2021_2022学年高中数学第一章数列2.1.2等差数列的性质课时素养评价含解析北师大版必修5202103131258.doc

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1、等差数列的性质 (20分钟35分)1.在等差数列an中,a10=30,a20=50,则a40等于()A.40B.70C.80D.90【解析】选D.方法一:设公差为d.因为a20=a10+10d,所以50=30+10d,所以d=2,a40=a20+20d=50+202=90.方法二:因为2a20=a10+a30,所以250=30+a30,所以a30=70,又因为2a30=a20+a40,所以270=50+a40,所以a40=90.2.在等差数列an中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于()A.40B.42C.43D.45【解析】选B.因为a2+a3=13,所以2a1+3d=1

2、3.因为a1=2,所以d=3.所以a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.3.在等差数列an中,首项a1=0,公差d0.若ak=a1+a2+a3+a7,则k=()A.22B.23C.24D.25【解题指南】利用等差数列的性质得:a1+a2+a3+a7=7a4.【解析】选A.因为数列an为等差数列,首项a1=0,公差d0,所以ak=a1+(k-1)d=a1+a2+a3+a7=7a4=21d.解得k=22.4.设an是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13等于()A.120B.105C.90D.75【解析】选B.设公差为d.因为a1+

3、a2+a3=3a2=15,所以a2=5,又因为a1a2a3=80,所以a1a3=16,即(a2-d)(a2+d)=16,因为d0,所以d=3.则a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=105.5.(2020重庆高一检测)等差数列中a2+a4+a6+a8=20,则a3+a7=.【解析】a2+a4+a6+a8=2=20,所以a3+a7=10.答案:106.(1)三个数成等差数列,和为6,积为-24,求这三个数;(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.【解析】(1)方法一:设等差数列的等差中项为a,公差为d,则这三个数分别为a-d,a,a+d,由已

4、知,3a=6且a(a-d)(a+d)=-24,所以a=2,代入a(a-d)(a+d)=-24,化简得d2=16,于是d=4,所以这三个数为-2,2,6或6,2,-2.方法二:设首项为a,公差为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d,由已知,3a+3d=6,且a(a+d)(a+2d)=-24,所以a=2-d,代入a(a+d)(a+2d)=-24,得2(2-d)(2+d)=-24,整理得4-d2=-12,即d2=16,于是d=4,所以,这三个数为-2,2,6或6,2,-2.(2)方法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),由已知,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-

5、8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,所以d0,所以d=1,所以所求的四个数为-2,0,2,4.方法二:设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d),由已知,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,把a=1-d代入a(a+3d)=-8,得=-8,即1-d2=-8,化简得d2=4,所以d=2或-2.又四个数成递增等差数列,所以d0,所以d=2,所以所求的四个数为-2,0,2,4.【补偿训练】设数列an是等差数列,bn=,又因为b1+b2+b3=,b1b2b3=,求通项an.【解析】因为b1b2b3=,又因为bn=,所以=.所以=,

6、所以a1+a2+a3=3,又因为an成等差数列,所以a2=1,a1+a3=2,所以b1b3=,b1+b3=,所以或即或所以an=2n-3或an=-2n+5. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020石嘴山高一检测)在等差数列中,若a1+a2=4,a3+a4=12,则a5+a6=()A.8B.16C.20D.28【解析】选C.因为为等差数列,则a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等差数列,公差为12-4=8.所以a5+a6=a3+a4+8=12+8=20.2.在数列中,已知an+1-an=an+2-an+1,a1 011=1,则该数列中a1+a2 021=()A.1B

7、.2C.3D.4【解题指南】根据条件判断出为等差数列,利用等差数列的等差中项得到答案.【解析】选B.因为an+1-an=an+2-an+1,所以2an+1=an+an+2,所以为等差数列,因为a1 011=1,所以a1+a2 021=2a1 011=2.【光速解题】选B.根据题意,可以让a1=a2=a2 021=1求解.3.(2020邢台高一检测)在等差数列an中,若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为()A.30B.27C.24D.21【解题指南】首先由等差中项的性质知:a4=13,a5=11,由d=a5-a4,a3+a6+a9=3a6,计算a6代入即可.

8、【解析】选B.因为a1+a4+a7=3a4=39,所以a4=13.因为a2+a5+a8=3a5=33,所以a5=11.所以d=a5-a4=-2.又a6=a5+d=9,所以a3+a6+a9=3a6=27.4.(2020福州高三检测)在等差数列中,已知a1=3,公差d=2,若am=a1+a2+a3+a4+a5(mN*),则m=()A.19B.18C.17D.16【解题指南】依题意an=2n+1,且a1+a2+a3+a4+a5=5a3=35,令am=35解方程即可.【解析】选C.根据题意,数列an是等差数列,且a1=3,公差d=2,所以an=a1+(n-1)d=3+2n-2=2n+1,又因为am=2

9、m+1=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=35(mN*),所以m=17.5.设等差数列满足a3+a7=36,a4a6=275,且anan+1有最小值,则这个最小值为()A.-10B.-12C.-14D.-16【解题指南】设该等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意,分析可得(a1+2d)+(a1+6d)=36,(a1+3d)(a1+5d)=275,解可得a1与d的值,即可得数列的通项,将其代入anan+1中,结合二次函数的性质分析可得答案.【解析】选B.根据题意,设该等差数列的首项为a1,公差为d,若a3+a7=36,a4a6=275,则有(a1+2d)+(a1+6d)=36,(a1+3d

10、)(a1+5d)=275,解得或,则数列的通项为an=7n-17或an=-7n+53,当an=7n-17时,anan+1=(7n-17)(7n-10)=49=49-,分析可得当n=2时,anan+1有最小值,且其最小值为-12;当an=-7n+53时,anan+1=(-7n+53)(-7n+46)=(7n-53)(7n-46)=49,因为=7.07,分析可得当n=7时,anan+1有最小值,且其最小值为-12;即anan+1有最小值-12.【误区警示】本题因为d有两个解,所以求解an易错,最后在计算anan+1的最值时由于计算量较大,也容易出错.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(5分)已

11、知an为等差数列,且a6=4,则a4a7的最大值为.【解析】设等差数列的公差为d,则a4a7=(a6-2d)(a6+d)=(4-2d)(4+d)=-2(d+1)2+18,即a4a7的最大值为18.答案:187.已知数列an为等差数列且a1+a7+a13=4,则tan(a2+a12)的值为.【解析】由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4,所以a7=.所以tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =tan =-.答案:-8.在ABC中,若lgsin A,lgsin B,lgsin C成等差数列,且三个内角A,B,C也成等差数列,则ABC的形状为.【解析】因为lgsin A,lgs

12、in B,lgsin C成等差数列,得lgsin A+lgsin C=2lgsin B,即sin2 B=sin Asin C,又三内角A,B,C也成等差数列,所以B=60,代入得sin Asin C=,设A=60-,C=60+,代入得sin(60+)sin(60-)=,cos2-sin2=,即cos2 =1,所以=0,所以A=B=C=60,所以ABC为等边三角形.答案:等边三角形三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知无穷等差数列an,首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列bn.(1)求b1和b2;(2)求数列bn的通项公式;(3)数列bn中的第110项是数列a

13、n中的第几项?【解析】(1)由题意,等差数列an的通项公式为an=3+(n-1)(-5)=8-5n,设数列bn的第n项是数列an的第m项,则需满足m=4n-1,nN+,所以b1=a3=8-53=-7,b2=a7=8-57=-27.(2)由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,所以新数列bn也为等差数列,且首项为b1=-7,公差为d=-20,所以bn=b1+(n-1)d=-7+(n-1)(-20)=13-20n.(3)因为m=4n-1,nN+,所以当n=110时,m=4110-1=439,所以数列bn中的第110项是数列an中的第439项.10.某化工厂打算投入一

14、条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产,已知该厂连续生产n个月的累计产量为f(n)=n(n+1)(2n-1)吨,但如果月产量超过96吨,将会给环境造成危害.(1)请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期.(2)若该厂在环保部门的规定下生产,但需要每月交纳a万元环保税,已知每吨售价0.6万元,第n个月的工人工资为g(n)=n2-n-1万元,若每月都赢利,求出a的范围?【解析】(1)设化工厂每个月的产量构成数列an,则an=f(n)-f(n-1)=n(n+1)(2n-1)-(n-1)n(2n-3)=3n2-2n,所以产量逐月递增.当3n2-2n96时,解得n6,所以环保部门给厂拟定最长的生产周期为6个月.(2)若每月都赢利,则(3n2-2n)-a0恒成立,所以a,当n=2时,=,所以a0,所以0a.1.在数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列第1行123第2行246第3行369那么位于表中的第n行第n+1列的数是.【解析】观察可知,第n行的数构成以n为首项,n为公差的等差数列,所以第n行第n+1列的数是n+(n+1)-1n=n2+n.答案:n2+n2.已知,成等差数列,求证:,也成等差数列.【证明】因为,成等差数列,所以=+,即2ac=b(a+c).因为+=,所以,成等差数列.