1( 24 ,21 ,21cos ,22cos ,3 .43 21MM向量向量 的模、方向余弦和方向角。的模、方向余弦和方向角。例例 7 7 求平行于向量求平行于向量kjia676 的单位向量的单位向量. 解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向akjia676 ,11 ,116117116kji ae .116117116kji （1）与）与 同向的单位向量同向的单位向量a|aaea 222)6(76| a),6, 7, 6( )116,117,116( （2）与）与 反向的单位向量反向的单位向量a)116,117,1

17、16( 解解设向量设向量21PP的方向角为的方向角为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .32,3 或或设设2P的坐标为的坐标为),(zyx,21PP)3, 0, 1( zyx例例 7 7 设有向量设有向量21PP，已知，已知221 PP，它与，它与x轴和轴和y轴的夹角分别为轴的夹角分别为3 和和4 ， 如果， 如果1P的坐标为的坐标为)3 , 0 , 1(，求求2P的坐标的坐标. 解解设向量设向量21PP的方向角为的方向角为 、 、 .21cos ,21cos ,22cos 设设2P的坐标为的坐标为),(zyx,21PP)3, 0,

18、 1( zyx1cos x 21PP21 x21 x21 , 2 x例例 7 7 设有向量设有向量21PP，已知，已知221 PP，它与，它与x轴和轴和y轴的夹角分别为轴的夹角分别为3 和和4 ， 如果， 如果1P的坐标为的坐标为)3 , 0 , 1(，求求2P的坐标的坐标. 解解设向量设向量21PP的方向角为的方向角为 、 、 .21cos ,21cos ,22cos 设设2P的坐标为的坐标为),(zyx,21PP)3, 0, 1( zyx0cos y 21PP20 y22 , 2 y例例 7 7 设有向量设有向量21PP，已知，已知221 PP，它与，它与x轴和轴和y轴的夹角分别为轴的夹角

19、分别为3 和和4 ， 如果， 如果1P的坐标为的坐标为)3 , 0 , 1(，求求2P的坐标的坐标. 解解设向量设向量21PP的方向角为的方向角为 、 、 .21cos ,21cos ,22cos 设设2P的坐标为的坐标为),(zyx,21PP)3, 0, 1( zyx3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz或或2P的坐标为的坐标为).2 , 2, 2()4 , 2, 2(或或21 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴上的分向量为轴上的分向量为 i13, 在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7. 空间一点在轴上的投影空间

20、一点在轴上的投影u AA 六、向量在轴上的投影六、向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uOMM er向量向量 称为向量称为向量 在在 u 轴上的分向量。轴上的分向量。 MO rMO e 设设称数称数 为为 在在 u 轴上的投影轴上的投影r记为记为rjuPr ur )(或或空间一向量在坐标轴上的投影空间一向量在坐标轴上的投影设向量设向量),(zyxaaar xyzo),(zyxaaaM), 0 , 0(zaR)0 , 0 ,(xaP)0 , 0(yaQr,Prxxarj 则则zzyyarjarj Pr,PrrjuPr cos|r uOMM er投影为正；投影为正；投影为负

21、；投影为负；投影为零；投影为零；(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 .PrPr)(Prbjajbajuuu AA OBB （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）uabba |,|PrOAaju |,|PrBObju |,|)(PrBAbaju |BOOABA 证：因为证：因为性质性质3：ajajuuPr)(Pr 要证：要证：作作 业业:习题习题7-2：6，8，9，12，131 1、把把空空间间中中一一切切单单位位向向量量归归结结到到共共同同的的始始点点，则则终终点点 构构成成_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 思思 考考 题题2 2、把把平平行行于于某某一一直直线线的的一一切切单单位位向向量量归归结结到到共共同同的的 始始点点，则则终终点点构构成成_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 3 3、要要使使baba 成成立立，向向量量ba,应应满满足足_ _ _ _ _ _ _ _ 4 4、要要使使baba 成成立立，向向量量ba,应应满满足足_ _ _ _ _ _ _ _ 半径为半径为 1 1 的球面的球面 距距离离为为 2 2 的的两个点两个点 ba 同向同向与与ba