2021_2021学年高中数学第二章空间向量与立体几何6距离的计算课时跟踪训练含解析北师大版选修2_.doc

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1、第二章 空间向量与立体几何A组基础巩固1已知平面的一个法向量为n(2，2,1)，点A(1，3,0)在内，则平面外一点P(2,1,4)到的距离为()A10B3C. D.解析：(1,2，4)，又平面的一个法向量为n(2，2，1)，所以P到的距离为|.答案：D2如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，ABBC1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()A. B.C. D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)设点P的坐标为(0，2)，0,1，点Q的坐标为(1，0)，0,1，PQ，当且仅当，时

2、，线段PQ的长度取得最小值.答案：C3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.a B.aC.a D.a解析：A1C平面AB1D1，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n(1，1,1)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，(0，a,0)，则两平面间的距离为d|a.答案：D4.如图，PABCD是正四棱锥，ABCDA1B1C1D1是正方体，其中AB2，PA，则B1到平面PAD的距离为()A6 B.C. D.解析：以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，

3、设平面PAD的法向量是n(x，y，z)，由题意知，B1(2,0,0)，A(0,0,2)，D(0,2,2)，P(1，1,4).(0,2,0)，(1,1,2)，n0，且n0.y0，xy2z0，取z1，得n(2,0,1)(2,0,2)，B1到平面PAD的距离d.答案：C5如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1A5，AB12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A5 B8C. D.解析：解法一：B1C1BC，B1C1平面A1BCD1.从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求如图，过点B1作B1EA1B于点E.BC平面A1ABB1，且B1E平面A1ABB1，BCB1E.又BCA1BB

4、，B1E平面A1BCD1，B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离在RtA1B1B中，B1E，直线B1C1到平面A1BCD1的距离为.解法二：以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,12,0)，D1(0,0,5)设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x0)设平面A1BCD1的法向量为n(a，b，c)，由n，n，得n(a，b，c)(x,0,0)ax0，n(a，b，c)(0，12,5)12b5c0，a0，bc，可取n(0,5,12)又(0,0，5)，点B1到平面A1BCD1的距离为.B1C1平面A1BCD1，B1C1到平面A1BCD1的距离

5、为.答案：C6如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为_解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，F(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有(1，1，1)，(0，2,1)，所以，|，所以点D1到直线GF的距离为 .答案：7已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为_解析：如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则平

6、面ACD1的一个法向量为(1,1,1)，M(1,1，)，A(1,0,0)，(0,1，)，点M到平面ACD1的距离为d.又綊，MN平面ACD1.故MN平面ACD1，故MN到平面ACD1的距离也为d.答案：8在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2，AA11，则点A到平面A1BC的距离为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,1)，(，1，1)，(0,2，1)设平面A1BC的法向量n(x，y，z)，则即令y3，则n(，3,6)，n0.又(0,0,1)，d|n0|.答案：9已知单位正方体ABCDA1B1C1D1，求点A到平面BDC1的距离

7、解析：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可知B(1,1,0)，C1(0,1,1)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则令y1，则平面BDC1的法向量为n(1，1,1)取平面BDC1内的点D(0,0,0)，则(1,0,0)，点A到平面BDC1的距离为d|.10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离解析：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，从而(2,2,0

8、)，(2,2,0)，(2,0,4)，(2,0,4)，EFMN，AMBF.又EFBFF，MNAMM，平面AMN平面EFBD.设n(x，y，z)是平面AMN的法向量，则，解得，取z1，得n(2，2,1)为平面AMN的一个法向量(0,4,0)，在n上的投影为，平面AMN与平面EFBD间的距离记为d，d.B组能力提升1已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C到平面AB1D的距离为()A.a B.aC.a D.a解析：连接A1B交AB1于点E，连接ED，A1D，DB，易证A1BAB1，A1BED.A1B平面AB1D，是平面AB1D的一个法向量点C到平面AB1D的距

9、离为da.答案：A2在空间直角坐标系中，定义平面的一般方程为：AxByCzD0(A，B，C，DR，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面的距离d，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于()A. B.C2 D5解析：作出正四棱锥PABCD，如图，以底面中心O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(1,1,0)，B(1,1,0)，P(0,0,2)，设平面PAB的方程为AxByCzD0，将以上3个坐标代入计算得A0，BD，CD，所以平面PAB的方程为DyDzD0，即2yz20，所以点O到侧面的距离d.答案：B3如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，且

10、PDAD，PDDC，PD3，AD2，若M是AB的中点，则点M到平面PAC的距离为_解析：如图建系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，则M(2,1,0)，设n(x，y，z)为平面PAC的一个法向量，(2,0，3)，(0,2，3)，由xy，取z2，则xy3，n(3,3,2)，(0，1,0)，d，所以点M到平面PAC的距离为.答案：4如图，四面体ABCD中，O，E分别为BD，BC的中点，ABAD2，CACBCDBD2，AO平面BCD，则点D到平面ABC的距离为_解析：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0，)，B(，0,0

11、)，C(0，0)，D(，0,0)，(，0，)，(，0)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则，即，令y1，得n(，1，)，又(，0，)，点D到平面ABC的距离h.答案：5在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CC1的中点(1)求证：AD平面A1EFD1；(2)求AD到平面A1EFD1的距离解析：(1)证明：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，A1(a,0，a)，D(0，0,0)，D1(0,0，a)，E(a，a，)，F(0，a，)(a,0,0)，(a,0,0)DAD1A1，而D1A

12、1平面A1EFD1，DA平面A1EFD1，DA平面A1EFD1.(2)由(1)知(0，a，)，(0,0，a)设n(x，y，z)是平面A1EFD1的法向量，则取z1得n(0，1)，在n上的投影长为da.AD到平面A1EFD1的距离是a.6.如图，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD90，且PAAD2，E，F分别是线段PA，PD的中点问：线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为？若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由解析：由题意知PA，AD，AB两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，D(0,2,0)，E(0,0,1)，F(0,1,1)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件令CQm(0m2)，则DQ2m.点Q的坐标为(2m,2,0)，(2m,2，1)而(0,1,0)，设平面EFQ的法向量为n(x，y，z)，则，令x1，则n(1,0,2m)是平面EFQ的一个法向量又(0,0,1)，点A到平面EFQ的距离d，即(2m)2，m或m(舍去)故存在点Q，且CQ时，点A到平面EFQ的距离为.