【五年经典推荐 全程方略】2022届高三数学 专项精析精炼 2022年考点43 直线与圆锥曲线的位置关系.doc

《【五年经典推荐 全程方略】2022届高三数学 专项精析精炼 2022年考点43 直线与圆锥曲线的位置关系.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【五年经典推荐 全程方略】2022届高三数学 专项精析精炼 2022年考点43 直线与圆锥曲线的位置关系.doc（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、考点43 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.（2012安徽高考理科9）过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点， 为坐标原点，若，则的面积为（ ） 【解题指南】设，根据抛物线的定义知，同理可以得，解出，代入公式.【解析】选.设及，则点到准线l：的距离为得：又的面积为.二、填空题2.（2012安徽高考文科14）过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则=_.【解题指南】设，根据抛物线的定义知，同理可以得，解出.【解析】设，则点到准线的距离为，得【答案】三、解答题3.（2012天津高考理科19）设椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，为坐标原点.（）若直线AP与BP的斜率之

2、积为，求椭圆的离心率；（）若，证明直线的斜率满足.【解析】（）设点P的坐标为，由题意得，由,得，由，可得，代入（1）并整理得由于故于是,所以椭圆的离心率.（）方法一：依题意，直线OP的方程为，设点P的坐标为，由条件得消去y0并整理得（2），由|AP|=|OA|,及得，整理得，而x00,于是代入（2）整理得，方法二：依题意，直线OP的方程为，可设点P的坐标为由点P在椭圆上，有，即(3),由|AP|=|OA|,得，整理得，于是，代入（3）得解得.4.（2012天津高考文科19）已知椭圆，点在椭圆上.（）求椭圆的离心率；（）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点在椭圆上且满足，求直线的斜率的值.【解

3、题指南】利用椭圆的几何性质、两点间的距离公式等知识综合求解.【解析】（）因为点在椭圆上，故，可得，于是.（）设直线OQ的斜率为k,则其方程为 ，设点Q的坐标为，由条件得消去y0并整理得(1),由|AQ|=|AO|,得，整理得，代入（1）整理得，由（）知，故，即，所以直线OQ的斜率.5.（2012福建高考理科19） 如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为8() 求椭圆E的方程() 设动直线：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在

4、，说明理由 【解析】方法一：（）因为，即，又，所以，.又因为，即，所以，所以，故椭圆的方程为.（）由 得.因为动直线与椭圆E有且只有一个公共点，所以且，即，化简得.（*）此时，所以.由得.假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性可知，点M必在x轴上设，则对满足（*）式的m，k恒成立.因为，由得，整理，得.（*）由于（*）式对满足（*）式的m，k恒成立，所以解得.故存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点M方法二：（）同方法一（）由得因为动直线与椭圆E有且只有一个公共点，所以且，即，化简得（*），此时，所以由得，假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性可知，点M必在x轴上取，此时，以PQ为直径的

5、圆为，交x轴于，取，此时，以PQ为直径的圆为，交x轴于点所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为以下证明就是满足条件的点：因为的坐标是，所以，从而，故恒有，即存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点M.6.（2012山东高考理科21）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.（）求抛物线的方程；（）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值.【解题指南】（1）考查对抛物线定义的理解以及三角形的外接圆

6、圆心在三边的垂直平分线上.（2）考查直线与圆锥曲线相切时切线斜率与导数的关系，利用斜率与导数相等即可求得.（3）利用直线与抛物线相交时的弦长公式可求出,利用圆心到直线的距离、弦长的一半和半径构成直角三角形可求得,利用导数求的最小值.【解析】（）由是抛物线的焦点，点F坐标为，抛物线的准线为，过三点的圆的圆心为，则圆心Q在线段OF的垂直平分线上，所以所以p=1，故抛物线C的方程为.()若存在这样的点M，设点M的坐标为，焦点F坐标为，所以MO的中点，圆心Q在MO的垂直平分线上，所以MO的垂直平分线方程为圆心Q在线段OF的垂直平分线上解得点Q坐标为直线与抛物线相切于点，抛物线的导数为，过点的切线斜率为

7、.，整理得，解得：或（舍去）所以，所以点M的坐标为.()由()知点的横坐标为，圆心Q，半径，圆心Q到直线的距离为联立消去y可得：，设，于是，令，设，当时，即当时.故当时，.7.（2012山东高考文科21）如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.()求椭圆M的标准方程；() 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值. 【解题指南】（1）考查对椭圆的几何性质的理解，矩形ABCD面积为8，即，由离心率为可求得椭圆的标准方程；（2）可联立直线与椭圆方程，用m表示出PQ的距离，与矩形ABCD有两个不同的交点的距离也用含m的代数式表示

8、，再讨论求最大值.【解析】(I) 矩形ABCD面积为8，即 由解得：，椭圆M的标准方程是.(II)，设，则，由得.当过点时，当过点时，.当时，有，其中，由此知当，即时，取得最大值.由对称性，可知若，则当时，取得最大值.当时，由此知，当时，取得最大值.综上可知，当和0时，取得最大值.8.（2012浙江高考理科21）如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点（,）的距离为，不过原点的直线l与相交于，两点，且线段被直线平分.（）求椭圆C的方程；（）求ABP面积取最大值时直线的方程.【解题指南】本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法与综合解题能力.【解析】（）左焦点到点（

9、,）的距离为，解得，又离心率为，可得，则b2=3，所以椭圆C的方程为.（）由题意可知，直线不垂直于轴，故可设直线，交点，由 消去并整理得，的中点为P（，），而直线，可得=，解得，即直线， =.而点（,）到直线的距离为，ABP的面积为S=.其中.令，则，所以当且仅当时，取得最大值，即S取得最大值，此时直线.9.（2012浙江高考文科22）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P0）的准线的距离为.点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分.（1）求p,t的值；（2）求ABP面积的最大值.【解析】（1）点P（1，）到抛物线C：y2=2px

10、（p0）的准线的距离为，可得准线方程为，所以抛物线C：y2=x，.点M（t，1）是C上的点，所以.（2）设动点，线段的中点为.由得.易知直线AB的斜率存在，设为k.故.直线的方程为 ，即.由消去，整理得.所以，从而设点到直线的距离为，则设的面积为S,则.由可得.令，则.设，则.由，得，所以 .故的面积的最大值为.10.（2012北京高考理科19）已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mR).（1） 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；（2） 设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G

11、.求证：A，G，N三点共线.【解题指南】（1）化为椭圆标准方程，再列式求范围；（2）三点共线可转化为，联立直线与曲线C的方程后，把韦达定理代入证明即可.【解析】（1）曲线C：表示焦点在x轴上的椭圆，则解得.（2）曲线C：，与y轴交点A（0，2），B（0，-2），设，由消y得，y=kx+4与椭圆有两个交点，解得.由韦达定理得，直线，三点共线.11.（2012北京高考文科19）已知椭圆C：+=1（ab0）的一个顶点为A （2,0），离心率为， 直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.（）求椭圆C的方程；（）当AMN的面积为时，求k的值.【解题指南】第（）问，利用椭圆中a,b,c与e的关系

12、即可求出椭圆方程；第（）问，AMN的面积等于x轴上下两个小三角形面积之和.【解析】（），椭圆C：.（）设，则由消y得,直线 y=k(x-1)过椭圆内点（1，0），恒成立，由根与系数的关系得，.即5=0，解得.12.（2012湖南高考文科21）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.（）求椭圆E的方程；（）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1， l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.【解析】（）由，得.故圆的圆心为从而可设椭圆的方程为其焦距为，由题设知所以故椭圆的方程为 （）设点P的坐标为，的斜率分别为k1

13、,k2.则的方程分别为且由与圆C相切得，即同理可得.从而是方程的两个实根，于是且.由得，解得或由得由得它们均满足式，故点的坐标为或或或.13.（2012江苏高考19）ABPOxyF1F2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，已知点和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值【解析】（1）由题设知，由点在椭圆上，得，.由点在椭圆上，得.椭圆的方程为.（2）由（1）得，又， 设，的方程分别为，. . .同理，.（i）由得，解得=2. 注意到，. 直线的斜率为.

14、 （ii）证明：，即, .由点在椭圆上知，.同理. . 是定值.yABOx14.（2012福建高考文科21）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：上（）求抛物线E的方程；（） 设动直线与抛物线E相切于点P，与直线相交于点Q证明以PQ为直径的圆恒过轴上某定点【解题指南】本题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想【解析】方法一：（）依题意，设，则，因为点在上，所以，解得故抛物线E的方程为（）由（）知，设P，则，且的方程为，即由所以设，令对满足的，恒成立由，得即（*

15、） 由于（*）式对满足的恒成立，所以解得故以为直径的圆恒过轴上的定点方法二：（）同方法一（）由（）知，设P，则，且的方程为，即由所以取，此时，以为直径的圆为，交y轴于点或；取，此时P，以为直径的圆为，交y轴于或故若满足条件的点存在，只能是以下证明点就是所要求的点因为，故以为直径的圆恒过y轴上的定点15.（2012安徽高考文科20）如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60.yABOxF1F2（）求椭圆的离心率；（）已知的面积为40，求a, b 的值. 【解题指南】（1）由（2）根据椭圆的定义设；则，由余弦定理求出，结合三角形的面积公式即可求出a，b的值.【解析】（I）. （）设(m0)，则， 在中， 16.（2012安徽高考理科20）如图，点分别是椭圆 的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点.（I）如果点的坐标是，求此时椭圆的方程；（II）证明：直线与椭圆只有一个交点.【解析】（I）点代入得， .又 ，. 由得：，即椭圆的方程为；（II）设，则，且，过点与椭圆相切的直线斜率，因此直线与椭圆相切，只有一个交点. 22