专题9.3 带电粒子在匀强磁场中的运动（讲）（解析版）.doc

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1、专题9.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 1.解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题2.解决带电粒子在磁场中运动的多解问题。知识点一 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题1分析方法(1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值(2)一个“解题流程”，突破临界问题(3)从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件2四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界

2、相切(2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)【例1】（四川雅安中学2019届高三模拟）如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S.某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初

3、速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场已知AOC60，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为()A.BC. D【答案】B【解析】由左手定则可知，粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动，由于粒子速度大小都相同，故轨迹弧长越小，粒子在磁场中运动时间就越短；而弧长越小，所对弦长也越短，所以从S点作OC的垂线SD，则SD为最短弦，可知粒子从D点射出时运行时间最短，如图所示根据最短时间为，可知OSD为等边三角形，粒子圆周运动半径RSD，过S点作OA垂线交OC于E点，由几何关系可知SE2SD，SE为圆弧轨迹的

4、直径，所以从E点射出，对应弦最长，运行时间最长，且t，故B正确知识点二 带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解多解形成原因一般包含4个方面：1带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解2磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解3带电粒子速度不确定形成多解有些题目只告诉了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须要考虑由于速

5、度的不确定而形成的多解4带电粒子运动的往复性形成多解空间中部分是电场，部分是磁场，带电粒子在空间运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解【方法技巧】巧解带电粒子在磁场中运动的多解问题1分析题目特点，确定题目多解的形成原因2作出粒子的运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)3若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件考点一 临界、极值问题【典例1】(2018江苏卷)如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O点，各区域磁感应强度大小相等某粒子质量为m、电荷量为q，从O沿轴线射入磁场当

6、入射速度为v0时，粒子从O上方处射出磁场取sin 530.8，cos 530.6.(1)求磁感应强度大小B；(2)入射速度为5v0时，求粒子从O运动到O的时间t；(3)入射速度仍为5v0，通过沿轴线OO平移中间两个磁场(磁场不重叠)，可使粒子从O运动到O的时间增加t，求t的最大值【答案】(1)B(2)t(3)tm【解析】(1)粒子做圆周运动的半径r0，由题意知r0，解得B.(2)设粒子在矩形磁场中的偏转角为，粒子运动半径r.由drsin ，得sin ，即53在一个矩形磁场中的运动时间t1，解得t1直线运动的时间t2，解得t2则t4t1t2.(3)将中间两磁场分别向中央移动距离x粒子向上的偏移量

7、y2r(1cos )xtan 由y2d，解得xd则当xmd时，t有最大值粒子直线运动路程的最大值sm(2d2xm)3d增加路程的最大值smsm2dd增加时间的最大值tm.【举一反三】(2016全国卷)平面OM和平面ON之间的夹角为30，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q0)，粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为()A BCD【答案】D【解

8、析】如图所示，粒子在磁场中运动的轨道半径为R。设入射点为A，出射点为B，圆弧与ON的交点为P。由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，ABR。由几何图形知，APR，则AOAP3R，所以OB4R。故选项D正确。【方法技巧】解决临界极值问题方法技巧(1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。(2)一个“解题流程”，突破临界问题(3)从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。【变式

9、1】（陕西西安中学2019届高三模拟）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，有一个圆形区域的匀强磁场(图中未画出)，磁场方向垂直于xOy平面，O点为该圆形区域边界上的一点。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)从O点以初速度v0沿x轴正方向进入磁场，已知粒子经过y轴上P点时速度方向与y轴正方向夹角为30，OPL，求：(1)磁感应强度的大小和方向；(2)该圆形磁场区域的最小面积。【答案】(1)方向垂直于xOy平面向里(2)L2【解析】(1)由左手定则知磁场方向垂直xOy平面向里。粒子在磁场中做弧长为圆周的匀速圆周运动，如图所示，粒子在Q点飞出磁场。设其圆心为O，半径为R。由几何关系有(L

10、R)sin 30R，所以R。由牛顿第二定律有qv0Bm，故R由以上各式得磁感应强度B。(2)设磁场区域的最小面积为S。由几何关系得直径RL所以SL2。考点二 “动态圆”与“放缩圆”【典例2】（广西南宁二中2019届高三模拟）如图所示，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以相同的速率通过P点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的。将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相应的弧长变为原来的一半，则等于()A B C2 D3【答案】B【解析】当轨道半径小于或等于磁场区域半径时

11、，粒子射出圆形磁场的点离入射点最远距离为轨迹直径。如图所示，当粒子从圆周射出磁场时，粒子在磁场中运动的轨道直径为PQ，粒子都从圆弧PQ之间射出，因此轨道半径r1Rcos 30R；若粒子射出的圆弧对应弧长为“原来”的一半，即周长，对应的弦长为R，即粒子运动轨迹直径等于磁场区域半径R，半径r2，由r可得。【方法技巧】带电粒子在磁场中做圆周运动轨迹的圆心位置变化的问题称为动态圆问题。常用的有两种模型：(1)确定的入射点O和速度大小v，不确定速度方向在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B的匀强磁场中，在O点有一粒子源在纸面内，朝各个方向发射速度大小为v，质量为m，电荷量为q的带电粒子(重力不计)，这些带

12、电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动。其特点是：各动态圆圆心O1、O2、O3、O4、O5(取五个圆)的轨迹分布在以粒子源O为圆心，R为半径的一个圆周上(如图虚线所示)。带电粒子在磁场中能经过的区域是以粒子源O为圆心，2R为半径的大圆(如图实线所示)。各动态圆相交于O点。这种方法称为“平移圆法”。(2)确定入射点O和速度方向，不确定速度大小在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B的匀强磁场中，在O点有一粒子源在纸面内，沿同一方向发射速度为v、质量为m、电荷量为q的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动。其特点是：各动态圆的圆心(取七个圆)分布在与速度方垂直的同一

13、条直线上，如图所示。各动态圆的半径R各不相同。各动态圆相交于O点。这种方法称为“放缩圆法”。【变式2】（湖北华中师范大学附中2019届高三质检）如图所示，S为粒子源，该粒子源能在图示纸面内360范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带负电荷量为e的粒子，MN是一块足够大的竖直挡板且与S的水平距离OSL，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场。 (1)若粒子的发射速率为v0，要使粒子一定能经过点O，求磁场的磁感应强度B的条件；(2)若磁场的磁感应强度为B0，要使S发射出的粒子能到达挡板，则粒子的发射速率为多大？(3)若磁场的磁感应强度为B0，从S发射出的粒子的速率为，则挡板上出现粒子的范围为多大？

14、【答案】(1)B(2)v0(3)()L【解析】粒子从点S发出后受到洛伦兹力作用而在纸面上做匀速圆周运动，若使磁感应强度的大小变化，粒子的轨迹构成过S点的一组动态圆，不同半径的圆对应不同大小的磁感应强度，如图所示。 (1)要使粒子一定能经过点O，即SO为圆周的一条弦，则粒子做圆周运动的轨道半径必满足R，即解得B。(2)要使粒子从S发出后能到达挡板，则粒子至少能到达挡板上的O点，故粒子做圆周运动的半径R，即解得v0。(3)当从S发出的粒子的速率为时，粒子在磁场中的运动轨迹半径R2L，如图所示，最低点为动态圆与MN相切时的交点P1，最高点为动态圆与MN相割时的交点P2，且SP2是轨迹圆的直径，粒子击

15、中挡板的范围在P1、P2间。对SP1弧分析，由图知OP1L对SP2弧分析，由图知OP2L故粒子出现的范围为()L。考点三 带电粒子在磁场中运动的多解问题【典例3】（山东牟平一中2019届高三模拟）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷k，则质子的速度可能为()A2BkL B C D【答案】BD【解析】因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60，所以质子运行半径r(n1、2、3

16、)，由洛伦兹力提供向心力得Bqvm，即vBk(n1、2、3)，选项B、D正确。【方法技巧】1带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中的运动轨迹不同，因而形成多解。2磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须考虑由磁感应强度方向不确定而形成的多解。3临界状态不唯一形成多解如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接穿过去了，也可能转过180从入射界面反向飞出，于是形成了多解。4运动的往复性形成多解带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，往往具有往复性，因而形成多解。【变式3】（江西临川一中2019届高三调研）如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM和NN是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少。【答案】(2)(q为正电荷)或(2)(q为负电荷)【解析】题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷。若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN相切的圆弧，轨道半径R，又dR解得v(2)若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN相切的圆弧，则有RdR解得v(2)。