2022年第十四届中环杯决赛试题与标准答案-六年级详解.docx

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1、第 14 届“中环杯”中小学生思维能力训练活动六年级决赛答案一、填空题：1. 【答案】1432148630010.237+【解答】450=900900=900=3=111355622633010.561-49599099099032. 【答案】1002【解答】6 = 23 ，所以只要算2014! 中有多少个质因子3 就可以了，2014 +2014 +2014 +2014 +2014 +2014 = 671 + 223 + 74 + 24 + 8 + 2 = 10023 32 33 34 35 363. 【答案】8【解答】设钱老师买了 x 本数学书， y 本物理书，根据题意，我们有x yy6yx

2、66x+y13可。简单尝试一下，发现6 7 之间没有任何正整数，而7 49 之间含有数字8 ，所以 x = 864. 【答案】32【解答】根据万位的表现， B+A并没有发生进位。根据个位的表现， B+A=D。然后利用十位的表现，我们知道C=0。由于 A, B,C, D是不同的数字，所以 D最小为1+2=3，最大为9，接下来分类讨论：（1）当 D = 3时， A = 1 或A = 2 ；B=2B =1（2）当 D = 4 时， A = 1 或A = 3 ；B=3B =1（3）当 D =5时， A = 1 或A = 4 或A = 2 或A = 3 ；B=4B=1B=3B =2（4）当 D = 6

3、时， A = 1 或A = 5 或A = 2 或A = 4 ；B=5B=1B= 4B =2（5）当 D = 7 时， A = 1 或A = 6 或A = 2 或A = 5 或A = 3 或A = 4 ；B=6B=1B=5B= 2B= 4B =3（6）当 D = 8 时， A = 1 或A = 7 或A = 2 或A = 6 或A = 3 或A = 5 ；B=7B=1B=6B= 2B=5B =3（7）当 D = 9 时， A = 1 或A = 8 或A = 2 或A = 7 或A = 3 或A = 6 或A = 4 或A = 5 ；B=8B=1B=7B= 2B=6B=3B=5B =4综上所述，一

4、共有2 + 2 + 4 + 4 + 6 + 6 + 8 = 325. 【答案】49【解答】由于10 1 +1+1+L+110，所以20001991 1992199320001991199.1 11 +1+1 +L+1 200 ，所以1991 19921993200010000 2011+10000110000 ，从而知道其整数部分为49200.11 +1+1+L+11991 1992199320006. 【答案】1, 3, 4, 5, 7【解答】我们知道， 7|666666，所以要使得6162L36a是7的倍数，我们只要考察6a、66a、若干个6666a 、6666a 、66666a 、666

5、666a 。简单尝试一下，发现a =1,3, 4,5, 7 时，满足我们的要求（注意，要使得7 | 66666a a = 6 ，与题意不符）7. 【答案】6【解答】设小正方形的边长为 x ，则S1=21(12-x)(12+x)=144-x2，而S22=x2 ，所以S +S = 144 。由于S = 3S ，所以S =1 144 = 36 ，从而推出边长为6121224347936483527625191818. 【答案】7 4 6 92 5 8【解答】如图，从大数字开始分配位置，其中安排数字6 的时候需要分类讨论，其它都是直接定下来的。9. 【答案】148x +y +z =z + 2【解答】设

6、A、B、C、E的分数分别为x,y,z,w，则我们有3。显然 z + 150 +w=z + 13z + 150 +w x +y +z 150 +w x +y 。由于150 分已经是最高分了，容易推出w x 。接下33来要对得最低分的人进行分类讨论：w y（1）如果得最低分的人是w ，则我们还有一个条件 x =w + 5 。将两个等式相减得5 +y -150 = 1 y = 148 分。代入 x +y +z =z + 2 x = 2z - 142 ，显然 x 为偶数，而最高的是33150分， y=148分，所以 x不可能是第二高的了。如果 z是第二高的，那么 z=149分，代入x = 2z -14

7、2 x =156 分，与最高为150 分矛盾。所以，这种情况下，第二高的就是 y =148分；（2）如果得最低分的人是 z ，利用 z + 150 +w =z + 1 w = 2z - 147 。考虑到最高的才1503分，并且所有人的得分均不相同，如果 z 最低，则 z 146 ，所以w = 2z -147 =z +(z -147)z ，与得最低分的人是 z 矛盾； 综上所述，得分第二高的人就是 B ，其分数为148 分10. 【答案】68300【解答】首先我们来计算 x-1+222x-2+32x-3+242x-4+L+2202x-20部分的零点个数：12 + 2 22 + 32 + 2 42

8、 + 52 + 2 62 +L+ 2n2=(12+22+L+n2)+(22+42+L+n2)n(n+1)(2n+1)n 2 =+ 22 12 + 22 +L+62 n n + 12 n + 1n(n+1)(2n+1)2 22=+ 2266=n(n+1)(2n+1)+n(n+2)(n+1)666=n(n+1)(2n+1)+(n+2)n(n+1)2=2所以2222222202121 + 2 2+ 3 + 2 4+ 5 + 2 6+L+220=44102而前面还有一个4410 x ，所以当0 x 1时，可以取到最小值。我们就取 x = 0 ，此时4410 x +x - 1 + 2 22 x - 2

9、+ 32 x - 3 + 2 42 x - 4 +L+ 2 202 x - 20= 13 + 2 23 + 33 + 2 43 +L+ 2 203=(13+23+33+43+L+203)+(23+43+L+203)=(1+2+L+20)2+23(13+23+L+103)= 2102 + 8 552 = 68300二、动手动脑题：11. 【答案】 x=-1， x=51224【解答】（1）当 x 1 时， x -1 + 2x -1 =x - 3 (1 -x)+(1 - 2x)=(3 -x)x =-1 ，满足要22求；（2）当 1 x 1 时， x - 1 + 2x - 1 =x - 3 (1 -x

10、)+(2x - 1)=(3 -x)x =3 ，不满足要求，舍22弃；（3）当1 3时， x -1 + 2x -1 =x - 3 (x -1)+(2x -1)=x - 3 x =-1 ，不满足要求，舍弃；2综上所述，这个方程的解为 x=-1， x=5122412. 【答案】45【解答】设加热 x 秒，往外倒水 y 秒，小明 x +y 秒后可以喝到30 oC 的水。则往外倒水时，水壶中的水温为(15 +x)oC ，倒出20y 克水。于是有20y(15+x-30)=300(30-15)，化简得 y(x-15)=225=152。我们希望 x+y尽可能小，所以(x-15)+y要尽可能小。 y = 15所

11、以 y =(x - 15)= 15 x = 30即加热30 秒后往外倒15 秒水，最少45 秒后小明能喝到30 oC 的水13. 【答案】670【解答】设总人数为 x ，每人分到的书的数量为q ，余下的书的数量为r ，则2014=xq+r，由于 x为三位数，所以q2。如果q3，则2014=xq+r3xx671，由于0rx，所以r670；所以，只要当q=2的时候，能够取到大于等于670的余数，那么就不用考虑q3的情况了。显然， 2014=6722+670，此时取到余数670，所以我们只要将注意力集中在q=2的情况即可。此时2014=2x+r，由于0rx，从而推出 x的取值范围为672999，随着

12、 x的增大， r在减小，所以当 x=672时，此时r最大，其最大值就是67014. 【答案】 817【解答】设 FG =x ，则利用 DC =CI CI =9 ，而CI +IG =x CI =FGIGIGx9xx +9。利用SDCFI=1 CI FG =1229x x +9x = 54 x2- 12x - 108 = 0 x (x - 12)= 108 。由于 x 为正整数，经过简单的质因数分解，我们知道108 =18 6 ，所以 x =18 。由此推出CI =9x= 6 ，所以 CG =18 =3 。其次容易得到 CJ=GC =18 =2 DJ =1 。 DDCIx + 9GI122ABGB273JC2被 JHG 所截，所以 DJ CG IH= 1 DH =DJ CG =1 3 =3 （小学奥数可以通过燕尾定理JC GIHDHIJC GI224求出 DH 的值），所以S=3 S=3196=327=81HIDDHC7 DDCI7 27715. 【答案】