2020届北京市昌平区高三上学期期末数学试题(解析版).docx

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1、 2020 届北京市昌平区高三上学期期末数学试题一、单选题 = x - 2 x 0=1已知集合 A，则集合 A B （）(-2,1)B(0,1)C(0, +)AD(-2,+)【答案】D【解析】根据并集的定义求解即可.【详解】 A B = x - 2 x 0 = x x -2故选：D【点睛】本题主要考查了求两个集合的并集，属于基础题.( )-12在复平面内，复数i i对应的点位于（ ）A第一象限【答案】CB第二象限C第三象限D第四象限( )( )-1,1-1 = i2 -i = -1-i【解析】试题分析： i i位于第三象限，故选 C.，在复平面内对应的点的坐标为，【考点】1.复数的乘法运算；2

2、.复数的几何意义，那么命题pR ln 03已知命题 p ：x ， x为（）+A$x Rln 0， xBxR ln 0， x+R ln 0DxR+ln 0， xC$x ， x+【答案】A【解析】由全称命题的否定的定义即可求解.【详解】命题p :$x Rln 0， x+故选：A【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题.4设 a,b,cRa a b bc3A acBC D a b3a b22【答案】D【解析】取特殊值排除 A，B，C，根据函数 y= x3 的单调性即可得出正确答案.【详解】 0a bc，故 A 错误；对 A 项，当c对 B 项，取a时，11 1= -2=1时，- a b，b，

3、不满足，故 B 错误；2( )2= -2 b = -1，(-2) -1对 C 项，取a时，不满足a b ，故 C 错误；222= xa b对 D 项，函数 y3 在 上单调递增，R，则 a3，故 D 正确; b3故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.5已知函数 ( ) 的图象与函数 yf x= 2的图象关于 x 轴对称，则（）xf(x) =-log xlog xA -2xBCD2-x22【答案】A【解析】由点(x, y) 是函数f (x)上任意一点，则点(x,-y)在函数 y= 2的图像上，列x出方程，即可得到正确答案.【详解】上任意一点，则点(x,-y)(x, y)f (x

4、)= 2在函数 y 的图像上设点是函数x-y = 2 y = -2x即x(x)( ) = -2x的解析式为： f x所以函数 f故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的对称性，属于中档题.rrr6已知向量 a = (1, 3),b = (-1,0), c = ( 3, k). 若 - 2 与 共线，则实数k =（a b）cA0B1C 3D3【答案】B【解析】根据向量共线的坐标表示即可求解.第 2 页 共 18 页 【详解】rra - 2b = (3, 3)因为 -2b与 共线，所以 k3 - 3 3 = 0，解得：k=1ac故选：B【点睛】本题主要考查了向量共线求参数，属于基础题.x2m=，则

5、7已知双曲线 - y = 的离心率为13（）2m14122ABCD 22【答案】B【解析】根据双曲线的性质求出a = m ，c =【详解】1+ m，根据离心率列出等式求解即可.a = m ，c = 1+ mx2m +1- y =13，所以= 3因为双曲线的离心率为2mm1=解得： m2故选：B【点睛】本题主要考查了已知离心率求双曲线方程，属于基础题.8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）第 3 页 共 18 页 1323ABC1D 2【答案】C【解析】根据三视图对应的直观图，结合棱柱的体积公式即可求解.【详解】该三视图对应的直观图是三棱柱，如下图所示1= 112 =1所以V2ABC

6、-ABC故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体体积，属于中档题.ur r ur rm+ n = m - nm n,l9设为非零向量，则“ =m l n， -1”是“”的（）A充分而不必要条件C充分必要条件【答案】CB必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【解析】利用向量的运算性质不等式的性质证明充分性以及必要性即可.【详解】证充分性ur rr rrrll 1(l 1)m + n = n + n = + n = - + nur rr rr rrll(l 1)m - n = n - n = - n - n = - + nur r ur rm + n = m - n所以，即充分性成立第 4

7、 页 共 18 页 证必要性( )ur rur rurur r r222m + n = m + n = m + 2mn + nur r ur rm + n = m - n因为( )ur所以 mur r rur rurur r r2222222+ mn + n = m - n = m - m n + n，即ur rur rur rmn = - m n = m n cosp,nllm n则向量 m 反向，即存在 n（2）记数列的前 项和为 ，若T，求 的最小值.TS100nnna = 2n【答案】（1），S= + ；（2）100nn2nnn【解析】(1)根据等差数列的通项公式列出方程组结合前 项和

8、公式求解即可得到数列a n的通项公式及前 项和 ；Snn1T =1-n(2)利用裂项求和得到，解不等式即可得到最小值.n+1【详解】a （1）设等差数列的公差为 .依题意有dn + =a a8,= 2,a113解得 a - a = 4.d = 2.42= 2n,S = n + n所以 a2.nn1111= -n + n n n +1（2）因为，S2n1 1T = + +L +111 1111= (1- ) + ( - ) +L + ( -) = 1-所以.S S1S22 3n n +1n +1n2n99199，即1-因为T，100n +1 100n99n所以n.所以 的最小值为100【点睛】n

9、本题主要考查了求等差数列的通项公式、前 项和以及裂项求和，属于中档题.18为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共 336 名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取 7 名和 5 名学生进行测试.下表是高二年级的 5 名学生的测试数据（单位：个/分钟）：第 9 页 共 18 页 （ ）求高一、高二两个年级各有多少人？1（ ）设某学生跳绳m 个 分钟，踢毽n 个 分钟 当 m175，且n 75时，称该学生为“运2/.动达人”.从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人

10、”的概率；从高二年级抽出的上述 5 名学生中，随机抽取 3 人，求抽取的 3 名学生中为“运动达x人”的人数 的分布列和数学期望.395( )z=【答案】（1）196 人，140 人；（2） ；分布列见解析， E5【解析】(1)按照比例求解即可；(2) 根据题意找出高二学生中的“运动达人”的个数，根据概率公式即可求解；xx找出 可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到 的期望.【详解】（1）设高一年级有a 人，高二年级有 人.ba7 b= ,336 12 336 125=采用分层抽样，有.所以高一年级有196人，高二年级有140 人.（2）从上表可知，从高二抽取的 5 名学生中，编号为

11、 1，2，5 的学生是“运动达人”.3故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为 .5x1,2,3 .（3） 的所有可能取值为331C13CC22C23CC12C3C33P(x =1)=, P(x = 2) = , P(x = 3) =.1051035355x所以 的分布列为x1233351P1010331 9( ) =1 + 2 + 3 =.x故 的期望 Ex10510 5【点睛】本题主要考查了分层抽样各层个数的求法以及求离散型随机变量的均值，属于中档题.第 10 页 共 18 页 wxwxwx(x) = 3 sincos+sin2, 0其中w.19已知函数 f222w的

12、最小正周期为 ，求 的值；(x)2（ ）若函数 f10, 23上的最大值为 ，求 的取值范围w(x)（ ）若函数 f2在区间.24p【答案】（1） ；（2）w3【解析】(1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数 f(x)w，根据周期公式求出 的值；pp wp p0 x , 0- wx - -(2)利用w求出，结合正弦函数的性质列出不等2662 6式即可求解.【详解】wxwxwx(x) = 3 sincos+sin2（1）因为 f22231- coswx=sinwx +22311sin wx - coswx +222 1= sin( x - ) +w.6 22=w(x)2的最小正周期为 ，即T=2

13、因为 f= 所以w.0 x , 0（2）因为w，2pp wp pw- x - -所以.662 63上取到最大值 ，只需 - ，w0, (x)若 f在区间222 6 243所以w.【点睛】本题主要考查了由正弦型函数的周期求值以及由正弦型函数的最值求参数范围，属于中档题.- ABCD，CD AD ，20如图，在四棱锥 P中，底面ABCD为直角梯形，/ /AD BCAD = CD = 2BC = 2，平面 PD, PA = PD平面 ABCD， PAPAD.第 11 页 共 18 页 PA（ ）求证：CD1；- PA- D（ ）求二面角C的余弦值；2PMPC（ ）在 棱 PC上是否存在点 M ，使

14、得 BM 平面？若存在，求的值？若不3PCD存在，说明理由.3【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析3 PA【解析】(1)利用面面垂直的性质得到线面垂直，再由线面垂直的性质得出CD(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；(3)由 ，C，M 三点共线，利用向量共线得出PM= l，利用线面垂直的判定定理PCP不平行，则不存在棱 PC上的点 M ，使得 BM 平PA证明平面 PCD，由于，BM面 PCD.【详解】- ABCD（1）在四棱锥 P中ABCD= AD因为平面 PAD 平面 ABCD，平面PAD平面 AD，CD 平面 ABCD又因为CD所以CD 平面 PAD因为 PA

15、平面 PAD PA所以CD（2）取 AD 中点O，连接OP,OB= PD AD因为 PA所以 POABCD= AD因为平面 PAD 平面 ABCD，平面PAD平面因为 PO 平面 PAD所以 PO 平面 ABCD OA, PO OB所以 PO第 12 页 共 18 页 AD, BC / AD, AD = 2BC/ OD, BC = OD因为CD所以 BC所以四边形OBCD是平行四边形 AD所以OB- xyz如图建立空间直角坐标系O，则O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,2,0), C(-1,2,0), D(-1,0,0), P(0,0,1).AC = (-2, 2,0), AP =

16、 (-1,0,1).= (x, y, z)，则设平面的法向量为nPAC0,x y-2 + 2 = 0,AC n =即 n = 0.x z- + =0.AP令 x=1，则 y =1, =1.z= (1,1,1).所以 n= (0, 2,0)因为平面的法向量OB，PADn OB3.所以cos n,OB =3n OB- PA- D由图可知，二面角C为锐二面角，3- PA- D所以二面角C的余弦值为.3（3）设 是棱 PC上一点，则存在lM0,1使得=PM l PC.uuuru uur(x , y , z )= (x , y , z -1),PC = (-1,2, -1).，则 PM设 M000000

17、(x , y , z -1) = (-1,2,-1).l所以000第 13 页 共 18 页 l,x = - y =2l,1 l.z = -0所以00(-l,2l,1- l).所以 Muuur所以 BM = (-l,2l 2,1 l)- - . PD, AP CD,CD I PD = D,CD PD平面,因为 APPCD所以 PA 平面 PCD.u ur所以 PA = (1,0, -1)是平面 PCD的一个法向量.uuur uur/BM PA若 BM 平面 PCD，则.2l - 2 = 0,所以 l 1 l.= -因为方程组无解，所以在棱【点睛】上不存在点 ，使得 BM 平面 PCD.MPC本

18、题主要考查了利用线面垂直证明线线垂直以及利用向量法求二面角，属于中档题.3x2y2: + =1(a b 0)(0, 2)在椭圆 上，21已知椭圆CF , F的离心率为，点MC2a2b2F F焦点为，圆 的直径为O121 2（1）求椭圆 及圆 的标准方程；COA, B（2）设直线 与圆 相切于第一象限内的点 ，且直线 与椭圆 交于两点记lOPlC的面积为 ，证明： S 3OABSx2y2+ =1 x + y = 6【答案】（1），；（2）见解析228 2【解析】(1)利用椭圆的性质列出方程组，即可得到椭圆 及圆 O 的标准方程；C第 14 页 共 18 页 (2)利用斜截式设出直线l 的方程，根

19、据点到直线的距离公式得到点O到直线l 的距离，将直线l 的方程代入椭圆，结合韦达定理，得出二次函数的性质即可证明S b 0) .（1）由题意，椭圆 的方程为Cab2c3=,a 2 = 8,a2b = 2,b = 2,可得 ，解得2= b+ cc2 = 6.a222x2y2+ =1所以椭圆 的方程为C8 2因为焦点在 x 轴上，(- 6,0), F ( 6,0)所以椭圆 的焦点为 FC12F F1+y2 = 6所以直径为的圆 的方程为 xO22（2）由题意知，直线 与圆 相切于第一象限内的点 ，lOPy = kx+ m(k 0,m 0).设直线 的斜截式方程为l因为直线l 与圆O相切，m所以点O

20、到直线l 的距离为d = 6 .1+ k2即 m = 6k + 6 .22A, B因为直线l 与椭圆 C 相交于两点，y = kx + m,(1+ 4k )x + 8kmx + 4m -8 = 0，由 ，整理得222x + 4y = 822A(x , y ), B(x , y )设，则1122第 15 页 共 18 页 8kmx + x = -,1+ 4k1224m -82x x =,.1+ 4k1 22D 0D = (8km) - 4(1+ 4k )(4m -8) =16(8k - m + 2)因为22222又 m = 6k + 6 ，22D = 32(k - 2) 0.所以2所以 k2 2

21、 .k 0又因为，所以 9设1+ 4k = t ，则t，则2(t -9)(t + 3)27 6S= 4 3= 3 - - +1 .16tt2tDOAB211.= ,0 u 令ut9则 S= 3 -27u - 6u +1 .2DOAB14(u) = -27u - 6u +1= -27(u + ) + .设 h22931(u) (0, )在 上单调递减，因为h9h(u) 1.所以1, x(1,x ) ,f(x) k(x -1)当时 恒有00y = 2x - 2(-,2)；（2）见解析；（3）【答案】（1）【解析】(1)求导，根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标，按照点斜式写出方程；(2)构造函数

22、利用导数求出最值即可证明不等式；= 2时，不满足题意；当k 2时，根据不等式的性质得出不满足题(3)分类讨论，当k 0当时，0 x 1；g (x) 1.x当g(x)(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减.所以在所以 g(x) g(1)= 0.f (x) 2x - 2.所以（3）由（2）可知，= 2( ) 2( -1)时， f x ， 当 kx第 17 页 共 18 页 x 1x(1,x )时，恒有 f(x) 2(x -1)所以不存在，当；00所以 k= 2不符合题意.当 k 2时，对于 x 1， f x( ) 2( -1) 10x(1,x )(x) 2(x -1)所以不存在，当时，恒有f

23、0所以 k当 k 2不符合题意. 0，因为21- k - (1- k) + 241- k + (1- k) + 2422解得 =, =.xx4412 2又因为 k，x 1.所以12x = x .取02x(1,x )h(x) 0；当时，0(x) (1, )所以h在x上单调递增.0h(x) h(1)= 0 .所以f (x) k(x -1).即1, x(1,x ) ,f(x) k(x -1)当时 恒有00y = 2x - 2(-,2)；（2）见解析；（3）【答案】（1）【解析】(1)求导，根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标，按照点斜式写出方程；(2)构造函数利用导数求出最值即可证明不等式；= 2时，不满足题意；当k 2时，根据不等式的性质得出不满足题(3)分类讨论，当k 0当时，0 x 1；g (x) 1.x当g(x)(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减.所以在所以 g(x) g(1)= 0.f (x) 2x - 2.所以