【火线100天】2021中考数学 滚动小专题八 圆的有关计算与证明.doc

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1、圆的有关计算与证明 圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系.例 (2014江西)如图1，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，AB4，BC2，P是O上半部分的一个动点，连接OP，CP.(1)求OPC的最大面积；(2)求OCP的最大度数；(3)如图2，延长PO交O于点D，连接DB.当CPDB时，求证：CP是O的切线.【思路点拨】(1)当OPOC时OPC的面积最大，利用已知条件即可求出OPC的最大面积；(2)当PC与O相切时

2、OCP的度数最大，利用三角函数可求出OCP的最大度数；(3)连接AP，BP，由圆的有关知识可得OPCPBD，从而得出OPCPBD，继而可证得结论【解答】(1)OPC的边长OC的是定值，当OPOC时，OC边上的高为最大值，此时OPC的面积最大.AB4，BC2，OPOB2，OCOB+BC4.SOPCOCOP424,即OPC的最大面积为4.(2)当PC与O相切，即OPPC时，OCP的度数最大.在RtOPC中，OPC90，OC4，OP2，sinOCP，OCP30.(3)证明：如图2，连接AP，BP.AOPDOB，APDB.CPDB，APPC，AC.AD，CD.OCPD4，PCBD，OPCPBD，OPC

3、PBD.PD是O的直径，PBD90，OPC90，OPPC.又OP是O的半径，CP是O的切线.方法归纳：与圆有关的计算和证明通常都与切线有关，切线的性质和判定的运用是解决这类题目的关键.1.(2014黄石)如图，A、B是圆O上的两点，AOB=120，C是AB弧的中点.(1)求证：AB平分OAC；(2)延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长.2.(2014昆明)如图，在ABC中，ABC=90，D是边AC上的一点，连接BD，使A=21，E是BC上的一点，以BE为直径的O经过点D.(1)求证：AC是O的切线；(2)若A=60，O的半径为2，求阴影部分的面积.(结果保留根号

4、和)3.(2014东营)如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交O于点D，F是BA延长线上一点，若CDB=BFD.(1)求证：FD是O的一条切线；(2)若AB=10，AC=8，求DF的长.4.(2013丽水)如图，在ABC中，AB=AC，BAC=54，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，过点B作O的切线，交AC的延长线于点F.(1)求证：BE=CE；(2)求CBF的度数；(3)若AB=6，求的长.5.(2014临沂)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30，以BC为直径的O与底边AB交于点D，过D作DEAC，垂足为E.(1)证明：DE为O的切线；(2)连接OE，若BC=4，求O

5、EC的面积.6.(2013泸州)如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDA=CBD.（1）求证：CD2=CACB；（2）求证：CD是O的切线；（3）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tanCDA=.求BE的长.参考答案1.(1)证明：连接OC.AOB=120，C是AB弧的中点，AOC=BOC=60.OA=OC，ACO是等边三角形.OA=AC.同理OB=BC.OA=AC=BC=OB.四边形AOBC是菱形.AB平分OAC.(2)C为弧AB中点，AOB=120，AOC=60.OA=OC，OAC是等边三角形.OA=AC，AP=AC.APC=30.OPC是直角三角形.PC=

6、OC=.2.(1)证明：OD=OB，1=ODB，DOC=1+ODB=21.又A=21，DOC=A.A+C=90，DOC+C=90，ODDC.AC是O的切线.(2)A=60，C=30，DOC=60.在RtDOC中，OD=2，CD=OD=2.阴影部分的面积=SCOD-S扇形DOE=22-=2-.3.(1)证明：CDB=CAB，CDB=BFD，CAB=BFD，FDAC.AEO=90，FDO=90，FD是O的一条切线.(2)AB=10，AC=8，DOAC，AE=EC=4，AO=5，EO=3.AEFD，AEOFDO.=.=，解得FD=.4.(1)证明：连接AE，AB是O的直径，AEB=90，即AEBC.

7、又AB=AC，BE=CE.(2)BAC=54，AB=AC，ABC=63.又BF是O的切线，ABF=90，CBF=ABF-ABC=27.(3)连接OD.BAC=54，BOD=108，AOD=72.又AB=6，OA=3.=.5.(1)证明：连接OD，CD.BC为O直径，BDC=90，即CDAB.ABC是等腰三角形，AD=BD.OB=OC，OD是ABC的中位线.ODAC.DEAC，ODDE.D点在O上，DE为O的切线.(2)A=B=30，BC=4，CD=BC=2，BD=BCcos30=2.AD=BD=2，AB=2BD=4，SABC=ABCD=42=4.DEAC，DE=AD=2=，AE=ADcos30=3.SODE=ODDE=2=，SADE=AEDE=3=.SBOD=SBCD=SABC=144=，SOEC=SABC-SBOD-SODE-SADE=4-=.6.(1)证明：CDA=CBD，C=C，CADCDB,=.CD2=CACB.(2)证明：连接OD，AB是O的直径，ADB=90.OB=OD，OBD=ODB.OBD=CDA，CDA=ODB.ODC=ADB=90,CD是O的切线.(3)tanCDA=，tanCBD=.在RtABD中，tanCBD=，由(1)得CADCDB，=.CD=8.设BE=x，则DE=x，由勾股定理得x2+122=(x+8)2.解得x=5，即BE=5.6