2021年中考数学专题复习卷《锐角三角函数》含解析.doc

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1、2021年中考数学专题复习卷锐角三角函数含解析2021年中考数学专题复习卷含解析 锐角三角函数 一、选择题 1.计算 A. =（ ） B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 ： tan 45 =1 故答案为:B。【分析】根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。 2.下列运算结果正确的是 A. 3a32a2=6a6 B. (-2a)2= -4a2 C. tan45= D. cos30= 【答案】D 【解析】 A、原式=6a ， 故不符合题意； B、原式=4a ， 故不符合题意； C、原式=1，故不符合题意； D、原式= 故答案为：D 【分析】根据单项式乘以单项式，系数的积作为积的系数，对于相同的

2、字母，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；根据特殊锐角三角函数值即可一一得出答案，再进行判断即可。 3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,BD=8,tanABD= ,则线段AB的长为( ). ，故符合题意 2 5 1 2021年中考数学专题复习卷含解析 A. 2 B. C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 ：菱形ABCD,BD=8 ACBD， 在RtABO中， AO=3 故答案为：C 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得出ACBD，求出BO的长，再根据锐角三角函数的定义，求出AO的长，然后根据勾股定理就可求出结果。 4.数

3、学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树 的高度，如图，老师测得大树前斜坡 的 坡度i=1:4，一学生站在离斜坡顶端 的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为 ，已知 ，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（ ）m. A.7.4 B.7.2 C.7 D.6.8 【答案】D 2 2021年中考数学专题复习卷含解析 【解析】 如图所示:过点C作 延长线于点G,交EF于点N, 根据题意可得: 计算得出: , , , , , 设 故 计算得出: 故 则 故答案为：D. ,则 ,即 , , , , , , 【分析】将大树高度AB放在直角三角形中，解直角三角形即可求解

4、。即：过点C作 C G A B 延长线于点G,交EF于点N,因为斜坡 D E 的坡度i=1:4，所以而 sin= ,解得EF=2， ，设AG=3x,则AC=5x ,所以BC=4x ,即8+1.6=4x ,解得 x = 2.4 ，所以 AG=2.43=7.2m ,则AB=AG?BG=7.2?0.4=6.8m。 5. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，CAB=，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（ ） 3 2021年中考数学专题复习卷含解析 A. B. C. D. h?cos 【答案】B 【解析】 ：CAD+ACD=90，ACD+BCD=90， CAD=BCD，

5、在RtBCD中，cosBCD= ， BC= = ， 故选：B 【分析】根据同角的余角相等得CAD=BCD，由osBCD= 知BC= = 6.如图，ABC内接于O，AD为O的直径，交BC于点E，若DE2，OE3，则 （ A.4 B.3 C.2 D.5 【答案】A 【解析】 ：如图，连接BD，CD DO=2，OE=3 OA=OD=5 AE=OA+OE=8 4 ）2021年中考数学专题复习卷含解析 ABE=EDC，AEB=DEC ABEDEC 同理可得：AECBED 由得 AD是直径 ABD=ACD=90 tanACB=ADB=tanABC=tanADC=tanACBtanABC=故答案为：A 【分

6、析】根据OD和OE的长，求出AE的长，再根据相似三角形的性质和判定，得出锐角三角函数的定义，可证得tanACBtanABC= ，代入求值即可。 ，利用 =4 7.在RtABC中，C=90，AC=4，cosA的值等于,则AB的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 ：RtABC中，C=90，cosA的值等于 cosA= = = 解之：AB= 5 2021年中考数学专题复习卷含解析 故答案为：D 【分析】根据锐角三角函数的定义，列出方程cosA= =，求出AB的值即可。 8. 如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后

7、，此时测得灯塔P位于其北偏东30方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（ ） A. 15 海里 B. 30海 里 C. 45海里 D. 30 【答案】B 【解析】 ：作BDAP，垂足为D 海里 根据题意，得BAD=30，BD=15海里， PBD=60， 则DPB=30，BP=152=30（海里）， 故选：B 【分析】作CDAB，垂足为D构建直角三角形后，根据30的角对的直角边是斜边的一半，求出BP 9.如图，在 中， ， ， ，则 等于（ ） A. B. 6 2021年中考数学专题复习卷含解析 C. D. 【答案】A 【解析】 ：在RtABC中，AB=10、AC=8， BC= sinA= 故答案为：

8、A 【分析】首先根据勾股定理算出BC的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。 10.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据： ）（ ） . ， A. 4.64海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里 【答案】B 【解析】 ：根据题意画出图如图所示：作BDAC，取BE=CE， AC=30，CAB=30ACB=15， ABC=135， 又BE=CE， ACB=EBC=15， ABE=120， 又CAB=30 BA=B

9、E，AD=DE， 7 2021年中考数学专题复习卷含解析 设BD=x， 在RtABD中， AD=DE= x，AB=BE=CE=2x， x+2x=30， 5.49， AC=AD+DE+EC=2 x= = 故答案为：B. 【分析】根据题意画出图如图所示：作BDAC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，RtABD中，根据勾股定理得AD=DE= x+2x=30，解之即可得出答案. 二、填空题 11.在ABC中，C=90，若tanA= ，则sinB=_ 【答案】 x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 【解析】 ：如图所示： C=90

10、，tanA= ， 设BC=x，则AC=2x，故AB= x， 则sinB= . 故答案为： ， 设BC=x，则AC=2x，根据勾股定理表示出AB的长，再根据 【分析】根据正切函数的定义由tanA= 正弦函数的定义即可得出答案。 8 2021年中考数学专题复习卷含解析 12.如图，在菱形纸片ABCD中， 痕为FG，点 分别在边 上，则 ，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折 的值为_ 【答案】 【解析】 如图，作EHAD于H，连接BE，BD、AE交FG于O， 因为四边形ABCD是菱形，A=60， 所以ADC是等边三角形，ADC=120， 点E是CD的中点， 所以ED=EC= ，BECD，

11、RtBCE中，BE= 因为ABCD， 所以BEAB， 设AF=x，则BF=3-x，EF=AF=x， 在RtEBF中，则勾股定理得，x=(3-x)+( 解得x= ， DH= ， 2 2 CE= ， ) ， 2 RtDEH中，DH= DE= ，HE= RtAEH中，AE= = ， 所以AO= ， RtAOF中，OF= = ， 9 2021年中考数学专题复习卷含解析 所以tanEFG= = ， 故答案为 .【分析】作EHAD于H，连接BE，BD、AE交FG于O，根据菱形的性质及等边三角形的判 定方法得出ADC是等边三角形，ADC=120，根据等边三角形的三线合一得出ED=EC= ，BECD，RtBC

12、E中，根据勾股定理得出BE,CE的长，根据平行线的性质得出BEAB，设AF=x，则BF=3-x，EF=AF=x，在RtEBF中，则勾股定理得出方程求解得出x的值，RtDEH中，DH= DE= ，HE= DH= ， RtAEH中，利用勾股定理得出AE的长，进而得出AO的长，RtAOF中，利用勾股定理算出OF的长，根据正切函数的定义得出答案。 13.如图，在RtABC中，B=90，C=30，BC= 图中阴影部分面积是_ ，以点B为圆心，AB为半径作弧交AC于点E，则 【答案】 【解析】 ：连接BE B=90，C=30，BC= ，A=60，AB=1AB=EB，ABE是等边三角形， = ABE=60，

13、S弓形=S扇形ABESABE= 故答案为： 【分析】连接BE因为B=90，C=30，BC= ， 由C的正切可得tanC=,所以AB=1， 由题意以点B为圆心，AB为半径作弧交AC于点E可得AB=EB，所以ABE是等边三角形，则ABE=60，图中阴影部分面积=扇形ABE的面积-三角形ABE的面积= -1 =-. 10 2021年中考数学专题复习卷含解析 14.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45和30若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_米（结果保留根号） 【答案】 【解析】 ：依

14、题可得：ACD=45,BCD=30,CH=1200, CDAB， CAH=ACD=45,CBH=BCD=30, AH=CH=1200, 设AB=x米， 在RtCHB中， tanCBH= 即 = , ， -1200. -1200. 解得：x=1200 故答案为：1200 【分析】根据平行线的性质结合已知条件得CAH=ACD=45,CBH=BCD=30,设AB=x米，在RtCHB中，根据正切三角函数定义建立等式，代入数值解方程即可得AB长. 15.如图，在菱形ABCD中，AB=2，B是锐角，AEBC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME若EMD=90，则cosB的值为_。 【答案】 11 2021

15、年中考数学专题复习卷含解析 【解析】 ：延长DM交CB的延长线于H， 四边形ABCD为菱形， AB=AD=BC=2,ADBC， ADM=H， 又M是AB的中点， AM=BM=1， 在ADM和BHM中， ， ADMBHM（AAS）， DM=HM，AD=BH=2, EMDM， EH=ED, 设BE=x， EH=ED=2+x， AEBC， AEB=EAD=90, AE2=AB2-BE2=ED2-AD2, 即2-x=（2+x）-2, 化简得：x+2x-2=0， 解得：x= -1， 2 2 2 2 2 在RtABE中， cosB=故答案为： . . 【分析】延长DM交CB的延长线于H，由菱形的性质和平行

16、线的性质可得：AB=AD=BC=2,ADM=H；由全等三角形的判定AAS得ADMBHM，再根据全等三角形的性质得DM=HM，AD=BH=2,根据等腰三角形三线 12 2021年中考数学专题复习卷含解析 合一的性质可得EH=ED,设BE=x，则EH=ED=2+x，根据勾股定理得AE=AB-BE=ED-AD,代入数值解这个方程即可得出BE的长. 16.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tanAOD=_. 22222 【答案】2 【解析】 ：连接BE交CF于点G（如图）， 四边形BCEF是边长为1的正方形， BE=CF= ，BECF，

17、 , BG=EG=CG=FG= 又BFAC， BFOACO， CO=3FO， FO=OG= CG= 在RtBGO中， tanBOG= 又AOD=BOG, tanAOD=2. 故答案为:2. , ， =2, 【分析】连接BE交CF于点G（如图），根据勾股定理得BE=CF= BG=EG=CG=FG= ，再由正方形的性质得BECF， , ,又根据相似三角形的判定得BFOACO，由相似三角形的性质得 13 2021年中考数学专题复习卷含解析 从而得FO=OG= CG= 而得出答案. 17.如图。在 ，在RtBGO中根据正切的定义得tanBOG= =2,根据对顶角相等从 的正方形方格图形中，小正方形的顶

18、点称为格点. 的顶点都在格点上,则 的正弦值是_ 【答案】 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 【解析】 AB=3+4=25，AC=2+4=20，BC=1+2=5，AC+BC=AB ， ABC为直角三角形，且ACB=90，则sinBAC= 故答案为： = 【分析】首先根据方格纸的特点，算出AB2，AC2，BC2，然后根据勾股定理的逆定理判断出ABC为直角三角形，且ACB=90，根据正弦函数的定义即可得出答案。 18.一副含30和45角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC=EF=12cm（如图1），点G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交于点H，此时线段BH的

19、长是_现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在CGF从0到60的变化过程中，点H相应移动的路径长共为_（结果保留根号） 【答案】； 14 2021年中考数学专题复习卷含解析 【解析】 ：如图 如图1中，作HMBC于M，HNAC于N，则四边形HMCN是正方形，设边长为a. 在RtABC中,ABC=30，BC=12， AB= =8 ， 在RtBHM中，BH=2HM=2a， 在RtAHN中,AH= = a， 2a+a=6 =8?6， ， BH=2a=12?12. 如图2中,当DGAB时,易证GH1DF， BH1的值最小,则BH1=BK+KH1=3HH1=BH?BH1=9 ?15， ， +

20、3， 当旋转角为60时，F与H2重合，易知BH2=6 15 2021年中考数学专题复习卷含解析 观察图象可知,在CGF从0到60的变化过程中， 点H相应移动的路径长=2HH1+HH2=18故答案为：12 ?12,12 ?30+6 ?(12 ?12)=12 ?18， ?18.【分析】如图1中，作HMBC于M，HNAC于N，则四边形HMCN是正方形， 设边长为a，利用解直角三角形求出AB的长，用含a的代数式分别表示BH、AH的长，再根据AB=AH+BH，就可求出a的值，从而求出BH的值即可；如图2中,当DGAB时,易证GH1DF，得出此时BH1的值最小，求出BH1的值，再求出BH2的值，然后求值在

21、CGF从0到60的变化过程中，点H相应移动的路径长即可。 三、解答题题 19. 先化简，再求值：（ ） ，其中a=2sin60tan45 【答案】解：原式= ?（a1） = ?（a1） = 当a=2sin60tan45=2 1= 1时， 原式= = 【解析】【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根据特殊锐角三角函数值求得a的值，代入即可 20.为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45的方向上，如图所示求凉亭P

22、到公路l的距离（结果保留整数，参考数据： ， ） 16 2021年中考数学专题复习卷含解析 【答案】解：依题可得：AB=200米，PAC=60，PBD=45，令PG=x米，作PGl， PAG=30，PBG=45， PBG为等腰直角三角形， BG=PG=x, 在RtPAG中， tan30= 即 x=100（ , ， +1）273 答：凉亭P到公路l的距离是273米 【解析】【分析】令PG=x米，作PGl，根据题意可得PBG为等腰直角三角形，即BG=PG=x,在RtPAG中，根据锐角三角函数正切定义可得tan30= ,代入数值解方程即可. 21.如图，湛河两岸AB与EF平行，小亮同学假期在湛河边A

23、点处，测得对岸河边C处视线与湛河岸的夹角CAB=37，沿河岸前行140米到点B处，测得对岸C处的视线与湛河岸夹角CBA=45.问湛河的宽度约多少米?(参考数据：sin370.60，cos37=0.80，tan37=0.75) 【答案】解：过C作CDAB于点D， 设CD=x米 17 2021年中考数学专题复习卷含解析 在RtBDC中，CDB=90，CBD=45，BD=CD=x 在RtADC中，ADC=90，CAD=37，AD= AB=AD+DB=140， 答：湛河的宽度约60米 【解析】【分析】过C作CDAB于点D，设CD=x米，在RtBDC中，CDB=90，CBD=45，根据等腰三角形的性质可

24、得BD=CD=x ，在RtADC中，ADC=90，CAD=37，由tanCAD=tan37=所以AD= ,而由题意得AB=AD+DB=140，所以 + x = 140，解得x=60 与x轴、 , ，x=60 22.已知:在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,点A在x轴的负半轴上,直线 y轴分别交于B、C两点,四边形ABCD为菱形. （1）如图1，求点A的坐标； （2）如图2,连接AC,点P为ACD内一点,连接AP、BP,BP与AC交于点G,且APB=60,点E在线段AP上,点F在线投BP上,且BF=AE.连接AF、EF,若AFE=30,求AF +EF 的值; （3）如图3在(2)的条件下,当PE

25、=AE时,求点P的坐标. 【答案】（1）解：如图1 :BO= ，CO= 在RBCO中 四边形ABCD为菱形AB=BC=7 AO=AB-BO= 18 2021年中考数学专题复习卷含解析 （2）解：如图2 AO= =BO，COABAC=BC=7 AB=AC=BCABC为等边三角形ACB=60 ,APB=60APB=ACB PAG+APB=AGB=CBG+ACB PAG=CBG连接CE、CF AE=BFACEBCF CE=CFACE=BCF ECF=ACF+ACE=ACF+BCF=ACB=60 CEF为等边三角形 CFE=60EF=FCAFE=30AFC=AFE+CFE=90 在RtACF中AF+C

26、F=AC=7=49AF+EF=49 2 2 2 2 2 2 （3）解：如图 由(2)知CEF为等边三角形 CEF=60EC=EF延长CE、FA交于点H AFE=30CEF=H+EFH H=CEF-EFH=30H=EFHEH=EF EC=EH连接CPPE=AECEP=HEA CPEHAEPCE=H:CPFH HFP=CPF在BP上截取TB=AP 连接TC由(2)知CAP=CBTAC=BC,ACPBCT 19 2021年中考数学专题复习卷含解析 CP=CTACP=BCTPCT=ACP+ACT=BCT+ACT=ACB=60 CPT为等边三角形CT=PTCPT=CTP=60 CPFHHFP=CPIT=

27、60APB=60APB=AFPAP=AF APF为等边三角形CFP=AFC-AFP=90-60=30 TCF=CTP-TFC=60-30=30TCF=TFCTF=TC=TP 连接AT则ATBP设BF=m则AE=PE=m PF=AP=2m.TF=TP=m TB=2m BP=3m 在RtAPT中AT= 在RtABT中,AT+TB=AB m1=- BF= (舍去)m2= ,AT= , 2 2 2 ,BP=3 作PQAB垂足为点Q,作PKOC,垂足为点K,则四边形PQOK为矩形 则OK=PQ=BPsinPBQ=3 x2=3 【解析】【分析】（1）先求出直线BC与两坐标轴的交点B、C的坐标，再利用勾股定

28、理求出BC的长，根据菱形的性质得出AB=BC，然后求出AO的长，就可得出点A的坐标。 （2）根据点A、B的坐标，可证得ABC是等边三角形，可得出AC=AB，再证明PAG=CBG，根据已知AE=BF，就可证得ACEBCF，得出CE=CF,ACE=BCF，然后证明AFC=90，在RtACF中，利用勾股定理就可结果。 （3）延长CE、FA交于点，根据等边三角形的性质及已知条件，先证明EC=EH，连接CP，易证CPEHAE，得出PCE=H，根据平行线的性质，可得出HFP=CPF，在BP上截取TB=AP，连接TC，证明ACPBCT，根据等边三角形的性质及平行线的性质，去证明TF=TC=TP，连接AT，得出ATBP，设BF=m,AE=PE=m,再根据勾股定理求出m的值，作PQAB，PKOC，可得出四边形PQOK是矩形，利用解直角三角形求出PQ的长，就可求出BQ、OQ的长，从而可得出点P的坐标。 20 18 / 18