2022高考数学 必考热点大调查16 三角函数的性质和解三角形问题.doc

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1、2014高考数学必考热点大调查：热点16三角函数的性质和解三角形问题【最新考纲解读】1.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2，正切函数在上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等)2.结合具体实例，了解yAsin(x)的实际意义；能借助计算器或计算机画出yAsin(x)的图象，观察参数A，对函数图象变化的影响3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型4正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题5应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【回归课本整合】1三角函数的定义域:(1

2、) 正弦函数、余弦函数的定义域都是R；(2) 正切函数定义域.2三角函数的值域：（1）正弦、余弦函数值域都是.对，当时，取最大值1；当时，取最小值1；对，当时，取最大值1，当 时，取最小值1.（2）正切函数值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值.3.三角函数的单调区间：（1）上单调递增，在单调递减；（2）在上单调递减，在上单调递增；（3） 在开区间内都是增函数.注意在整个定义域上不具有单调性.4.型单调区间的确定（A、0）的单调性，把看作一个整体，放在正弦函数的递增区间内解出，为上增函数；放在正弦函数的递减区间内解出为上减函数（）对与的单调区间的求解和上述类似.5.三角函数的周期性（1）正

3、弦函数、余弦函数的最小正周期都是2；正切函数的最小正周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期.（2）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.6型周期和的最小正周期都是；最小正周期.7.三角函数的对称性（1）正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；（2）余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线.注意:正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点.（3）正切

4、函数是奇函数，对称中心是.注意：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处.8.求角问题（1）内角和定理：三角形三角和为.任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.（2） 正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).正弦定理的变式：,；（3）余弦定理：，；（4）利用面积公式：，.9.求边问题（1）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（2）正弦定理的变式；（3）余弦定理:.变形式：；（4）利用面积公式：;（5）射影定理：.10.求三角形的面积问题三角形的面

5、积公式：（1）ahabhb（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）；（3）（其中为三角形内切圆半径）,； （4）.(与向量的数量积联系)11.求三角形的综合问题（1） 求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；.（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,达到角的统一或边的统一.（3）在ABC中，熟记并会证明：A，B，C成等差数列的充分必要条件是B=60；ABC是正三角形的充分必要条件是A、B、C成等差数列且成等比数列.（4）锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方；钝角角三角形三内角一个

6、为钝角一个角的余弦值为负值两锐角的和仍为锐角两个锐角对应的两边的平方和小于第三边的平方.（5）三角形内常见的不等关系;锐角中,;钝角中，设为钝角，则,.12.三角函数的最值求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：（1），设化为一次函数在闭区间上的最值求之；(2)，引入辅助角，化为求解方法同类型(1)；(3)，设，化为二次函数在上的最值求之；(4)，设化为二次函数在闭区间上的最值求之；(5)，设化为用法求值；当时，还可用平均值定理求最值；(6)根据正弦函数的有界性，可转换为解决；(7)的最值，可转化为讨论点与动点连线的斜率，而动点在单位圆上运动，利用

7、几何方法易得所求三角函数的最值.【方法技巧提炼】1如何判断函数的奇偶性根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(3)若为奇函数则有.2.如何确定函数当时函数的单调性 对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.3.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x取定义域内的每一个值时，都有f (x+T)=f (x).利用定义我们可采用取值进

8、行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期为.要特别注意两个公式不要弄混；(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变.4.余弦定理的重要应用三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见的几种变形形式，介绍如下.联系完全平方式巧过渡:由则.联

9、系重要不等式求范围：由，则当且仅当等号成立.联系数量积的定义式妙转化：在中，由.5.如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理已知量与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论，对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边对应的角，求其他边角，由于此时的三角形不能确定，应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式，可以利用正弦定理进行边角互换，这是高考中常见的形式；（

10、2）根据所给条件构造（1）的形式，便于利用正弦定理进行边角互换，体现的是转化思想的灵活应用.余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切的联系，常解决一下两类问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一.6.掌握三种类型，顺利求解三角最值 三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多.但是归纳起来常见的有下面三种类型：（1）可化为型函数值域：利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到的形式，然后借助题目中给定的的范围，确定的范围，最后利用的图象确定函数的值域. 如：、等. (2)可化为

11、型求函数的值域： 首先借助三角公式，把函数化成型，然后采用换元法，即令，构造关于的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解.如：、可转化为二次函数求值域；、可转化为对号函数求值域. (3)利用数性结合思想求函数的值域：此类题目需分析函数的结构特征，看能否转化为有几何含义的式子结构，有时也可以把函数图象画出来，直接观察确定函数的值域.如，常转化为直线的斜率的几何含义求解.【考场经验分享】1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如yAsin(x)(0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出

12、x所在的区间应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内3对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”4在解实际问题时，需注意的两个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决5. 利用正弦定理与余弦定理解题，经常利用转化思想，一个是边转化为角，另一个是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，也是我们利用正余弦定理化简式子的最终目的.对于两个定理都能用的题目，应优先考虑利用正弦定理，会给计算带来相对的简便.根据已

13、知条件中边的大小来确定角的大小，此时利用正弦定理去计算较小边所对的角，可避免分类讨论；利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是锐角还是钝角，但是计算麻烦.【新题预测演练】1.【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】当时，函数取得最小值，则函数 A是奇函数且图像关于点对称 B是偶函数且图像关于点对称 C是奇函数且图像关于直线对称 D是偶函数且图像关于直线对称2.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】设函数，且其图象关于直线对称，则 （ ）A.的最小正周期为，且在上为增函数B.的最小正周期为，且在上为减函数C.的最小正周期为，且在上为增函数D.的最小正周期为，

14、且在上为减函数3.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】函数，是A 周期为的奇函数B.周期为的偶函数C,周期为的奇函数D.周期为的偶函数4.【广东省华南师大附中2012-2013学年度高三第三次月考】将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线对称，则的最小正值为（）（A） （B） （C） （D）5.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】在中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件6.【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】要得到

15、函数的图象，只需将函数的图象（ ）A向左平移个单 B向右平移个单位 C向右平移个单 D向左平移个单位7.【安徽省2013届高三开年第一考】函数的部分图像如图所示，下列结论：其中正确的是（ ）A B C D8.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】在ABC中，若，则角C为A. B. 或 C. D. 9.【山东省济宁市2013届高三上学期期末考试】函数（其中）的部分图象如图所示，为了得到的图象，则只要将A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度10.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】函数的部分图象如图所示，其 中A，B两点之间

16、的距离为5，则f(x)的递增区间是11.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（ ）ABCD【答案】D12.【2013年山东省临沂市高三教学质量检测考试】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B为(A) (B) (C) (D) 13.【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】已知方程在有两个不同的解（），则下面结论正确的是：A B C D 14.【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】直线与相交于点，动点、分别在直线与上且异于点，若与的夹角为，则的

17、外接圆的面积为A. B. C. D. 15.【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试】在中，若，那么一定是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状不确定【答案】B16.【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】在中，内角所对的边分别为，其中，且面积为,则( )A. B. C. D. 17.【云南师大附中2013届高三适应性月考卷（三）】在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b=2，B=且sin2A+sin(A+C)=sinB，则ABC的面积为 .18.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】设ABC的内角A、B,C的对边分别为a、b、c

18、，且满足acosBbcosA，则的值是【答案】4【解析】19.【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】中，、分别是角、的对边，若，且，则的值为_.20.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】在中角、的对边分别是、，若，则_21.【天津耀华中学2013届高三年级第一次月考】在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为 ；22.【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试】在中，且，则此三角形为 .23.【北京市顺义区2013届高三第一次统练】在中,若,则 , .24.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】已知中，角A、B、C的对边分别是a,b

19、,c,且，,则 25.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】在ABC中，则_。26.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】（本小题共12分）已知函数，是的导函数（1）求函数的最小值及相应的值的集合；（2）若，求的值27.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】（本小题满分12分）已知函数，且在处的切线斜率为。（1）求a的值，并讨论在上的单调性；（2）设函数，其中m 0，若对任意的总存在，使得成立，求m的取值范围28.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】（本小题满分12分）已知函数的图象过点. （）求的值；（）在中，角，的对边分别是，.若，求的取值范围29.【南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试】（本小题满分14分）在，已知（1） 求角值；（2） 求的最大值.因为，30.【河北省唐山市20122013学年度高三年级期末考试】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （I）求角C的大小； （II）求的最大值12分31.【山东省潍坊市2013届高三3月第一次模拟考试】（本小题满分12分） 已知函数其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点 (I) 函数的达式； ()在ABC中a、b、c分别是角A、B、C的对边，角C - 12 -