2022年高中数学 2.3.1 离散型随机变量的均值课时提升作业（十五）新人教A版选修2-3.doc

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1、课时提升作业(十五)离散型随机变量的均值一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2013广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)=()A.B.2C.D.3【解题指南】本题考查离散型随机变量的期望公式,可以直接代入计算.【解析】选A. E(X)=1+2+3=.【变式训练】(2014太原高二检测)已知的分布列为-1012P则的均值为()A.0B.-1C.D.【解析】选D.E()=-1+0+1+2=.2.(2014长沙高二检测)若X的分布列为X01Pa则E(X)=()A.B.C.D.【解题指南】先借助概率分布的性质求a的值,再借助定义求E(X).【解析】选A.由题意知

2、+a=1,得a=.E(X)=0+a=a=.3.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)1.75,则p的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.发球次数X的分布列如下表,X123Pp(1-p)p(1-p)2所以E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)21.75,解得p(舍去)或p0,故选C.4.已知Y=5X+1,E(Y)=6,则E(X)的值为()A.6B.5C.1D.7【解析】选C.因为E(Y)=E(5X+1)=5E(X)+1=6,所以E(X)=1.5

3、.现有10张奖券,8张2元的、2张5元的,某人从中随机抽取3张,则此人得奖金额的数学期望是()A.6B.7.8C.9D.12【解析】选B.设此人的得奖金额为X,则X的所有可能取值为12,9,6,P(X=12)=,P(X=9)=,P(X=6)=,故E(X)=7.8.6.马老师从课本上抄录一个随机变量的分布列如下表:X123P?!?请小牛同学计算的数学期望,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E()=()A.0B.2C.4D.6【解析】选B.设“?”处的数值为x,则“!”处的数值为1-2x,则E()=1x+2(1-2x)+3x

4、=x+2-4x+3x=2.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2013上海高考)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别是75,80,则这次考试该年级学生平均分数为.【解析】平均成绩为:75+80=78.答案:788.已知随机变量的分布列为01234P0.10.20.3x0.1则x=,E()=.【解析】x=1-(0.1+0.2+0.3+0.1)=0.3;E()=00.1+10.2+20.3+30.3+40.1=2.1.答案:0.32.19.袋中装有6个红球,4个白球,从中任取1个球,记下颜色后再放回,连续摸取4次,设X是取得红球的次数,则E(X)=

5、.【解析】每一次摸得红球的概率为=,由XB,则E(X)=4=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014山东高考)乒乓球台面被网分成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(1)小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率.(

6、2)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望.【解题指南】(1)本题考查了相互独立事件的概率.(2)本题考查的是随机变量的分布列及数学期望,先列出的所有值,并求出每个值所对应的概率,列出分布列,然后根据公式求出数学期望.【解析】(1)设恰有一次的落点在乙上这一事件为E,P(E)=+=.(2)的可能取值为0,1,2,3,4,6,P(=0)=,P(=1)=+=,P(=2)=,P(=3)=+=,P(=4)=+=,P(=6)=,所以的分布列为012346P所以其数学期望为E()=0+1+2+3+4+6=.11.(2014徐州高二检测)某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超出4km时,租车费

7、为10元;若行驶路程超出4km,则按每超出1km加收2元计费(超出不足1km的部分按1km计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按1km路程计费,不足5分钟的部分不计费),这个司机一次接送旅客的转换后的行车路程是一个随机变量.设他所收费用为.(1)求费用关于行车路程的关系式.(2)若随机变量的分布列为15161718P0.10.50.30.1求所收费用的数学期望.(3)已知某旅客实付费用38元,而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因故停车累计多长时间?【

8、解析】(1)依题意得=2(-4)+10,即=2+2,15,N.(2)E()=150.1+160.5+170.3+180.1=16.4.因为=2+2,所以E()=E(2+2)=2E()+2=34.8(元),故所收费用的数学期望为34.8元.(3)由38=2+2,解得=18,故停车时间t转换的行车路程为18-15=3(km),所以35t45,即出租车在途中因故停车累计时间t15,20).一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014哈尔滨高二检测)已知某一随机变量的概率分布列如下,且E()=6.3,则a的值为()a79Pb0.10.4A.4B.5C.6D.7【解题指南】根据分布列中,所有的概率之

9、和是1,得到关于b的方程,求出b的值,根据本组数据的期望值和分布列列出关于a的方程,代入b的值,求出a,得到结果.【解析】选A.由题意得0.4+0.1+b=1,b=0.5,且E()=0.5a+70.1+90.4=6.3,所以a=4,故选A.2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,则E(3X+5)等于()A.6B.9C.11D.4【解题指南】利用已知条件,求出E(X),从而可求E(3X+5)的值.【解析】选C.由题意,E(X)=(1+2+3)=2,所以E(3X+5)=3E(X)+5=32+5=11.故选C.3.(2013湖北高考)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为12

10、5个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)=()A.B.C.D.【解析】选B.P=,P=,P=,P(0)=,E(X)=+0=.4.口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以表示取出的球的最大号码,则E()的值是()A.4B.4.5C.4.75D.5【解析】选B.由题意,的取值可以是3,4,5,=3时,概率是=,=4时,概率是=(最大的是4其他两个从1,2,3里面随机取),=5时,概率是=(最大的是5,其他两个从1,2,3,4里面随机取),所以期望E()=3+4+5=4.5.故选B.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(20

11、14南京高二检测)一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数0,两个面上标有数1,一个面上标有数2,将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积的数学期望是.【解析】设所得两数之积为,则的可能值为0,1,2,4,P(=0)=2+2+=,P(=1)=,P(=2)=2=,P(=4)=.所以的分布列为:0124P所以E()=0+1+2+4=.答案:6.设p为非负实数,随机变量X的概率分布为:X012P-pp则E(X)的最大值为.【解题指南】先利用分布列的性质求p的取值范围,再借助期望的定义建立E(X)的函数关系,并且求其最值.【解析】由表可得从而得p,期望值E(X)=0+1p+2=p+1,当且仅当p=时,

12、E(X)最大值=.答案:【误区警示】本题易因不算出p的取值范围而误认为0p1,而导致错解.三、解答题(每小题13分,共26分)7.(2014重庆高考)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率.(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望(注:若三个数a,b,c满足abc,则称b为这三个数的中位数).【解题指南】利用超几何分布的相关知识以及古典概型的概率公式求解概率以及分布列和数学期望.【解析】(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P=.(2)X

13、的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,故X的分布列为X123P从而E(X)=1+2+3=.8.(2013新课标全国卷)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立,(1)求这批产品通过检验的概率.(2)已知每件产品检验费用

14、为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.【解题指南】(1)由事件的独立性和互斥性,并结合产品通过检验的情形确定这批产品通过检验的概率.(2)根据题意,先确定X的可能取值,然后求出相应的概率,列出分布列,利用期望公式求出期望.【解析】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A.依题意有A=(A1B1)(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B

15、1)+P(A2B2)=+=+=.(2)X可能的取值为400,500,800.P(X=500)=,P(X=800)=,P(X=400)=1-=,所以X的分布列为X400500800PE(X)=400+500+800=506.25(元).【变式训练】一个口袋中有2个白球和n个红球(n2,且nN*),每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中),若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖.(1)试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率P.(2)若n=3,求三次摸球恰有一次中奖的概率.(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为f(p),当n为何值时,f(p)取最大值.【解析】(1)一次摸球从n+2个球中任选两个,有种选法,其中两球颜色相同有+种选法,故一次摸球中奖的概率P=.(2)若n=3,则一次摸球中奖的概率是P=,三次摸球是独立重复实验,三次摸球中恰有一次中奖的概率是P3(1)=P(1-P)2=.(3)设一次摸球中奖的概率是p,则三次摸球中恰有一次中奖的概率是f(p)=p(1-p)2=3p3-6p2+3p,0p1,因为f(p)=9p2-12p+3=3(p-1)(3p-1),所以f(p)在上是增函数,在上是减函数,所以当p=时,f(p)取最大值,所以p=(n2,nN*),所以n=2,故n=2时,三次摸球中恰有一次中奖的概率最大.- 9 -