11版全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）（含解析版）.doc

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1、2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）复数z=1+i， 为z 的共轭复数，则zz1=（）A2iBiCiD2i2（5分）函数y=（x0）的反函数为（）Ay=（xR）By=（x0）Cy=4x2（xR）Dy=4x2（x0）3（5分）下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1Bab1Ca2b2Da3b34（5分）设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2Sk=24，则k=（）A8B7C6D55（5分）设函数f（x）=cosx（0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重

2、合，则的最小值等于（）AB3C6D96（5分）已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）ABCD17（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A4种B10种C18种D20种8（5分）曲线y=e2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）ABCD19（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x），则=（）ABCD10（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x4与C交于A，B两点

3、，则cosAFB=（）ABCD11（5分）已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成60二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为（）A7B9C11D1312（5分）设向量，满足|=|=1，=，=60，则|的最大值等于（）A2BCD1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 14（5分）已知（，），sin=，则tan2= 15（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点AC，点M的坐标为（2，0），AM为F1AF2的平分线，则|AF2|= 1

4、6（5分）已知E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知AC=，a+c=b，求C18（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3设各车主购买保险相互独立（）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求X的期望19（12分）如图，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，

5、侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1（）证明：SD平面SAB；（）求AB与平面SBC所成的角的大小20（12分）设数列an满足a1=0且（）求an的通项公式；（）设，记，证明：Sn121（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足（）证明：点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上22（12分）（）设函数，证明：当x0时，f（x）0（）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：2011年全

6、国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）复数z=1+i， 为z 的共轭复数，则zz1=（）A2iBiCiD2i【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可【解答】解：=1i，所以=（1+i）（1i）1i1=i故选：B【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型2（5分）函数y=（x0）的反函数为（）Ay=（xR）By=（x0）Cy=4x2（xR）Dy=4x2（x0）【考点】4R：反函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由原函

7、数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）【解答】解：y=（x0），x=，y0，故反函数为y=（x0）故选：B【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域3（5分）下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1Bab1Ca2b2Da3b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【专题】5L：简易逻辑【分析】利用不等式的性质得到ab+1ab；反之，通过举反例判断出ab推不出ab+1；利用条件的定义判断出选项【解答】解：ab+1ab；反之，例如a=2，b=1满足ab，但a=

8、b+1即ab推不出ab+1，故ab+1是ab成立的充分而不必要的条件故选：A【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法4（5分）设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2Sk=24，则k=（）A8B7C6D5【考点】85：等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先由等差数列前n项和公式求得Sk+2，Sk，将Sk+2Sk=24转化为关于k的方程求解【解答】解：根据题意：Sk+2=（k+2）2，Sk=k2Sk+2Sk=24转化为：（k+2）2k2=24k=5故选：D【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了

9、方程思想，属中档题5（5分）设函数f（x）=cosx（0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于（）AB3C6D9【考点】HK：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，kZ令k=1，可得=6故选：C【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型6（5分）

10、已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）ABCD1【考点】MK：点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥DABC的高为h，所以AD=，CD=，BC=由VBACD=VDABC可知所以，h=故选C【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查

11、转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力7（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A4种B10种C18种D20种【考点】D3：计数原理的应用菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种

12、，根据分类计数原理知共10种，故选：B【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中8（5分）曲线y=e2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）ABCD1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可【解答】解：y=e2x+1y=（2）e2xy|x=0=（2）e2x|x=0=2曲线y=e2x

13、+1在点（0，2）处的切线方程为y2=2（x0）即2x+y2=0令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为1=故选：A【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题9（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x），则=（）ABCD【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由题意得 =f（ ）=f（），代入已知条件进行运算【解答】解：f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x），=f（ ）=f（）=2 （1 ）=，

14、故选：A【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值10（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x4与C交于A，B两点，则cosAFB=（）ABCD【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据已知中抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x4与C交于A，B两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量，的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F，F点的坐标为（1，0）又直线y=2x4与C交于A，B两点，则A，B两点坐标分别为（1，2）（4，4），则=（0，2），=（3，4），

15、则cosAFB=，故选：D【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧11（5分）已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成60二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为（）A7B9C11D13【考点】MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积【解答】解：圆M的面积为4圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=过圆心M且与成60二面角的平面截

16、该球面得圆NOMN=30，在直角三角形OMN中，ON=圆N的半径为则圆的面积为13故选：D【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题12（5分）设向量，满足|=|=1，=，=60，则|的最大值等于（）A2BCD1【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值【解答】解：，的夹角为120，设，则；=如图所示则AOB=120；ACB=60AOB+ACB=1

17、80A，O，B，C四点共圆由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选：A【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为0【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数分别取1，9求出x的系数与x9的系数；求出值【解答】解：展开式的通项为令得r=2；令得r=18x的系数与x9的系数C202，C2018x的系数与

18、x9的系数之差为C202C2018=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题14（5分）已知（，），sin=，则tan2=【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用题目提供的的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2【解答】解：由（，），sin=，得cos=，tan=tan2=故答案为：【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题15（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点AC，点M的坐标为（2，0），AM为F1AF2

19、的平分线，则|AF2|=6【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上AM为F1AF2的平分线=又|AF1|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义16（5分）已知E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于【考点】M

20、J：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BPAS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值【解答】解：由题意画出图形如图：因为E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BPAS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是BPE，因为B1E=2EB，CF=2FC1，所以BE：CF=1：2所以S

21、B：SC=1：2，设正方体的棱长为：a，所以AS=a，BP=，BE=，在RTPBE中，tanEPB=，故答案为：【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知AC=，a+c=b，求C【考点】HU：解三角形菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由AC等于得到A为钝角，根据诱导公式可知sinA与cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=b化简后，把sinA换为cosC，利用特殊角的三角函数值和两角和的正弦函数公式把

22、左边变为一个角的正弦函数，给方程的两边都除以后，根据C和B的范围，得到C+=B或C+B=，根据A为钝角，所以C+B=不成立舍去，然后根据三角形的内角和为，列出关于C的方程，求出方程的解即可得到C的度数【解答】解：由AC=，得到A为钝角且sinA=cosC，利用正弦定理，a+c=b可变为：sinA+sinC=sinB，即有sinA+sinC=cosC+sinC=sin（C+）=sinB，又A，B，C是ABC的内角，故C+=B或C+B=（舍去），所以A+B+C=（C+）+（C+）+C=，解得C=【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题学

23、生做题时应注意三角形的内角和定理及角度范围的运用18（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3设各车主购买保险相互独立（）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求X的期望【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】（）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率即可（）每位

24、车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可【解答】解：（）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（10.5）=0.3，故P=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（10.5）（10.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率10.2=0.8（）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，XB（100，0.2）所以EX=1000.2=20【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力19（12分）如图，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，

25、侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1（）证明：SD平面SAB；（）求AB与平面SBC所成的角的大小【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（）证明：在直角梯形ABCD中，ABCD，BCCD，AB=BC=2，CD=1AD=侧面SAB为等边三角形，AB=2SA=

26、2SD=1AD2=SA2+SD2SDSA同理：SDSBSASB=S，SA，SB面SABSD平面SAB（）建立如图所示的空间坐标系则A（2，1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，1）又=（0，2，0）cos，=，=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，

27、直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题20（12分）设数列an满足a1=0且（）求an的通项公式；（）设，记，证明：Sn1【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（）由是公差为1的等差数列，知，由此能求出an的通项公式（）由=，能够证明Sn1【解答】解：（）是公差为1的等差数列，（nN*）（）=，=11【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用21（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足（）证明：点P在C

28、上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可【解答】证明：（）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：，则直线AB的方程为：y=x+1 联立方程可得4x22x1=0，则x1+x

29、2=，x1x2=则y1+y2=（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=（+）=（，1）p的坐标为（，1）代入方程成立，所以点P在C上（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y=（x），即y=x+；P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=x；联立方程组，解之得：x=，y=的交点就是圆心O1（，），r2=|

30、O1P|2=（）2+（1）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y）2=，把y=x+1 代入，有x1+x2=，y1+y2=1A，B也是在圆上的A、P、B、Q四点在同一圆上【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键22（12分）（）设函数，证明：当x0时，f（x）0（）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】14：证明题；16：压轴题【分析】（）欲证明当x

31、0时，f（x）0，由于f（0）=0利用函数的单调性，只须证明f（x）在0，+）上是单调增函数即可先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案（）先计算概率P=，再证明，即证明999881（90）19，最后证明e2，即证e2，即证19ln2，即证ln，而这个结论由（1）所得结论可得【解答】（）证明：f（x）=，当x1，时f（x）0，f（x）在（1，+）上是单调增函数，当x0时，f（x）f（0）=0即当x0时，f（x）0（）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=，要证P先证：P=，即证即证999881（90）19而9981=（90+9）（909）=902929029882=（90+8）（908）=902829029189=（90+1）（901）=90212902999881（90）19即P再证：e2，即证e2，即证19ln2，即证ln由（）f（x）=ln（1+x），当x0时，f（x）0令x=，则ln（1+）=ln（1+）0，即ln综上有：P【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力第12页（共12页）