学年高中数学第章函数应用实际问题的函数建模学案北师大版必修.doc

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1、21实际问题的函数刻画 22用函数模型解决实际问题 23函数建模案例学 习 目 标核 心 素 养1.会利用函数模型解决实际问题(重点)2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)1.通过利用函数模型解决实际问题，提升数学建模素养.2.通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养.1实际问题的函数刻画阅读教材P120P122整节课内容，完成以下问题在现实世界里，生物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画2用函数模型解决实际问题阅读教材P123P125整节课的内容，完成以下问题(1)常用的函数模型(2)数据拟合通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察

2、这些点的整体特征，看它们接近我们所熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，根本符合实际，就可以确定这个函数根本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合思考：解决应用问题的关键是什么？提示将实际问题转化为数学问题1下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为()x210123y141664A.一次函数模型 B二次函数模型C对数函数模型 D指数函数模型答案D2一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图像如下图，那么图像所对应的函数模型为()A分段函数 B二次函数C指数函数 D对数函数A由图像知，在

3、不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数3“龟兔赛跑讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，那么与故事情节相吻合的是()B乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间后又更快的增加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，应选B.4用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，那么铁框架的最大面积是_m2.9设铁框架的一边长为x m

4、，那么其面积Sx26x(x3)29.由，得0x500时，fB(x1)fB(x)(x1)18x180.3，所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元(3)由题图可知，当0x60时，fA(x)500时，fA(x)fB(x)；当60fB(x)，即x80168，解得x.综上，当通话时间在范围内，方案B比方案A优惠.数据拟合探究问题1建立拟合函数的步骤是什么？提示：依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的拟合函数的探索步骤为：(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设出比拟接近的、可能的函数模型的解析式；(3)利用待定系数法求出各解析式；(4)对模型拟合程度进行检验，假设拟合程度差，

5、重新选择拟合函数，假设拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题2今有一组试验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01那么能表达这些数据关系的函数模型是()Aulog2t Bu2t2Cu Du2t2提示：可以先描出各点(如图)，并利用数据点直观地认识变量间的关系，选择适宜的函数模型来刻画它由图可知，图像不是直线上的点，排除选项D；图像不符合对数函数的图像特征，排除选项A；当t3时，2t22326，4，由表格知当t3时，u4.04，模型u能较好地表达这些数据关系应选C.【例3】某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯

6、利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A，B两种商品各多少最合算请你帮助该经营者制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保存两个有效数字)思路探究先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型解设投资额为x万元时，获得的利润为y万元在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如下图，观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑

7、用二次函数描述投资A种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系设二次函数的解析式为ya(x4)22(a0)，一次函数的解析式为ybx.把x1，y0.65代入ya(x4)22(a0)，得0.65a(14)22，解得a0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y0.15(x4)22表示把x4，y1代入ybx，得b0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y0.25x表示令下月投入A，B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得WyAyB0.15(x

8、A4)220.25xB，其中xAxB12，那么W0.1520.15 22.6(0xA12)，那么当xA3.2万元时，W取得最大值，01522.64.1万元，此时xB8.8(万元)即投资A商品3.2万元，投资B商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润为4.1万元此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为：(1)作图：根据数据作出散点图；(2)选择函数模型：根据散点图，结合根本初等函数的图像形状，找出比拟接近的函数模型；(3)求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式；(4)利用所求得的函数模型解决问题.3某商场经营一批进价是30元/

9、件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：x30404550y6030150(1)在所给的坐标系中(如图)，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式yf(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润解根据上表作图，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)近似在同一条直线上，设直线方程为ykxb(k0)，y3x150(xN)经检验点(30,60)，(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y3x150(

10、xN)(2)依题意有Py(x30)(3x150)(x30)3(x40)2300，当x40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润1函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题2在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求3在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化.1思考辨析(1)在建立实际问题的函数模型时，除了要

11、考虑变量的数学意义，还要考虑变量的实际意义()(2)由函数模型得到的解就是实际问题的解()答案(1)(2)2某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(ba)，当他想起诗句“不到长城非好汉时，便调转车头继续前进，那么该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为()ABCDC由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图像特征是直线上升由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，那么直线一致上升应选C.3国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x(km)0x500500x1 0001 000x1 500邮资y(元)5.006.007.00如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是()A5.00元 B6.00元C7.00元 D8.00元C由题意可知，当x1200时，y7.00元，应选C.4.要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如下图，窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积S最大，窗户应具有怎样的尺寸？解由题意得窗框总长lxx2y，y，Sx2xyx2x2.由得x，当x时，Smax，此时y，所以，当矩形的高等于半圆的半径时，窗户透光面积最大