2021_2021学年高中数学第三章导数应用3.2.2最大值最小值问题课时素养评价含解析北师大版选修2_.doc

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1、课时素养评价十六最大值、最小值问题(20分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.函数f(x)=x3-3ax-a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是()A.0，1)B.(0，1)C.(-1，1)D.【解析】选B.因为f(x)=3x2-3a，令f(x)=0，可得a=x2，又因为x(0，1)，所以0a0在上恒成立.所以f(x)在上是增加的.所以f(x)min=-+2cos=-.3.函数y=在定义域内()A.有最大值2，无最小值B.无最大值，有最小值-2C.有最大值2，最小值-2D.无最值【解析】选C.令y=0，得x=1.x(-，-1)-1(-1，1)1(1，+)y-0+0-y极小值极大

2、值由上表可知x=-1时，y取极小值也是最小值-2；x=1时，y取极大值也是最大值2.4.函数f(x)=x2-2ln x在1，2上的最大值是()A.4-2ln 2B.1C.4+2ln 2D.-1【解析】选A.由题可得f(x)=2x-=，显然当x1，2时，f(x)0，故函数f(x)在1，2上单调递增，故函数f(x)在1，2上的最大值为f(2)=4-2ln 2.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2020南昌高二检测)设函数f(x)=x3+ax2+bx(x0)的图像与直线y=4相切于点M(1，4)，则y=f(x)在区间(0，4上的最大值为_；最小值为_.【解析】f(x)=3x2+2ax+b(x0

3、).依题意，有即解得所以f(x)=x3-6x2+9x.令f(x)=3x2-12x+9=0，解得x=1或x=3.当x变化时，f(x)，f(x)在区间(0，4上的变化情况如表：x(0，1)1(1，3)3(3，4)4f(x)+0-0+f(x)404所以函数f(x)=x3-6x2+9x在区间(0，4上的最大值是4，最小值是0.答案：406.已知函数f(x)=e-x-ex，x0，a，a为正实数，则函数f(x)的最小值为_，最大值为_.【解析】f(x)=-(ex)=-ex=-.当x0，a时，f(x)0恒成立，即f(x)在0，a上是减少的.故当x=a时，f(x)有最小值f(a)=e-a-ea；当x=0时，f

4、(x)有最大值f(0)=e-0-e0=0.即f(x)的最小值为e-a-ea，最大值为0.答案：e-a-ea0三、解答题(每小题10分，共20分)7.已知函数f(x)=x3-ax2+3x.(1)若f(x)在1，+)上是增加的，求实数a的取值范围.(2)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=3x2-2ax+3，因为x1，+)时f(x)0恒成立，所以a=3(当且仅当x=1时取等号).所以a3.(2)由题意知f(3)=0，即27-6a+3=0，所以a=5，f(x)=x3-5x2+3x，f(x)=3x2-10x+3.令f(x)=0，得x1=3，x2=(

5、舍去).当1x3时，f(x)0；当3x0，即当x=3时，f(x)取极小值f(3)=-9.又f(1)=-1，f(5)=15，所以f(x)在1，5上的最小值是-9，最大值是15.8.已知函数f(x)=，若函数在区间(其中a0)内存在最大值，求实数a的取值范围.【解析】因为f(x)=，x0，所以f(x)=-.当0x0；当x1时，f(x)0)内存在最大值，所以解得a0得x-1，令f(x)0，得-1x0).y=2t-=.当0t时，y时，y0，可知y在上是增加的.故当t=时，|MN|有最小值.3.(5分)已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m，n-1，1，则f(m)+f(n)的最小值

6、是_.【解析】f(x)=-3x2+2ax，由题意知f(2)=0，得a=3，所以f(x)=-x3+3x2-4，令f(x)=-3x2+6x=-3x(x-2)=0，解得x1=0，x2=2(舍去)，因为f(-1)=0，f(0)=-4，f(1)=-2，所以f(x)min=-4，因为f(x)=-3x2+6x=-3(x-1)2+3，所以f(x)min=f(-1)=-9，所以f(m)+f(n)的最小值是-4-9=-13.答案：-134.(5分)函数f(x)=ax4-4ax2+b(a0，1x2)的最大值为3，最小值为-5，则a=_，b=_.【解析】f(x)=4ax3-8ax=4ax(x2-2)，因为a0，x1，

7、2，所以当x(1，)时，f(x)0，所以f(x)min=f()=b-4a=-5，f(x)max=f(2)=b=3，由可得a=2，b=3.答案：235.(10分)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y=x3-x+8(0x120).(1)当x=64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？【解析】 (1)当x=64千米/小时时，要行驶100千米需要=小时，要耗油=11.95(升).(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，=22.5，所以a=，设h(x)=x2+-，则当h(x

8、)最小时，a取最大值，h(x)=x-=，令h(x)=0x=80，当x(0，80)时，h(x)0，故当x(0，80)时，函数h(x)为减少的，当x(80，120)时，函数h(x)为增加的，所以当x=80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值，所以a=200.答：若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米.1.设函数f(x)=ax3-3x+1(xR)，若对于任意的x(0，1都有f(x)0成立，则实数a的取值范围为_.【解析】因为x(0，1，所以f(x)0可化为a-.设g(x)=-，则g(x)=.令g(x)=0，得x=.当0x0；当x1时，g(x)0.所以g(x)在(0，1上有极大值g=4

9、，它也是最大值，故a4.答案：4，+)2.已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a，b，cR).(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值，试求a，b的值.(2)在(1)的条件下，当x-2，6时，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范围.【解析】(1)f(x)=3x2-2ax+b，因为函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值，所以-1，3是方程3x2-2ax+b=0的两根.所以所以(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c，f(x)=3x2-6x-9.当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化如表：x(-，-1)-1(-1，3)3(3，+)f(x)+0-0+f(x)极大值c+5极小值c-27而f(-2)=c-2，f(6)=c+54，所以当x-2，6时，f(x)的最大值为c+54，要使f(x)2|c|恒成立，只要c+542|c|即可，当c0时，c+5454；当c0时，c+54-2c，所以c-18.所以c(-，-18)(54，+)，此即为参数c的取值范围.