2022高考数学大二轮 专题限时训练 第1讲 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质 文.doc

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1、第1讲直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质A组【选题明细表】知识点、方法题号直线的斜率和倾斜角1直线位置关系4、6、11圆的方程5直线与圆、圆与圆的位置关系2、3、7、8、9、10、12直线与圆的综合问题13、14一、选择题1.直线xcos +y+2=0的倾斜角的范围是(B)(A),)(,(B)0,）(C)0,(D),解析:因为直线xcos +y+2=0,所以直线的斜率k=-.设直线的倾斜角为,则tan =-.又因为-,即-tan ,所以0,).故选B.2.(2012年高考山东卷)圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为(B)(A)内切(B)相交(C)外切(D)相

2、离解析:本题考查两圆位置关系的判定,易知两圆的圆心距为=,两圆半径的和为5,半径之差为1,又15,故两圆相交.3.若直线过点P（-3,-)且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则该直线的方程为(D)(A)3x+4y+15=0(B)x=-3或y=-(C)x=-3(D)x=-3或3x+4y+15=0解析:若直线的斜率不存在时,则该直线方程为x=-3,代入圆的方程x2+y2=25中,解得y=4,所以该直线被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线的斜率存在,可设该直线的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为该直线被圆x2+y2=25截得的弦长为8,所以半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0

3、,0)到直线的距离为=,解得k=-,此时直线方程为3x+4y+15=0,故选D.4.直线l1在x轴和y轴上的截距分别为3和1,直线l2的方程为x-2y+2=0,则直线l1到l2的角为(B)(A)arctan (B)45(C)135 (D)45或135解析:记直线l1到l2的角是.依题意得,直线l1的斜率为k1=-,直线l2的斜率为k2=,则tan =1,又0180,因此=45,选B.5.平面直角坐标系中,点集M=(x,y) |、R,则点集M所覆盖的平面图形的面积为(A)(A)4(B)3(C)2(D)与,有关的值解析:由消去得(x-sin )2+(y-cos )2=1,该方程表示的是以点(sin

4、 ,cos )为圆心,1为半径的圆,并注意到点(sin ,cos )位于以原点为圆心、1为半径的圆上,因此点集M可视为以单位圆上的点为圆心、1为半径的所有圆上的点的集合,易知点集M所覆盖的平面图形的面积等于以2为半径的圆的面积,即等于4,选A.6.已知直线l1的方向向量a=(1,3),直线l2的方向向量b=(-1,k),若直线l2经过点(0,5)且l1l2,则直线l2的方程为(B)(A)x+3y-5=0(B)x+3y-15=0(C)x-3y+5=0(D)x-3y+15=0解析:法一因为l1l2,所以ab=0,所以-1+3k=0,所以k=,所以b=（-1,）,所以直线l2的方程为y-5=-(x-

5、0),整理可得x+3y-15=0.法二直线l1的方向向量为a=(1,3),l1的斜率为k1=3,直线l2的方向向量为b=(-1,k),l2的斜率为k2=-k.l1l2,k1k2=-1,即3(-k)=-1,k=,则k2=-,又l2过点(0,5),y-5=-(x-0),即x+3y-15=0.故选B.7.(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦AB的长等于(B)(A)3(B)2(C)(D)1解析:圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线3x+4y-5=0的距离为d=1.|AB|=2=2=2.故选B.8.(201

6、2年高考陕西卷)已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则(A)(A)l与C相交(B)l与C相切(C)l与C相离(D)以上三个选项均有可能解析:将点P(3,0)的坐标代入圆的方程得32+02-43=9-12=-30对任意xR都成立.x1+x2=,x1x2=0,|MN|=2,即3k2-10,解得-k.即k的取值范围是-,故选B.法二(几何法)如图所示,记题中圆的圆心为C(2,3),作CDMN于D,则|CD|=,于是有|MN|=2|MD|=2=22,即4-3,解得-k.故选B.二、填空题11.已知a,b为正数,且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直,则

7、2a+3b的最小值为.解析:依题意得2b-a(b-3)=0,即+=1,2a+3b=(2a+3b)(+)=13+6(+)13+62=25,当且仅当=,即a=b=5时取等号,因此2a+3b的最小值是25.答案:2512.两圆交于点A(1,3)和B(m,1),两圆的圆心都在直线x-y+=0上,则m+c的值等于.解析:由题意,直线AB与直线x-y+=0垂直,且线段AB的中点在x-y+=0上,kAB=-1,m=3,-2+=0,c=0,m+c=3.答案:313.(2012年高考天津卷)设m,nR,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为

8、坐标原点,则AOB面积的最小值为.解析:由题意可知m0,n0,如图所示,设l交圆于C、D,连结OD,作OHl于H,则|DH|=|CD|=1,|OD|=2,|OH|=,即m2+n2=,又m2+n22|mn|,|mn|.由l:mx+ny-1=0可得A(,0),B(0,),SAOB=|OA|OB|=|=3.当且仅当m=n时取等号.AOB面积的最小值为3.答案:314.从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为.解析:如图所示,连结圆x2-2x+y2-2y+1=0的圆心C(1,1)与点P及两个切点A,B,设APC=,则两切线的夹角为APB=2,|PC

9、|=,sin =,cos 2=1-2sin2=.答案:B组【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的定义6、11、14圆锥曲线的方程1、7圆锥曲线的性质2、3、4、5、8圆锥曲线的综合问题9、10、12、13一、选择题1.(2011年高考陕西卷)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是(B)(A)y2=-8x(B)y2=8x(C)y2=-4x(D)y2=4x解析:因为抛物线的准线方程为x=-2,所以=2,所以p=4,所以抛物线的方程是y2=8x.所以选B.2.(2011年高考湖南卷)设双曲线-=1(a0)的渐近线方程为3x2y=0,则a的值为(C)(A)4(B)3(C)2(D)

10、1解析:双曲线-=1的渐近线方程为3xay=0,与已知方程比较系数得a=2.故选C.3.(2013年高考福建卷)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于(B)(A)(B)(C)1(D)解析:双曲线x2-y2=1的渐近线方程为xy=0,双曲线x2-y2=1的顶点坐标为(1,0),顶点到渐近线的距离为.故选B.4.(2013江西新余高三二模)已知椭圆+=1(ab0)的半焦距为c(c0),左焦点为F,右顶点为A,抛物线y2=(a+c)x与椭圆交于B、C两点,若四边形ABFC是菱形,则椭圆的离心率是(D)(A)(B)(C)(D)解析:由题意A(a,0),F(-c,0),四边形ABFC是菱形,xB

11、=,代入抛物线方程得=(a2-c2),由点B在椭圆上,+=1,3a2-8ac+4c2=0,两边除以a2得4e2-8e+3=0,解得e=或e=(舍去),故选D.5.若双曲线-=1(a0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则该双曲线的实轴长为(B)(A)1(B)2(C)3(D)6解析:双曲线的一条渐近线为x-ay=0,由题意可知,圆心(2,0)到该渐近线的距离为d=,即=,因为a0,解得a=1,所以双曲线的实轴长为2a=2.故选B.6.(2012年高考四川卷)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=(

12、B)(A)2(B)2(C)4(D)2解析:由题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则M到焦点的距离为xM+=2+=3,p=2,y2=4x.=42=8,|OM|=2.故选B.7.已知双曲线的渐近线为y=x,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则双曲线方程为(A)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:法一由题意可设双曲线方程为-=1(a0,b0),由已知条件可得即双曲线方程为-=1,故选A.法二由题意可设双曲线方程为-=1(0),由于双曲线的焦点为(-4,0)、(4,0),c2=+3=42,=4,双曲线方程为-=1,故选A.8.(2013四川内江高三二模)已知椭圆+=1(ab0)

13、,F(c,0)是右焦点,经过坐标原点O的直线l与椭圆交于点A、B,且=0,|-|=2|-|,则该椭圆的离心率为(D)(A)(B)(C)-1(D)-1解析:=0,FAFB,又|-|=2|-|,根据椭圆关于原点对称,|OA|=|AF|=|OF|.OAF是等边三角形.设椭圆左焦点F1,连结AF1、BF1,根据椭圆的对称性得AF1BF是一个矩形,如图所示.在RtAFF1中,AFF1=2AF1F=60,设|AF|=t,则|AF1|=t,|F1F|=2t,离心率e=-1.选D.9.已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线

14、与直线AM平行,则实数a的值是(B)(A)(B)(C)(D)解析:由抛物线的定义可得1+=5,p=8,m=4,即M(1,4),A(-,0),其中双曲线的一条渐近线方程为y=x,所以=,a=,故选B.10.已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与C相交于A,B两点.若=3,则k=(B)(A)1(B) (C) (D)2解析:如图所示,分别过点A,B作椭圆右准线的垂线段AD,BC,过点B作BEAD于点E,易得|BC|=,|AD|=,|AE|=|AD|-|BC|=-=,cosBAE=,sinBAE=,则k=tanBAE=,故选B.二、填空题11.(2012年高考安徽

15、卷)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|=.解析:由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0).又|AF|=3,由抛物线定义知点A到准线x=-1的距离为3,点A的横坐标为2.将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知y=2,A(2,2),直线AF的方程为y=2(x-1).由解得或由图知,点B的坐标为(,-),|BF|=-(-1)=.答案:12.直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支交于A,B两点,另一条直线l过点(-2,0)和AB的中点,则直线l在y轴上的截距b的取值范围为.解析:由方程组消去y得(1-k2)x2-2kx-2=0. 设A,B的坐标

16、分别为(x1,y1)和(x2,y2),由于直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支交于A,B两点,则方程应有两个不大于-1的不等实根,则故1k,又由x1+x2=知y1+y2=kx1+kx2+2=k(x1+x2)+2=,AB的中点为(,).所以直线l的方程为=,即y=.令x=0,得b=.1k,b2.答案:(-,-2-)(2,+)13.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为.解析:由已知易知抛物线的方程为y2=4x,设直线l的方程为y-2=k(x-2)(易知斜率k存在),显然k0,则有x=+2,与抛物线方程y2=4x联立,消去x并整理得y2-y+-8=0,所以y1+y2=,由中点坐标公式有=4k=1,从而直线l的方程为y=x.答案:y=x14.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为.解析:由题意知|PF2|=|F1F2|=2c,|PF1|=|F1F2|=2c,由椭圆定义知,2a=|PF1|+|PF2|=2c+2c,e=-1.答案:-116