2017届高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语文北师大版.doc

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1、【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 文 北师大版第1课时集合的概念与运算1集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义3集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算1集合与元素(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性(

2、2)集合与元素的关系a属于集合A，用符号语言记作aA.a不属于集合A，用符号语言记作aA.(3)常见集合的符号表示数集自然数集(非负整数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NNZQR(4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同AB且BAAB子集A中任意一个元素均为B中的元素AB或BA真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素AB或BA空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A，B(B)3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为U

3、A图形表示意义x|xA，或xBx|xA，且xBUAx|xU，且xA性质AAB BAB ABBABABA ABB ABAABU(AB)(UA)(UB) U(AB)(UA)(UB) 基础自测1设全集U1,2,3,4,5，集合M1,4，N1,3,5，则N(UM)()A1,3B1,5C3,5 D4,5解析：UM2,3,5，NUM1,3,52,3,53,5答案：C2(教材改编题)设集合Ax|2x4，Bx|3x782x，则AB等于()Ax|3x2 Dx|x2解析：Bx|3x782xx|5x15x|x3，ABx|3x4，故选A.答案：A3已知集合A0,1，x25x，若4A，则实数x的值为()A1 B4C1或

4、4 D36解析：4A，x25x4，解得x1或4，故选C.答案：C4用符号或填空：(1,1)_y|yx2；(1,1)_(x，y)|yx2解析：y|yx2中元素是数，而(1,1)表示一组有序实数对或一个点，(1,1)y|yx2(1,1)(x，y)|yx2答案：5已知集合A1,2，Bx|mx10，若ABA，则m的值为_解析：ABABA，若B，则m0，若B，则1或2，m1或m.答案：0,1，大一轮复习考点一集合的基本概念例1(1)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA, yA 中元素的个数是()A1B3C5 D9(2)设集合A1,1,3，Ba2，a24，AB3，则实数a的值为_审题视点(1)令xA，

5、yA逐个求解xy.(2)讨论B中每个元素分别为3，注意互异性解析(1)当x0时，y0,1,2，此时xy的值分别为0，1，2；当x1时，y0,1,2，此时xy的值分别为1,0，1；当x2时，y0,1,2，此时xy的值分别为2,1,0.综上可知，xy的值可能为2，1,0,1,2，共5个，故选C.(2)AB3，3B，当a23即a1时，B3,5，满足题意当a243时，a21无意义，故a1.答案(1)C(2)1(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.(2)利用元素与集合的关系求字母参数时，要注意分类讨论思想的应用1(20

6、16淮北质检)定义集合运算：ABz|zxy，xA，yB设A1,2，B0,2，则集合AB的所有元素之和为()A0B2C3 D6解析：依题意，AB0,2,4，它的所有元素之和为6.答案：D2(2015高考湖北卷)已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为()A77 B49C45 D30解析：A(x，y)|x2y21，x，yZ(x，y)|x1，y0；或x0，y1；或x0，y0，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ(x，y)|x2，1,0,1,2；y2，1,0,1

7、,2AB表示点集由x11,0,1，x22，1,0,1,2，得x1x23，2，1,0,1,2,3，共7种取值可能同理，由y11,0,1，y22，1,0,1,2，得y1y23，2，1,0,1,2,3，共7种取值可能当x1x23或3时，y1y2可以为2，1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点，当x1x22，1,0,1,2时，y1y2可以为3，2，1，0,1,2,3中的一个值，分别构成7个不同的点，故AB共有525745个元素答案：C考点二集合间的基本关系例2(1)已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，)，其中c_.(2)若集合Px|3x22，非空集合Qx|

8、2a1x3a5，则能使Q(PQ)成立的所有实数a的取值范围为()A(1,9)B1,9C6,9) D(6,9审题视点(1)先化简A，然后根据AB借助数轴求解，(2)首先分析P与Q的关系，构造集合端点符合的不等式解析(1)由log2x2得0x4，即Ax|04，即c4.(2)依题意，PQQ，QP，于是解得6a9，即实数a的取值范围是(6,9，选D.答案(1)4(2)D(1)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系式解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析(2)通过集合之间的关系，求参数的取值范围，最终是要通过比较区间端点的大小来实现，因

9、此确定两个集合内的元素，成为解决该类问题的关键由于元素的属性中含有参数，所以分类讨论成为必然，分类讨论时要注意不重不漏对于集合的包含关系，BA时，别忘记B的情况对于端点的虚实可单独验证1(2016厦门模拟)已知集合A，BA，BA，则集合B的子集的个数为()A6B7C8 D9解析：由题意知B，集合B含有3个元素，则其子集个数为238(个)答案：C2已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：利用命题的真假判断充要条件A1，a，B1,2,3，AB，aB且a1，a2或3，“a3”是“AB”的充分而不必要条

10、件答案：A考点三集合的基本运算例3(1)(2014高考广东卷)已知集合M1,0,1，N0,1,2，则MN()A0,1B1,0,2C1,0,1,2 D1,0,1(2)(2014高考山东卷)设集合Ax|x1|2，By|y2x，x0,2，则AB()A0,2 B(1,3)C1,3) D(1,4)审题视点(1)用Venn图求并集(2)先将集合化简，再求交集解析(1)根据题意画出Venn图，如图所示故MN1,0,1,2(2)由|x1|2，解得1x3，由y2x，x0,2，解得1y4，AB(1,3)1,41,3)答案(1)C(2)C在进行集合运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素

11、离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍1(2015高考课标卷 )已知集合Ax|x3n2，nN，B6,8,10,12,14，则集合AB中元素的个数为()A5B4C3 D2解析：集合A中元素满足x3n2，nN，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.答案：D2(2015高考山东卷)已知集合Ax|2x4，Bx|(x1)(x3)0，则AB()A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)解析：由题意知Bx|1x3，又因为Ax|2x4，所以ABx|2x3，即AB(2,3)答案：C以集合为背景的新定义题典例对于数集X1，x1，x2，xn

12、，其中0x1x2xn，n2，定义向量集Ya|a(s，t)，sX，tX若对任意a1Y，存在a2Y，使得a1a20，则称X具有性质P.例如1,1,2具有性质P.(1)若x2，且1,1,2，x具有性质P，求x的值；(2)若X具有性质P，求证：1X，且当xn1时，x11.解题指南首先借助题目中给的实例理解“性质P”，再选取a1，利用“试解”的方法寻找a2，从而求x.规范解答(1)选取a1(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(1，b)，所以x2b，从而x4.4分(2)证明：取a1(x1，x1)Y.设a2(s，t)Y满足a1a20.由(st)x10得st0，所以s，t异号因为1是X中唯一的负数，所以s

13、，t之中一为1，另一为1，故1X.6分假设xk1，其中1kn，则0x11xn.选取a1(x1，xn)Y并设a2(s，t)Y满足a1a20，即sx1txn0，则s，t异号，从而s，t之中恰有一个为1.8分若s1，则x1txntx1，矛盾；若t1，则xnsx1sxn，矛盾所以x11.12分阅卷点评本题读准题意，合理转化是突破该题的关键点创新点评(1)本题为新定义问题，命题设制新颖(2)内容创新：以元素与集合的关系为背景，以向量的数量积运算为载体，通过新定义将二者有机地结合起来，考查阅读理解能力和知识迁移运用能力(3)根据逻辑分析，推理的方法，考查了创新意识和解决问题的能力备考建议(1)认真阅读，准

14、确提取信息，是解决此问题的前提(2)剥去新概念、新方法的外表，将陌生转化为熟悉，是解决此问题的关键一个性质要注意应用AB、ABA、ABB、UAUB、A(UB)这五个关系式的等价性两种方法Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心如全集UR，Ax|axa1，Bx|x1，若A(UB)，则a的范围为a2.三个防范(1)注意区分几种常见集合研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么(2)注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集在解题时，若未明

15、确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性例如：AB，则需考虑A和A两种可能的情况(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误课时规范训练A级基础演练1(2015高考天津卷)已知全集U1,2,3,4,5,6，集合A2,3,5，集合B1,3,4,6，则集合A(UB)()A3B2,5C1,4,6 D2,3,5解析：UB2,5，A2,3,52,52,5答案：B2(2015高考课标卷)已知集合Ax|1x2，Bx|0xx2，N，则MN()A. BC. D解析：对于集合M，由xx2，解得0x1，Mx|0x10x1，14x4.2.N.MN，故选B

16、.答案：B2(2016广州模拟)对于集合M，N，定义MNx|xM，且xN，MN(MN)(NM)，设A，Bx|x0，B，则阴影部分表示的集合是()A0,1 B0,1)C(0,1) D(0,1解析：图中阴影部分表示集合B(RA)，又Ax|1x2，B，RAx|x1或x2，B(RA)x|02”是“2则，但2.如当x1时，1，但x不大于2.答案：A3命题“若ab，则a1b，则a1b1C若a1b1，则ab D若ab，则a1b1解析：“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，故选A.答案：A4若集合A1，m2，B2,4，则“m2”是“AB4”的_条件解析：m2AB4，但AB4 m2.答案：充分不必要5(

17、教材改编题)下列命题中所有真命题的序号是_“ab”是“a2b2”的充分条件；“|a|b|”是“a2b2”的必要条件；“ab”是“acbc”的充要条件解析：ab a2b2，为假a2b2|a|b|，为真abacbc，为真答案：考点一四种命题及其关系例1(1)命题“若ab，则2a2b”的否命题是()A若ab，则2a2bB若2a2b，则abC若ab，则2a2b D若2a2b，则ab(2)(2014高考辽宁卷)设a，b，c是非零向量已知命题p：若ab0，bc0，则ac0；命题q：若ab，bc，则ac.则下列命题中真命题是()Apq BpqC(綈p)(綈q) Dp(綈q)审题视点(1)根据否命题的定义改写

18、(2)先判断命题的真假，再利用含逻辑联结词命题真假的判断进行求解解析(1)否命题为“若ab，则2a2b”(2)法一：取ac(1,0)，b(0,1)，显然ab0，bc0，但ac10，p是假命题a，b，c是非零向量，由ab知axb，由bc知byc，axyc，ac，q是真命题综上知pq是真命题，pq是假命题又綈p为真命题，綈q为假命题，(綈p)(綈q)，p(綈q)都是假命题法二：由于a，b，c都是非零向量，ab0，ab.bc0，bc.如图，则可能ac，ac0，命题p是假命题，綈p是真命题命题q中，ab，则a与b方向相同或相反；bc，则b与c方向相同或相反故a与c方向相同或相反，ac，即q是真命题，则

19、綈q是假命题，故pq是真命题，pq，(綈p)(綈q)，p(綈q)都是假命题答案(1)C(2)A在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题在这四种命题中原命题和逆否命题等价、否命题和逆命题互为逆否命题也是等价的1(2014高考陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，假，真 B假，假，真

20、C真，真，假 D假，假，假解析：原命题正确，所以逆否命题正确模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误故选B.答案：B2(2016菏泽模拟)有以下命题：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“面积相等的两个三角形全等”的否命题；“若m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题其中正确的命题为()A BC D解析：“若x，y互为倒数，则xy1”是真命题；“面积不相等的三角形一定不全等”是真命题；若m1，44m0，所以原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题；由ABB，得BA，所以原命题为假命题，故其逆否命题也是假命题故

21、选D.答案：D考点二充分条件与必要条件的判断例2(1)(2014高考安徽卷)“x0”是“ln(x1)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)已知p：|x10|9x|a的解集为R，q：1，则綈p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件审题视点(1)根据ln(x1)0求出x的范围后判断(2)利用集合的包含关系判断解析(1)ln(x1)0，0x11，1x0.x0是1x0的必要不充分条件，故选B.(2)|x10|9x|1，当|x10|9x|a的解集为R时，a1，綈p是a1，由1，得a1或a0，綈pq.答案(1)B(2)

22、A判断p是q的什么条件，基本方法是利用定义，即若pq，则p是q的充分条件；若qp，则p是q的必要条件；若pq，且qp，则p是q的充要条件；若pq，但q p，则p是q的充分不必要条件；若p q，但qp，则p是q的必要不充分条件；若pq，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，而大范围不能推出小范围1(2015高考湖南卷)设A，B是两个集合，则“ABA”是“AB”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：ABAAB，“ABA”是“AB”的充要条件答案：C2(2016广西南宁测试)已知p：|x|2；q：x2x20，则p是q

23、的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：p：由|x|2，得2x2.q：由x2x20，得1x2.x|1x2x|2x0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围审题视点(1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简(2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论解法一：由q：x22x1m20，得1mx1m，綈q：Ax|x1m或x0，由2，解得2x10，綈p：Bx|x10或x9.m9.法二：綈p是綈q的必要而不充分条件，p是q的充分而不必要条件，由q：x22x1m20，得1mx1m，q：Qx|1mx1m，由2，解得2x10，p：Px|

24、2x10p是q的充分而不必要条件，PQ，即或，即m9或m9.m9.本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键1已知条件p：1，条件q：x2xa2a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A.BC1,2 D2，)解析：由1，即10，化简，得0，解得3x1；由x2xa2a，得x2xa2a0，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，即p是q的必要不充分条，即条件q对应的x取值集合是条件p对应的

25、x取值集合的真子集设f(x)x2xa2a，如图，则解得1a2，故选C.答案：C2已知集合Mx|x5，Px|(xa)(x8)0(1)求实数a的取值范围，使它成为MPx|5x8的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5x8的一个充分但不必要条件解：(1)由MPx|5x8，得3a5，因此MPx|5x8的充要条件是a|3a5(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5x8的一个充分但不必要条件，就是在集合a|3a5中取一个值，如取a0，此时必有MPx|5x8；反之，MPx|5x8未必有a0，故a0是MPx|51”是“log(x2)1log(x2)0，log(x2)1x1，“x1”是“log(

26、x2)0”的充分而不必要条件答案：B2(2016安徽马鞍山一模)已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是()A若abc3，则a2b2c23B若abc3，则a2b2c23C若abc3，则a2b2c23D若a2b2c23，则abc3解析：否命题是原命题的条件和结论同时否定，故选A.答案：A3(2015高考福建卷)“对任意x，ksin xcos xx”是“k1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：借助函数的导数证明必要性成立，举反例说明充分性不成立令f(t)sin tt，则f(t)cos t10恒成立，所以f(t)sin tt在

27、0，上是减函数，f(t)f(0)0，所以sin tt(0t)令t2x，则sin 2x2x，所以2sin xcos x2x，所以sin xcos xx.当k1时，ksin xcos xx，故必要性成立；当x时，ksin 2x2x可化为k，取k，不等式成立，但此时k1，故充分性不成立答案：B4有三个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若ab，则a2b2”的逆否命题；“若x3，则x2x60”的否命题其中真命题的个数为_解析：命题为“若x，y互为相反数，则xy0”是真命题；因为命题“若ab，则a2b2”是假命题，故命题是假命题；命题为“若x3，则x2x60”，因为x2x603x2，故命题是假命题，综上知真命题只有1个答案：15(2016随州模拟)若“x22x80”是“xm”的必要不充分条件，则m的最大