【最高考】2021届高考数学二轮专题突破高效精练 第11讲 数列求和及其综合应用.doc

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1、第11讲数列求和及其综合应用1. 数列1(12)(124)(122n1)的前n项和为_答案：2n1n2解析：1(12)(124)(122n1)(222232n)n2(2n1)n2n1n2.2. 在数列an中，a12，an1anln，则an_答案：2lnn解析：累加可得3. 设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_成等比数列答案：4. 已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_. 答案：解析：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a133212(n1)n2n33，n1，

2、数列在1n6，nN*时单调减，在n7，nN*时单调增， n6时，取最小值5. 数列an满足a12，an1，bn，nN*，则数列bn的通项公式bn_答案：2n1解析：由条件得bn1|2|2bn，且b14，所以数列bn是首项为4，公比为2的等比数列，则bn42n12n1.6. 设a1，a2，a50是从1、0、1这三个整数中取值的数列，若a1a2a3a509，且(a11)2(a21)2(a501)2107，则a1，a2，a50中数字0的个数为_答案：11解析：(a11)2(a21)2(a501)2107，则(aaa)2(a1a2a50)50107， aaa39，故a1，a2，a50中数字0的个数为5

3、03911.7. 设Sn1234(1)n1n，则S9S12S21_答案：10解析：相邻两项合并得S9，S12，S21.8. 设数列anlog(n1)(n2)，nN*，定义使a1a2a3ak为整数的实数k为中国梦吉祥数，则在1，2 014内的所有中国梦吉祥数之和为_答案：2 026解析：a1a2a3aklog23log34log(k1)(k2)log2(k2)，仅当k2n2时，上式为中国梦吉祥数9. 如图所示，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另两个顶点Cn、Dn在函数f(x)x(x0)的图象上，若点Bn的坐标为(n，0)(n2，nN*)，矩形AnBnCnDn的周长记为an，则a2a3

4、a10_答案：216解析：由Bn的坐标为(n，0)(n2，nN*)，得Cn的坐标为，故Dn的坐标为，故an224n，故a2a3a104(2310)216.10. 已知数列an满足a1m(m为正整数)，an1若a61，则m所有可能的取值为_答案：4，5，32解析：显然，an为正整数，a61，故a52，a44，若a3为奇数，则43a31，即a31；若a3为偶数，则a38.若a31，则a22，a14，若a38，则a216，a15或32.11. 设数列an是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项的和，满足：aaaa，S77.(1) 求数列an的通项公式及前n项的和Sn；(2) 设数列bn满足bn2an，

5、其前n项的和为Tn，当n为何值时，有Tn512.解：(1) 由an是公差不为0的等差数列，可设ana1(n1)d，则由得整理，得由d0，解得所以ana1(n1)d2n7，Snna1dn26n.(2) 由(1)得an2n7，所以bn2an22n7，又4(n2)，b12a1，所以bn是首项为，公比为4的等比数列，所以它的前n项和Tn(4n1)，于是由Tn512，得4n3471，所以n8时，有Tn512.12. 数列an满足an2an12n1(nN*，n2)，a327.(1) 求a1，a2的值；(2) 是否存在一个实数t，使得bn(ant)(nN*)，且数列bn为等差数列？若存在，求出实数t；若不存

6、在，请说明理由；(3) 求数列an的前n项和Sn.解：(1) 由a327，得272a2231， a29. 92a1221， a12.(2) 假设存在实数t，使得bn为等差数列，则2bnbn1bn1(n2且nN*) 2(ant)(an1t)(an1t)， 4an4an1an1t， 4an42an2n11t， t1.即存在实数t1，使得bn为等差数列(3) 由(1)，(2)得b1，b2， bnn， an2n1(2n1)2n11，Sn(3201)(5211)(7221)(2n1)2n11352722(2n1)2n1n， 2Sn32522723(2n1)2n2n，由得Sn32222222322n1(2

7、n1)2nn12(2n1)2nn(12n)2nn1， Sn(2n1)2nn1.13. 已知数列an是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足aS2n1，令bn，数列bn的前n项和为Tn.(1) 求数列an的通项公式及数列bn的前n项和Tn；(2) 是否存在正整数m，n(1mn)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由解：(1) n1时，由aS1a1，且a10，得a11.因为an是等差数列，所以ana1(n1)d1(n1)d，Snna1dnd.于是由aS2n1，得1(n1)d22n1(2n1)(n1)d，即d2n2(2d2d2)nd22d12d

8、n2(23d)nd1，所以解得d2.所以an2n1，从而bn所以Tnb1b2bn.(2) (解法1)T1，Tm，Tn，若T1，Tm，Tn成等比数列，则，即.由，得0，即2m24m10，所以1m1.又mN*，且m1，所以m2，此时n12.因此，当且仅当m2，n12时，数列Tn中的T1，Tm，Tn成等比数列(解法2)因为，故，即2m24m10，所以1m1(以下同上)滚动练习(三)1. 设集合UZ，Ax|x2x20，xZ，则UA_(用列举法表示) 答案：0，12. 设ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且，那么A_. 答案：解析：由正弦定理，得sinAcosA， tanA1， 0A

9、， A.3. 已知在等差数列an中，a13a8a1560，则2a9a10_答案：12解析：由a13a8a1560，得5a135d60，即a812，则2a9a10a812.4. 若函数f(x)sin(x)(0)的图象的相邻两条对称轴的距离是2，则_. 答案：解析：由题知周期是4， .5. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)x2x(x0)，若f(4a2)f(3a)，则实数a的取值范围是_答案：(4，1)6. 已知变量x、y满足条件则zxy的最大值是_答案：6解析：本题考查线性规划知识7. 函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1，k为正整数，a116，则a

10、1a3a5_. 答案：218. 若ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量m(ac，ba)，n(ac，b)，若mn，则C_答案：解析： mn， (ac)(ac)b(ba)0， ， cosC， C.9. 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1上，f(x)其中a、bR.若ff，则a3b的值为_答案：1010. 已知函数f(x)x24x3lnx在t，t1上不是单调函数，则t的取值范围是_答案：(0，1)(2，3)11. 已知函数f(x)lnx(mR)在区间1，e上取得最大值4，则m_答案：3e解析：f(x)，m1时，f(x)在1，e上单调减，f(1)4，无解；em1，

11、所以，2，a2 0131，a2 0131得a11，a2 0134a12.当且仅当a1时取等号13. 设函数f(x)sinxcosxcos(x)cosx(xR)(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若函数yf(x)的图象向右平移个单位后再向上平移个单位得到函数yg(x)的图象，求yg(x)在上的最大值解：(1) f(x)sin2xcos2xsin2x(1cos2x)sin， f(x)的最小正周期为T.(2) 依题意得g(x)fsin2(x)sin，当x时，2x， sin， g(x)， g(x)在上的最大值为.14. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2 000万元，

12、将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1) 用d表示a1、a2，并写出an1与an的关系式；(2) 若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)解：(1) 由题意得a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)da1d，an1an(150%)dand.(2) 由(1)得anan1dan2ddda1d.整理得an(3 000d)2d(3 0003d)2d.由

13、题意，am4 000，即(3 0003d)2d4 000，解得d.故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m3)年企业的剩余资金为4 000万元15. 已知函数f(x)lnxax1，aR是常数(1) 求函数yf(x)的图象在点P(1，f(1)处的切线l的方程；(2) 证明函数yf(x)(x1)的图象在直线l的下方；(3) 讨论函数yf(x)零点的个数(1) 解：f(x)a，f(1)a1，klf(1)1a，所以切线l的方程为yf(1)kl(x1)，即y(1a)x.(2) 证明：令F(x)f(x)(1a)xlnxx1，x0，则F(x)1(1x)，解F(x)0得x1.x(0，1)1(1，)F(x)0

14、F(x)最大值因为F(1)0，所以x0且x1，F(x)0，f(x)(1a)x，即函数yf(x)(x1)的图象在直线l的下方(3) 解：令f(x)lnxax10，a.令g(x)，g(x)，则g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，当x1时，g(x)的最大值为g(1)1.所以若a1，则f(x)无零点；若f(x)有零点，则a1.若a1，f(x)lnxax10，由(1)知f(x)有且仅有一个零点x1.若a0，f(x)lnxax1单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知f(x)有且仅有一个零点(或：直线yax1与曲线ylnx有一个交点)若0a1，解f(x)a0得x，由函数的单调性得知f(

15、x)在x处取最大值，fln0，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x充分大时f(x)0，即f(x)在单调递减区间有且仅有一个零点；又f0，所以f(x)在单调递增区间上有且仅有一个零点综上所述，当a1时，f(x)无零点；当a1或a0时，f(x)有且仅有一个零点；当0a1时，f(x)有两个零点16. 设数列an的前n项积为Tn，已知对n，mN*，当nm时，总有Tnmq(nm)m(q0是常数)(1) 求证：数列an是等比数列；(2) 设正整数k，m，n(kmn)成等差数列，试比较TnTk和(Tm)2的大小，并说明理由(1) 证明：设m1，则有Tn1qn1，因为Ti0(iN*)，所以有a1qn1，即ana1qn1，所以当n2时q，所以数列an是等比数列(2) 解：当q1时，ana1(nN*)，所以Tna，所以TnTkaaaaT.当q1时，ana1qn1，Tna1a2anaq12(n1)aq，所以TnTkaqaqaq，Taqm(m1)，因为nk2m且kmn，所以aa，mmm2m，所以若q1，则TmTkT；若0q1，则TmTkT.- 8 -