一元二次方程的解法(全)ppt课件.ppt

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1、 只含有一个未知数，并且未知数的最只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是高次数是2 2的的整式方程整式方程叫做叫做一元二次方程一元二次方程。2、一元二次方程通常可写成如下的、一元二次方程通常可写成如下的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0a03、判断一个方程是否是一元二次方程，按顺序要把、判断一个方程是否是一元二次方程，按顺序要把握三点：握三点：方程是整式方程；：方程是整式方程；：只含有一个未知数：只含有一个未知数：可化为：可化为ax2+bx+c=0（ a0 ）的形式）的形式1. 判断下列方程是否一元二次方程？判断下列方程是否一元二次方程？2m何值时，方程何值时，方程 是关于是关于的一元二

2、次方程的一元二次方程?42(1)2750mmxmx03-2xx) 1(40cx30yx212222）01x3xx22）mbax下列各数有平方根吗下列各数有平方根吗?若有若有,你能求出它你能求出它的平方根吗的平方根吗? 25 ; 0 ; ; 2 ; - 3 ;162543一个数一个数x的平方的平方等于等于a，这个数，这个数x叫做叫做a的什的什么？么？即（a0）则x叫做a的平方根，表示为：ax 2ax例例1 解方程解方程042x先移项，得先移项，得42x所以所以 24xx以上解某些一元二次方程的方法叫以上解某些一元二次方程的方法叫做做直接开平方法直接开平方法。例题解析：例题解析：可见，上面的可见，

3、上面的 实际实际上就是求上就是求4的平的平方根。方根。42x2;221xx初试锋芒初试锋芒用直接开平方法解下列方程：用直接开平方法解下列方程：;02（4）212x（2）022 x（1）;0121 2y025162x(3)将方程化成(b0）的形式,再求解bx 2再显身手再显身手例例2 解方程解方程: (1) (2) 0412x09)2(122 x将方程化成(b0）的形式,再求解bax2)(解下列方程：解下列方程： 045 t2 2;2516 62x; 0365 52x; 532 42x ; 04916 32x ; 09 12x1、用直接开方法解方程：、用直接开方法解方程： 45221252322

4、xx2、用直接开方法解方程：、用直接开方法解方程： 035392m31253m; 0532mm取何值，无论此方程无解。你会变你会变吗？吗？0 02acax; 0 2acxa ;0 1 acacx时，方程的根是当 时，原方程无实数根。当0 2ac; 313 (2) ; 34 ) 1 (22xx提问：下列方程有解吗？提问：下列方程有解吗？方程 一定有解吗?用直接开平方法可解下列类型用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：的一元二次方程：根据平方根的定义，要特别注意：根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，由于负数没有平方根，所以，当所以，当b0时，原方程无解。时，原方程无解。归纳归纳

5、小结小结.0 ax 0 22bbbbx或（第2课时）用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：;0 ax 0 22bbbbx或根据平方根的定义，要特别注意：根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，由于负数没有平方根，所以当所以当b0时，原方程无解。时，原方程无解。知识回顾知识回顾大胆猜测：使下列式子成立的大胆猜测：使下列式子成立的x为多少？为多少？0)2() 1 (xx0) 3)(2)(2(xx2, 021xx3, 221xx0) 12)(23)(3(xx21,3221xxAB=0A=0或或知识回顾知识回顾解解:240 x 例 解方程。(直接

6、开平方法直接开平方法):,4x. 2, 221xx例例2：解方程：解方程x2- 4=0.另解：原方程可变形为另解：原方程可变形为(x+2)(x2)=0 x+2=0 或或 x2=0 x1=-2 ,x2=2我们观察可以我们观察可以发现发现可以使用平方可以使用平方差公式差公式042x以上解某些一元二次方程的方法叫以上解某些一元二次方程的方法叫做做因式分解法因式分解法。x24=（x2）（）（x2）初试锋芒初试锋芒解下列方程：解下列方程：（2）0942x（1）025162x 例例3 解下列方程：解下列方程： (1)3 (2)5(2)x xx2(2)9610 xx )2(5)2(3) 1 (xxx)2(5

7、)2(3xxx解：移项，得)53(x350) 2( x0 x+2=0或或3x5=0 x1=-2 , x2= 2(2)9610 xx 解：解：原方程可变形为2310 x （）310.x 所以1.xx21所以=-3归纳：用因式分解法解一元二次方程的步骤归纳：用因式分解法解一元二次方程的步骤1 . 方程右边不为零的化为方程右边不为零的化为 。2 . 将方程左边分解成两个将方程左边分解成两个 的的乘积。乘积。3 . 至少至少 一次因式为零，得到一次因式为零，得到两个一元一次方程。两个一元一次方程。4 . 两个两个 就是原方就是原方程的解。程的解。 零零一次因式一次因式有一个有一个一元一次方程的解一元一

8、次方程的解例例 (x+3)(x1)=5解：原方程可变形为解：原方程可变形为(x2)(x+4)=0 x2=0或或x+4=0 x1=2 ,x2=-4解题步骤演示方程右边化为零方程右边化为零x2+2x8 =0左边分解成两个左边分解成两个一次因式一次因式 的乘的乘积积至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程 两个一元一次方程的解一元一次方程的解就是原方程的解 . 1. 1xxx原方程的解为，得以解：方程的两边同时除xx 2) 1 ( 、这样解是否正确呢？这样解是否正确呢？ 方程的两边同时除以同一个方程的两边同时除以同一个不等于零的不等于零的数数，所得的方程与原方程，所得的方程与原方程 同解。同解。拓

9、展练习拓展练习1：辨析：辨析2、下面的解法正确吗？如果不正确，错误在、下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？哪？. 48. 462; 83563)2)(5(18)2)(5(21xxxxxxxxxx或原方程的解为，得由，得由原方程化为解：解方程( )解下列方程：2y y2 2=3y=3y(2) (2a3)2=(a2)(3a4)(3)(1) (x1)(x+2)=2拓展练习拓展练习2：解方程：解方程3) 13(2)23(33)5(2xxxxx(4) (4x3)2=(x+3)2用因式分解法解一元二次方程的步骤用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 方程右边不为零的化为方程右边不为零的化为 。2 .将方

10、程左边分解成两个将方程左边分解成两个 的的乘积。乘积。3 .至少至少 一次因式为零，得到一次因式为零，得到两个一元一次方程。两个一元一次方程。4 .两个两个 就是原方就是原方程的解。程的解。 零零一次因式一次因式有一个有一个一元一次方程的解一元一次方程的解小结小结（第3课时）1、选择合理的方法解下列方程、选择合理的方法解下列方程224x (1)(2)(3)216x2210 x 复习练习：复习练习：、请说出完全平方公式、请说出完全平方公式 2xa2xa_22 axx_22 axx2a2a、根据完全平方公式填空(格式如题(1)228_(_)xxx2210_(_)xxx(1)(2)(3)424525

11、2x_x25(_)2（10）x52(61)x 2162xx 参照第（参照第（1）题，推想一下第（）题，推想一下第（2）题及第（题及第（3）题的解法）题的解法(1)(2)(3)225xx上面，我们把方程上面，我们把方程变形为变形为它的它的左边左边是一个含有未知数的是一个含有未知数的完全平方式完全平方式，右边右边是一个是一个非负常数非负常数.这样，就能应用直接这样，就能应用直接开平方的方法求解开平方的方法求解.这种解一元二次方程的这种解一元二次方程的方法叫做方法叫做配方法配方法.225xx2(61)x 随堂练习解下列方程：224102 550 xxxx （1） 4；（2）.121225xxx 例例

12、1 解下列方程：解下列方程： (1)0132 xx342 xx(2)2430 xx移项，得解：解：(1)2243 11.441.xxxx 配方，得即221.x所以（）2121.xx 所以或1231.xx所以或2223331.22xx （2）配方，得23535.2422xx 即所以1135.223535.22xxx所以即，(1)(2)04842 xx21302xx解下列方程：解下列方程： 拓展练习 想想怎样解？12117xxx 2 2、把常数项移到方程右边；、把常数项移到方程右边；3 3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方， 使左边成为完全平方；

13、使左边成为完全平方；4 4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。1 1、若二次项系数不是、若二次项系数不是1 1，把二次项系数化为，把二次项系数化为1(1(方程两方程两边都除以二次项系数边都除以二次项系数) )；请归纳配方法解一元二次方程的步骤请归纳配方法解一元二次方程的步骤拓展练拓展练习习用配方法证明：代数式用配方法证明：代数式的值是正数的值是正数2082 xx小结：小结：配方法也是一元二次方程常见的解法配方法也是一元二次方程常见的解法)0(02acb

14、xax分两类进行讨论、111aa2. 配方法的运用配方法的运用（第（第4 4课时）课时）第23章 一元二次方程配方法的步骤：配方法的步骤：1.化化 12.移项移项3.配方配方4.求解求解配方的关键是在配方的关键是在方程两边同时添加的方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方常数项等于一次项系数一半的平方。知识回顾知识回顾 用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程 2x2x2 2+4x+1=0+4x+1=0 用配方法解一元二次方程的步骤：用配方法解一元二次方程的步骤：1.1.把原方程化成把原方程化成 x x2 2+px+q=0+px+q=0的形式。的形式。2.2.移项整理移项整理 得得

15、 x x2 2+px=-q +px=-q 3.3.在方程在方程 x x2 2+px= -q +px= -q 的两边同加上一次项系数的两边同加上一次项系数 p p的一半的平方。的一半的平方。 x x2 2+px+( )+px+( )2 2 = -q+( ) = -q+( )2 24. 4. 用直接开平方法解方程用直接开平方法解方程 (x+ )(x+ )2 2= -q= -q 知识回顾知识回顾用配方法解一般形式的一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0( (a0a0) )解解: :把方程两边都除以把方程两边都除以 a,a,得得x x2 2 + x+ = 0+ x+ = 0 解得解得x

16、= - x= - 当当b b2 2-4ac0-4ac0时时, x + =, x + = 4a4a2 20 0即即 ( x + )( x + )2 2 = = 配方，得配方，得 x x2 2 + x+( )+ x+( )2 2 =- +( )=- +( )2 2即即x=x=用求根公式解一元二次方程的方法叫做用求根公式解一元二次方程的方法叫做 公式法。公式法。移项，得移项，得x x2 2 + x=-+ x=-例例 用公式法解方程2x2+x-6=0。解：解：这里a=2，b=1，c=-6，所以b2-4ac=12-42(-6) =49.1、把方程化成一般形式，并写、把方程化成一般形式，并写出出a，b，c

17、的值。的值。2、求出、求出b2-4ac的值。的值。用公式法的一般步骤：用公式法的一般步骤：求根公式求根公式: x=4、写出方程的解：、写出方程的解： x1=?, x2=?3、代入、代入求根公式求根公式 x= (a0, b2-4ac0)(a0, b2-4ac0)2421491 72 24bbacxa 所以即即 x1=-2，x2=32（口答）填空：用公式法解方程（口答）填空：用公式法解方程5x2-4x-12=0。 解：解：a=a= ，b=b= ，c =c = . . b b2 2-4ac=-4ac= = = . . x= x= = = = = . .即即 x x1 1= , x= , x2 2=

18、. = . 5 5-4-4-12-12(-4)(-4)2 2-4-45 5(-12)(-12)2562562 2求根公式求根公式 : x=(a0, b2-4ac0)( 4)2562 5 4 161065解解:将方程化为一般式，得将方程化为一般式，得x x2 24 4x x2 20 0242144422 acb x x4242 26 原方程的解是 x1 ，x2=6262aacbb242用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：x24x2 用公式法解方程：用公式法解方程： x x2 2 x - =0 x - =0解：方程两边同乘以解：方程两边同乘以 3 得得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b=

19、-3，c= -2.b2-4ac=(-3) 2-42(-2)=25. x= x= 即即 x1=2, x2= - 用公式法解方程：用公式法解方程： x x2 2 +3 = 2 x+3 = 2 x 解：移项，得解：移项，得x2 2 -2 x+3 = 0 -2 x+3 = 0a=1a=1，b=-2 b=-2 ，c=3c=3b b2 2-4ac=(-2 -4ac=(-2 ) )2 2-4-41 13=03=0 x x1 1 = x= x2 2 = = = =x=x= = =3x求根公式求根公式 : x=(a0, b2-4ac0)求根公式求根公式 : x=由配方法解一般的一元由配方法解一般的一元二次方程二

20、次方程 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0 (a0)(a0) 若若 b b2 2-4ac0-4ac0，得，得1、把方程化成一般形式。、把方程化成一般形式。 并写出并写出a，b，c的值。的值。2、求出、求出b2-4ac的值。的值。3、代入、代入求根公式求根公式 :用公式法解一元二次方程的用公式法解一元二次方程的一般步骤：一般步骤：小结小结4、写出方程的解：、写出方程的解： x1=?, x2=?(a0, b2-4ac0)x=思考题思考题:1、用公式法解下列方程：、用公式法解下列方程： （m为已知常数）为已知常数）222mmxx2、m取什么值时，方程取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m

21、2-4=0有两个相等的实数有两个相等的实数解？解？（第5课时）第23章 一元二次方程(1)(1)直接开平方法直接开平方法(2)(2)因式分解因式分解法法提公因式法提公因式法公式法：平方差公式，完全平方公式公式法：平方差公式，完全平方公式(3) (3) 配方配方法法(4)(4)公式法公式法当当b-4ac0时，时，x=aacbb242 当二次项系数为当二次项系数为1 1的时候，方程两边的时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方同加上一次项系数一半的平方ax2=b(a0)一 直接开平方法依据：平方根的意义，即如果 x2=a , 那么x =.a这种方法称为直接开平方法。 解题步骤：1，将一元二次方程常

22、数项移到方程的一边。2，利用平方根的意义，两边同时开平方。3，得到形如： x =. a的一元一次方程。4，写出方程的解 x1= ?, x2= ?例1（3x -2）-49=0 例2（3x -4）=（4x -3）解：移项，得：（3x-2）=49 两边开平方，得：3x -2=7解：两边开平方，得： 3x-4=（4x-3） 3x -4=4x-3或3x-4= -4x+3 -x=1或 7x=7 x=-1，x=1例题讲解例题讲解372所以x=35所以x1=3，x2= -二 因式分解法3 (2)5(2)x xx例3 )2(5)2(3xxx解：移项，得(32)6(32)0 xxx例4 1 1 提公因式法提公因式

23、法=0解：提公因式得：(32)(6)0 xx32060 xx或123x 26x提 公 因 式 得(35)(2)0 xx35020 xx或153x22x 2 平方差公式与完全平方公式220 xa()()0 xa xa形如运用平方差公式得：00 xaxa或1xa 2xa2220 xaxa2()0 xa12xxa12xxa 形如的式子运用完全平方公式得：或例题讲解例题讲解（1）29(2)16x解：解：原方程变形为2(1)0 x 324x 直接开平方，得例5 解下列方程:216(2)90 x(2)10 x x （2）2210 xx解：解：原方程变形为154x 2114x 所以 ， 。121xx 所以

24、。三 配方法w我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法w平方根的意义:w完全平方式:式子 a22ab+b2 叫完全平方式,且a22ab+b2 =(ab)2.如果x2=a, 那么x=.a用配方法解一元二次方程的方法的助手:用配方法解一元二次方程 2x2-9x+8=0. 0429:2xx解.41749x. 4494929222xx.1617492x.41749x.4292xxw1.化1:把二次项系数化为1;w3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;w4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;w5.开方:两边开平方;w6.求解:解一元一次方

25、程;w7.定解:写出原方程的解.w2.移项:把常数项移到方程的右边;.4179;417921xx例题讲解例题讲解例例6 6 用配方法解下列方程用配方法解下列方程 x2+6x-7=0762 xx：解97962 xx1632x43x7121xx例题讲解例题讲解例例7 7 用配方法解下列方程用配方法解下列方程2x2+8x-5=02542 xx：解425442 xx21322x2262x2226222621xx四 公式法w 一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) .04.2422acbaacbbxw上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法:,0

26、42它的根是时当 acbw提示:w用公式法解一元二次方程的前提是:w1.必需是一元二次方程。w2.b2-4ac0.w 例8 用公式法解方程2x2+8=9x. 2,9,8abc ，242917917.2 24bbacxa w1.变形:化已知方程为一般形式;w3.计算: b2-4ac的值;w4.代入:把有关数值代入公式计算;w5.定解:写出原方程的根.w2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;22494 2 8170.bac .4179;417921xx例题讲解例题讲解22980.xx解： 原式变为例例9 9 用公式法解方程用公式法解方程2x2+5x-3=0解解: a=2 b=5 c= -3 b2

27、-4ac=52-42(-3)=49 x = = =即即 x1= - 3 x2=例题讲解例题讲解例例 3 3 ：解：化简为一般式：,3320322 21 12 2x xx323 3x x2 20 x323 3x x2 2这里 a=1, b= , c= 3.32b2 - 4ac=( )2 - 413=0,32即：x1= x2=3例题讲解例题讲解1、把方程化成一般形式。、把方程化成一般形式。 并写出并写出a，b，c的值。的值。2、求出、求出b2-4ac的值，将其的值，将其与与0比较。比较。3、代入、代入求根公式求根公式 :用公式法解一元二次方程的一般步骤：用公式法解一元二次方程的一般步骤：4、写出方

28、程的解：、写出方程的解： x1=?, x2=?(a0, b2-4ac0)X=请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程1、3x -1=0 2、x（2x +3）=5（2x +3）3、x -4x-2=0 4、2 x -5x+1=01. 形如形如（x-k）=h的方程可以用的方程可以用直接开平方法直接开平方法求解；求解；2. 千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个跟丢失了。要利用这个因式，因为这样能把方程的一个跟丢失了。要利用因式分解法因式分解法求解；求解；3. 当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的时候可以用当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的时候可以用配方法配方法求解；求解；4. 当我们不能利用上边的方法求解的时候就就可以用公式法求解，当我们不能利用上边的方法求解的时候就就可以用公式法求解，公式法是公式法是万能的万能的。