2021_2021学年新教材高中数学第六章计数原理七二项式系数的性质课时素养评价含解析新人教A版选择性必修第三册.doc

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1、七二项式系数的性质(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.观察图中的数所成的规律,则a所表示的数是()A.8B.6C.4D.2【解析】选B.由题图知,下一行的数是其肩上两数的和,所以4+a=10,得a=6.【加练固】如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,a,b是某行的前两个数,当a=7时,b等于()A.20B.21C.22D.23【解题指南】由图可知,各行数字中除两端的数代表行数外,其他数字均等于上一行中其肩上的两数的和,如4=2+2,7=3+4,11=4+7,14=7+7,据此规律进行求解.【解析】选C.由a=7,可知b左肩上的数为6,右肩上的数为(11+5)即16,所以b

2、=6+16=22.2.已知bxn+1=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+an(x-1)n,对任意xR恒成立,且a1=9,a2=36,则b=()A.4B.3C.2D.1【解析】选D.由已知得bxn+1=b(x-1)+1n+1=a0+a1(x-1)+an(x-1)n,所以a1=b=nb=9,a2=b=36,所以n-1=8,n=9,所以b=1.3.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为()A.3B.6C.9D.21【解析】选B.由于x3=,其展开式的通项为23-r,当r=2时,为21=6,故a2=6.4.已知(1-2x)6=a0+a1x+a

3、2x2+a6x6,则|a0|+|a1|+|a2|+|a6|=()A.1B.-1C.36D.26【解析】选C.由已知展开式中a0,a2,a4,a6大于零,a1,a3,a5小于零.所以|a0|+|a1|+|a2|+|a6|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36.所以|a0|+|a1|+|a2|+|a6|=36.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(x2+1)(x-2)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a11(x-1)11,则a1+a2+a3+a11的值为_.【解析】令x=1,得a0=-2.令x=2,得a

4、0+a1+a2+a11=0.所以a1+a2+a3+a11=2.答案:26.实数ai(i=0,1,2,3,4,5)满足:对任意xR,都有(1+x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0=_,+=_.【解题指南】由二项展开式可直接求出各项的系数,即可求出ai(i=0,1,2,3,4,5),进而可求出结果.【解析】由二项展开式可得(1+x)5=+x+x2+x3+x4+x5=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5,所以a0=1,a1=5,a2=10,a3=10,a4=5,a5=1,故+=1+=.答案:1【加练固】设(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)n=a0

5、+a1x+a2x2+anxn,当a0+a1+a2+an=254时,n=_.【解析】令x=1,得a0+a1+a2+an=2+22+23+2n=254,所以2n=128,即n=7.答案:7三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知nN*,+2+3+n=192,且(3-2x)n=a0+a1x+a2x2+anxn.求(1)展开式中各项的二项式系数之和.(2)a0+a2+a4+a6.(3)|a0|+|a1|+|an|.【解析】因为i=i=n(i=1,2,n),所以+2+3+n=n(+)=n2n-1=326,所以n=6.(1)展开式中各项的二项式系数之和为26=64.(2)令x=1,得a0+a1+a6=

6、1,令x=-1,得a0-a1+a2-+a6=56,相加得a0+a2+a4+a6=7813.(3)令x=-1,得|a0|+|a1|+|an|=56.8.已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,nN*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值.(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.【解析】(1)由已知+2=11,所以m+2n=11,x2的系数为+22=+2n(n-1)=+(11-m)=+.因为mN*,所以m=5时,x2的系数取得最小值22,此时n=3.(2)由(1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3,所以f(x)=(1+x)

7、5+(1+2x)3,设这时f(x)的展开式为f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33,令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,两式相减得2(a1+a3+a5)=60,故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.(15分钟30分)1.(5分)将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(nN+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于()A.26B.27C.7D.8【解题指南】由于是将奇数换成1,故都是奇数,分别验证n=6,7时的情况,直接

8、得出正确选项.【解析】选D.第1行和第3行全是1,已经出现了2次,依题意,第6行原来的数是,而=6为偶数,不合题意;第7行原来的数是,即1,7,21,35,35,21,7,1全为奇数,一共有8个,全部转化为1,这是第三次出现全为1的情况.2.(5分)(多选题)(2020济南高二检测)对任意实数x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a9(x-1)9.则下列结论成立的是()A.a2=-144B.a0=1C.a0+a1+a2+a9=1D.a0-a1+a2-a3+-a9=-39【解析】选ACD.对任意实数x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1

9、)2+a3(x-1)3+a9(x-1)9=-1+2(x-1)9,所以a2=-22=-144,故A正确;故令x=1,可得a0=-1,故B不正确;令x=2,可得a0+a1+a2+a9=1,故C正确;令x=0,可得a0-a1+a2+-a9=-39,故D正确.3.(5分)记f(m,n)为(1+x)6(1+y)4展开式中xmyn项的系数,则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=_.【解析】f(3,0)=20,f(2,1)=60,f(1,2)=36,f(0,3)=4,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=20+60+36+4=120.答案:1204.(5分)若(1+

10、x+x2)n=a0+a1x+a2x2+a2nx2n,则a0+a2+a4+a2n=_.【解析】设f(x)=(1+x+x2)n,则f(1)=3n=a0+a1+a2+a2n,f(-1)=1=a0-a1+a2-a3+a2n,由+得2(a0+a2+a4+a2n)=f(1)+f(-1),所以a0+a2+a4+a2n=.答案:【加练固】如图,在杨辉三角中,虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列an,则数列的第10项为_.【解析】由题意a1=1,a2=1,a3=2,a4=1+2=3,a5=2+3=5,a6=3+5=8,a7=5+8=13,a8=8+13=21,a9=13+21=34,a10=21+34=55

11、.答案:555.(10分)在的展开式中,第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.(1)求n的值.(2)求展开式中所有的有理项.(3)求展开式中系数最大的项.【解题指南】(1)由二项展开式的通项公式分别求出第4项的系数与倒数第4项的系数,然后计算出结果.(2)由通项公式分别计算当r=0,2,4,6时的有理项.(3)设展开式中第r+1项的系数最大,列出不等式求出结果.【解析】(1)由题意知:Tr+1=2r,则第4项的系数为23,倒数第4项的系数为2n-3, 则有=,即=,所以n=7.(2)由(1)可得Tr+1=2r(r=0,1,7),当r=0,2,4,6时,所有的有理项为T1,T3,T5,T7,即T

12、1=20x14=x14,T3=22x9=84x9,T5=24x4=560x4,T7=26x-1=448x-1.(3)设展开式中第r+1项的系数最大,则 r,所以r=5,故系数最大项为T6=25=672.1.(1+ax+by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243,不含y的项的系数的绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为()A.a=2,b=-1,n=5B.a=-2,b=-1,n=6C.a=-1,b=2,n=6D.a=1,b=2,n=5【解析】选D.根据展开式的特点,通过特殊值法找到符合要求的各项系数的绝对值的和,通过方程组解决.只要令x=0,y=1,即得到(1+ax+by)n的展开式

13、中不含x的项的系数的和为(1+b)n,令x=1,y=0,即得到(1+ax+by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1+a)n.如果a,b是正值,这些系数的和也就是系数绝对值的和,如果a,b中有负值,相应地,分别令y=-1,x=0;x=-1,y=0.此时的和式分别为(1-b)n,(1-a)n,由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1+|b|)n,(1+|a|)n.根据题意(1+|b|)n=243=35,(1+|a|)n=32=25,因此n=5,|a|=1,|b|=2.2.已知函数f(x)=(1+x)n,nN*.(1)当n=8时,求展开式中系数的最大项.(2)化简2n-1+2n-2+2n-3+2-1.(3)定义:ai=a1+a2+an,化简:(i+1).【解题指南】(1)根据题意知展开式中系数的最大项就是二项式系数最大的项,n=8,中间项为第5项,其系数最大.(2)根据f=+x+x2+xn-1+xn,令x=2,即可求值.(3)原式添加,利用倒序相加,化简即可.【解析】(1)f=,所以系数最大的项即为二项式系数最大的项T5=x4=70x4.(2)f=+x+x2+xn-1+xn,所以原式=.(3) =2+3+n+, =+n+3+2, 在,添加,则得1+ =+2+3+n+,1+ =+n+3+2+1,+得:2(1+)=2n,所以 =2n-1-1.