2021_2021学年高中数学第四章复数4.1.2定积分课时素养评价含解析北师大版选修2_.doc

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1、课时素养评价十八定积分(20分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.定积分(-3)dx等于()A.-6B.6C.-3D.3【解析】选A.由定积分的几何意义可知(-3)dx表示由x=1，x=3，y=0及y=-3所围成的矩形面积的相反数，故(-3)dx=-6.【加练固】已知xdx=2，则xdx等于()A.0B.2C.-1D.-2【解析】选D.可以根据定积分的几何意义进行判断.2.下列结论不正确的是()A.若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx=0B.若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx=2f(x)dxC.若f(x)在a，b上连续且恒正，则f(x)dx0D.若f(x)在a，b)上连续

2、且f(x)dx0，则f(x)在a，b)上恒正【解析】选D.对于A，因为f(x)是奇函数，所以图像关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，A正确；对于B，因为f(x)是偶函数，所以图像关于y轴对称，B正确；C显然正确；对于D，f(x)可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)0的曲线与x轴围成的面积比f(x)0的曲线与x轴围成的面积大，D不正确.3.下列等式不成立的是()A.mf(x)+ng(x)dx=mf(x)dx+ng(x)dxB.f(x)+1dx=f(x)dx+b-aC.f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dxD.sin xdx=sin xdx+sin x

3、dx【解析】选C.利用定积分的性质可判断A，B，D成立，C不成立.4.定积分dx的值为()A.B.9C.18D.【解析】选A.因为dx表示圆x2+y2=9的面积的一半，所以dx=32=.二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知定积分f(x)dx=8，且f(x)是偶函数，则f(x)dx的值为_.【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(x)的图像关于y轴对称，所以f(x)dx=f(x)dx，所以f(x)dx=2f(x)dx=16.答案：166.若cos xdx=1，则由x=0，x=，f(x)=sin x及x轴围成的图形的面积为_.【解析】由正弦函数与余弦函数的图像知：f(x)=sin x，x0，的

4、图像与x轴围成的图形的面积等于g(x)=cos x，x0，的图像与x轴围成的图形的面积的2倍，所以答案为2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7.利用定积分的几何意义求下列定积分.(1)dx.(2)(x3+3x)dx.【解题指南】对于(1)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(2)可根据被积函数的奇偶性求解.【解析】(1)被积函数的图像是一个以原点为圆心，以R为半径的半圆，如图所示，所以dx=R2=.(2)因为y=x3+3x在区间-1，1上为奇函数，图像关于原点对称，所以曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等.由定积分的几

5、何意义知(x3+3x)dx=0.8.利用定积分的几何意义证明下列等式成立.(1)cos xdx=2cos xdx.(2)sin xdx=0.【证明】(1)函数y=cos x，x是偶函数，所以曲线y=cos x，x与x轴围成图形的面积S1等于曲线y=cos x，x与x轴围成图形的面积S2，于是由定积分的几何意义，有cos xdx=S1+S2=2S2=2cos xdx.(2)函数y=sin x，x-，是奇函数，设曲线y=sin x，x-，0与x轴围成图形的面积为S1，设曲线y=sin x，x0，与x轴围成图形的面积为S2，易知S1=S2，从而由定积分的几何意义，有sin xdx=-S1+S2=0.

6、(15分钟30分)1.(5分)与定积分|cos x|dx相等的是()A.B.cos xdxC.cos xdx-cos xdxD.cos xdx-cos xdx【解析】选D.因为被积函数f(x)=|cos x|=所以|cos x|dx=cos xdx+(-cos x)dx=cos xdx-cos xdx.2.(5分)由曲线y=ex和x=0，y=2围成图形的面积S表示为()A.exdxB.2ln 2-exdxC.(2+ex)dx D.以上都不对【解析】选B.如图所示，可先求得由x轴，x=0，x=ln 2和y=ex围成的曲边梯形的面积即为exdx，再由矩形面积2ln 2减去该曲边梯形面积可得所求面积

7、S.3.(5分)dx=_.【解题指南】直接求解不容易，就应该考虑特殊图形，比如本题的图形就是圆的一部分.【解析】dx表示圆(x-3)2+y2=1的四分之一的面积，如图阴影所示，面积S=12=，即dx=.答案：4.(5分)已知x2dx=，x2dx=，则dx=_.【解析】因为x2dx=x2dx+x2dx=+=，1dx=2，所以dx=x2dx+1dx=+2=.答案：5.(10分)用定积分表示抛物线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围成的图形的面积.【解析】解方程组得交点的横坐标为x=0和x=3.如图，由y=x2-2x+3，x=0，x=3和y=0围成的曲边梯形的面积为(x2-2x+3)dx，由y=x+3，x=0，x=3和y=0围成的梯形的面积为(x+3)dx，所以所求图形(阴影)的面积为(x+3)dx-(x2-2x+3)dx=(-x2+3x)dx.1.若dx=，则m=_.【解析】根据定积分的几何意义dx表示圆(x+1)2+y2=1和直线x=-2，x=m和y=0围成的图形的面积，又dx=，为四分之一圆的面积，结合图形知m=-1.答案：-12.计算dx.【解析】由y=可知，x2+y2=1(y0)图像如图，由定积分的几何意义知dx等于圆心角为120的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和.S弓形=12-11sin =-，S矩形=ABBC=2=，所以dx=-+=+.